Финансовая экономика

Фундаментальное уравнение оценки стоимости[5]

${\displaystyle Price_{j}=\sum _{s}(p_{s}Y_{s}X_{sj})/r}$ ${\displaystyle =\sum _{s}(q_{s}X_{sj})/r}$ ${\displaystyle =\sum _{s}p_{s}X_{sj}{\tilde {m}}_{s}=E[X_{s}{\tilde {m}}_{s}]}$ ${\displaystyle =\sum _{s}\pi _{s}X_{sj}}$ Четыре эквивалентные формулировки[6], где: ${\displaystyle j}$ — рассматриваемый актив или ценная бумага; ${\displaystyle s}$ — возможные состояния мира; ${\displaystyle r}$ — безрисковая доходность; ${\displaystyle X_{sj}}$ — долларовые выплаты (доходы) в каждом состоянии; ${\displaystyle p_{s}}$ — субъективная, индивидуальная вероятность наступления состояния${\textstyle \sum _{s}p_{s}=1}$; ${\displaystyle Y_{s}}$ — коэффициенты неприятия риска по состояниям, нормализованные так, что ${\textstyle \sum _{s}q_{s}=1}$; ${\displaystyle q_{s}\equiv p_{s}Y_{s}}$, — риск-нейтральные вероятности; ${\displaystyle {\tilde {m}}\equiv Y/r}$ — стохастический дисконтирующий множитель; ${\displaystyle \pi _{s}=q_{s}/r}$ — цены состояний ${\textstyle \sum _{s}\pi _{s}=1/r}$

Финансовая экономика изучает, как рациональные инвесторы применяют теорию принятия решений для управления инвестициями. Финансовая экономика строится на принципах микроэкономики, из которой выводятся ключевые результаты, применяемые к принятию решений в условиях неопределённости на финансовых рынках. Экономическая логика, лежащая в основе этих идей, приводит к фундаментальной теореме, определяющей условия для отсутствия арбитража^[5][6] при ценообразовании активов. Непосредственным результатом этой теоремы является ряд фундаментальных формул оценки стоимости активов.

В основе всех концепций финансовой экономики лежат идеи текущей (приведённой) стоимости и математического ожидания^[6].

Первая формула ${\displaystyle X_{sj}/r}$ позволяет агрегировать ожидаемые потоки платежей (или другие доходы), генерируемые активом в будущем, к единому показателю на текущую дату, что облегчает сравнение различных инвестиционных возможностей и становится отправной точкой для принятия финансовых решений^[a]. Стоит заметить, что в данном случае символ ${\displaystyle r}$ обозначает общий (или произвольный) коэффициент дисконтирования, применяемый к денежным потокам, в то время как в моделях оценки активов сначала производится коррекция выплат на уровень риска, а затем применяется безрисковая ставка (подробнее об этом ниже).

Расширением этого подхода является объединение вероятностей и дисконтированной стоимости, что приводит к концепции математического ожидания. Согласно ей, ценность актива задаётся как функция размеров ожидаемых выплат ${\displaystyle X_{s}}$ и вероятностей их возникновения ${\displaystyle p_{s}}$^[b].

Однако этот подход игнорирует неприятие риска участниками рынка. Дело в том, что дополнительное богатство приносит человеку бо́льшую пользу, когда он беден, и меньшую — когда богат. Следовательно, необходимо соответствующим образом скорректировать веса, назначаемые различным возможным исходам (состояниям мира), то есть величину ${\displaystyle Y_{s}}$, отражающую чувствительность к риску в каждом состоянии.

В условиях неопределённости выбор оптимальной стратегии можно определить как максимизацию ожидаемой полезности. Формально гипотеза ожидаемой полезности утверждает, что если выполнены определённые аксиомы, субъективная ценность рискованных вложений для индивида соответствует математическому ожиданию оценок возможных исходов, данных этим человеком.

Источником теории ожидаемой полезности стали различные противоречия, обнаруженные в рамках подхода, основанного на ожидаемом значении полезности, такие как парадокс Санкт-Петербурга и парадокс Элсберга^[c].

Концепции ценообразования без арбитража, рационального ценообразования и экономического равновесия тесно взаимосвязаны^[10] и лежат в основе классических^[11] (неоклассических^[12]) моделей финансовой экономики.

Рациональное ценообразование предполагает, что стоимость активов (и соответствующие модели оценки) устанавливается на уровне безарбитражного ценообразования, так как любое отклонение от справедливых рыночных уровней немедленно устраняется арбитражными операциями. Это положение известно как закон единой цены и играет ключевую роль в оценке долговых ценных бумаг, особенно облигаций и производных инструментов.

Экономическое равновесие описывает состояние, при котором силы спроса и предложения сбалансированы, и при отсутствии внешнего воздействия значение этих экономических переменных не изменится. Теория общего равновесия рассматривает поведение предложения, спроса и цен на уровне всей экономики, состоящей из нескольких или множества взаимодействующих рынков, при доказательстве существование набора цен, ведущего к общему равновесию. Это отличает её от концепции частичного равновесия, которое изолированно анализирует отдельные рынки.

Связь между этими двумя концепциями заключается в следующем: если рыночные цены образуют полный рынок и исключают любую возможность арбитража, то они создают безарбитражный рынок, что автоматически приводит к состоянию арбитражного равновесия. Интуитивно это можно представить следующим образом: если существуют арбитражные возможности, цены неизбежно изменятся, устраняя возникшую разницу, и рынок выйдет из состояния равновесия^[13]. Таким образом, арбитражное равновесие является обязательным условием для достижения общего экономического равновесия.

Полный рынок в данном контексте означает наличие цены для каждого актива в каждом возможном состоянии мира ${\displaystyle s}$, а также способность сформировать полный комплект ставок на будущие состояния мира с использованием существующих активов (предполагается отсутствие препятствий вроде комиссий или ограничений). Фактически, это сводится к одновременному определению ${\displaystyle n}$ риск-нейтральных вероятностей ${\displaystyle q_{s}}$ при заданных ${\displaystyle n}$ ценах. Простым примером является подход риск-нейтрального ценообразования, где экономика имеет всего два возможных состояния — рост и падение, а ${\displaystyle q_{up}}$ и ${\displaystyle q_{down}}$=${\displaystyle 1-q_{up}}$ ​ — это соответствующие вероятности, которые формируют итоговое распределение, называемое мерой вероятности.

Основная теорема ценообразования активов оформляет эти положения математически. Рынок с «физическими» вероятностями, обозначенными как ${\displaystyle P}$:

• считается свободным от арбитража тогда и только тогда, когда существует хотя бы одна риск-нейтральная мера вероятности ${\displaystyle Q}$, эквивалентная ${\displaystyle P}$;
• считается полным, если мера ${\displaystyle Q}$ уникальна и существует безрисковый актив, который может играть роль нумерара (единицы измерения) для ценообразования^[14].

Теоретическое обоснование требований к доходности активов и методам их оценки строится на аргументах, связанных с отсутствием арбитража^[6][13][10]. Анализ часто проводится с допущением наличия репрезентативного агента^[15], то есть модель предполагает, что все участники рынка ведут себя однородно (или, по крайней мере, их коллективные действия эквивалентны поведению одного субъекта). Это упрощает задачу и позволяет сделать её математически разрешимой.

Полученная мера позволяет рассчитывать требуемую доходность любого актива (или портфеля). Доходность определяется как сумма безрисковой ставки и премии за риск^[6], компенсирующей непредсказуемость денежных потоков актива. Размеры премии за риск варьируются в зависимости от характера актива и степени неопределённости его доходов. Большинство моделей оценки стоимости можно рассматривать как разновидности данного подхода, построенные на основе определённых предпосылок или условий^[6][5][16]. Такой подход согласуется с вышеизложенными принципами, но ориентирован на рыночные условия (безарбитражные и находящиеся в равновесии, согласно условиям теоремы), а не на индивидуальные предпочтения инвесторов.

Возвращаясь к примеру, при оценке производного инструмента его ожидаемые денежные потоки в указанных выше состояниях роста ${\displaystyle X_{up}}$ и падения ${\displaystyle X_{down}}$ умножаются на соответствующие вероятности ${\displaystyle q_{up}}$ и ${\displaystyle q_{down}}$ и затем дисконтируются по безрисковой ставке (см. вторую формулу справа). При оценке базового актива в условиях равновесия необходимо учитывать дополнительную премию за риск, прибавляемую к безрисковой ставке. Фактически, это означает объединение первой формулы с параметрами ${\displaystyle Y}$ и ${\displaystyle r}$. Премия за риск может быть найдена с помощью модели CAPM (или её расширений), как будет показано ниже в разделе § Неопределённость.

Разница в подходах к дисконтированию объясняется следующим образом: согласно финансовой теории, cтоимость производного инструмента (например, опциона) должна расти с темпом безрисковой ставки. Иначе появляется возможность арбитража. В случае с опционом этот принцип реализуется через дельта-хеджирование — создание искусственного инструмента путём комбинирования (покупки/продажи) базового актива и безрисковой облигации. Поскольку эта комбинация лишена риска, её будущая стоимость дисконтируется именно по безрисковой ставке. Однако при оценке базового актива такая операция невозможна (так как базовый актив является самостоятельным, а не производным инструментом), и поэтому требуется учитывать премию за риск.

Несмотря на разделение финансовой математики на два аналитических подхода, они внутренне согласованы между собой, как следует из основной теоремы. Портфельное управление и риск-менеджмент обычно используют реальные (физические) вероятности, обозначаемые ${\displaystyle P}$, в то время как ценообразование производных инструментов основывается на риск-нейтральных вероятностях, обозначаемых ${\displaystyle Q}$. В конкретных приложениях используются строчные буквы, как в формулах выше. На практике cпециалисты по количественному анализу ("кванты, с англ. — «quantitative finance») преобразуют реальные (физические) вероятности в риск-нейтральные, что позволяет вести расчёты так, словно рынок нейтрален к риску, и производить дисконтирование ожидаемых выплат по безрисковой ставке.

После установления вышеуказанного соотношения можно вывести более специализированную модель Эрроу-Дебрё^[d]. Согласно этой модели, при определённых экономических условиях должна существовать система цен, при которой совокупное предложение будет совпадать с совокупным спросом на каждый товар в экономике. Модель Эрроу-Дебрё применима к экономическим системам с максимально полными рынками, на которых существуют рынки для каждого момента времени и установлены форвардные цены для любого сочетания времени и товара.

Прямым продолжением этой идеи является концепция ценной бумаги, связанной с состоянием рынка (также известной как ценная бумага Эрроу-Дебрё). Это договор (контракт), предусматривающий выплату одной единицы нумерара в случае наступления определённого состояния (роста или падения в упрощённом примере выше) в указанный будущий момент времени. При этом во всех других состояниях выплата равна нулю. Цена этой ценной бумаги и есть цена состояния ${\displaystyle \pi _{s}}$ для данного состояния мира; совокупность таких цен также называется риск-нейтральной плотностью^[20].

В приведённом выше примере цены состояний ${\displaystyle \pi _{up}}$ и ${\displaystyle \pi _{down}}$ будут равны приведённым значениям ${\displaystyle \$q_{up}}$ и ${\displaystyle \$q_{down}}$. То есть это та сумма, которую инвестор готов заплатить сегодня за право владеть ценными бумагами, дающими право на выплаты в случае наступления состояний роста и падения. Вектор цен состояний — это перечень всех цен состояний для всех возможных ситуаций. Применительно к оценке производных инструментов, их сегодняшняя стоимость будет представлять собой простую линейную комбинацию цен состояний [${\displaystyle \pi _{up}}$×${\displaystyle X_{up}}$ + ${\displaystyle \pi _{down}}$×${\displaystyle X_{down}}$]. Это соответствует четвёртой формуле на вставке справа (обратите внимание: премия за риск здесь отсутствует, так как расчёты ведутся в риск-нейтральной логике, как указано выше). Если число возможных состояний бесконечно, то цена актива определяется интегрированием вкладов всех возможных состояний мира, взвешенных соответствующими плотностями вероятности.

Цены состояний находят немедленное применение как инструмент для анализа условных требований (англ. contingent claim analysis) (методологии оценки активов, выплата по которым зависит от наступления определённых событий)^[6], но также полезны для практической оценки активов^[21]. Исходя из описанного механизма ценообразования, стоимость любого производного инструмента (а по сути, любого актива)^[2] можно представить в виде линейной комбинации цен состояний, иными словами, восстановить значения самих цен состояний, исходя из наблюдаемой рыночной цены производного инструмента^[22][21][20]. Вычисленные таким образом цены состояний затем могут использоваться для оценки других инструментов, зависящих от базовой переменной, либо для иных целей, связанных с самим базовым активом.

При помощи соответствующего стохастического дисконтирующего множителя (англ. SDF), обозначаемого как ${\displaystyle {\tilde {m}}_{s}}$, также называемого фактором ценообразования, цена актива определяется следующим образом: будущие денежные потоки дисконтируются указанным множителем, после чего берётся ожидаемое значение полученного результата^[16][23] (см. третью формулу выше). Данный множитель отражает отношение предельной полезности (которая является функцией возможных значений актива в соответствующих состояниях мира) в заданный будущий период к текущей полезности (обусловленной сегодняшним благосостоянием инвестора), и поэтому иногда называется временной нормой замещения полезности. Таким образом, SDF можно рассматривать как дисконтированную оценку уровня неприятия риска ${\displaystyle Y_{s}}$, которая связана с отношением риск-нейтральной вероятности к физической вероятности состояния ${\displaystyle q_{s}/p_{s}}$. Для понимания взаимосвязи см., например, теорему Гирсанова и производную Радона-Никодима.

Рассмотренные выше экономические концепции служат основой для разработки широкого спектра моделей и принципов, используемых как в экономике, так и в финансовом анализе. Как отмечалось, основными областями внимания финансовой экономики являются оценка активов и корпоративные финансы, причём первое направление ориентировано на перспективы поставщиков капитала, а второе — на потребности пользователей капитала. Практически любая модель финансовой экономики строится вокруг четырёх базовых элементов^[1][15]:

• время: доступные сегодня средства сопоставляются с деньгами, доступными завтра;
• неопределённость (или риск): будущие суммы денежных переводов остаются неизвестными;
• выбор: одна сторона сделки может принять решение позже, что повлияет на последующий поток платежей;
• информация: наличие знания о будущем может снизить или даже исключить неопределённость, связанную с будущей стоимостью денег (англ. Future Money Value, FMV).

Применение подобной структуры вместе с ранее изложенными теоретическими построениями позволяет последовательно создавать соответствующие финансовые модели. Изначально принимается упрощающее предположение о полном отсутствии неопределённости, а затем в модель последовательно вносятся дополнения, включающие риск и прочие факторы^[4] (этапы моделирования нередко делят на детерминированный и случайный (стохастический)).^[24]

Началом нашего анализа является концепция инвестиций в условиях определённости, рассматриваемая обычно в контексте корпоративного сектора. Теорема разделения Фишера утверждает, что главной задачей корпорации является максимизация её текущей стоимости вне зависимости от предпочтений акционеров. К этому примыкает теорема Модильяни-Миллера, утверждающая, что при выполнении ряда условий стоимость компании остаётся неизменной независимо от того, каким способом финансируется деятельность компании (через выпуск акций или заимствования) и какую дивидендную политику проводит руководство. Доказательства этих положений строятся на принципах отсутствия арбитража и формируют основу^[10] для дальнейшего исследования реальных факторов, оказывающих влияние на рыночную стоимость предприятий^[e].

Американский аналитик и инвестор Джон Бурр Уильямс заложил основы^[27][28] современной методики оценки стоимости компании в своём труде «Теория инвестиционной стоимости» (англ. The Theory of Investment Value). Он предложил рассчитывать стоимость актива на основе правила приведённой стоимости: согласно его подходу, справедливая стоимость обыкновенной акции равна текущей величине её будущих денежных выплат в виде дивидендов (или свободных денежных потоков для компании в целом). Выбор правильной ставки дисконтирования оставался на тот момент нерешённым вопросом. Дальнейшее развитие науки подтвердило, что формально обоснованная ставка должна отражать не индивидуальные предпочтения владельца, а относительный уровень риска самого актива по сравнению с рынком в целом. Концепция чистой приведённой стоимости (NPV) непосредственно вытекает из этой логики и находит широкое применение в корпоративных финансах. Подробности и дополнительные модели можно найти в статье Стоимость денег с учётом фактора времени^[f].

Оценка стоимости облигаций, денежные потоки (купонные платежи и погашение номинала) которых определены заранее, осуществляется аналогично^[24]. Далее вводится подход, свободный от арбитража, при котором каждая отдельная выплата дисконтируется по рыночной ставке, соответствующей сроку платежа и кредитоспособности эмитента, а не по общей средней ставке дисконтирования. Многие учебные курсы и публикации начинают изучение оценки облигаций раньше, чем акций, поскольку выплаты по облигациям заранее известны и гарантированы, в то время как дивиденды по акциям подвержены неопределённости и требуют прогнозирования. Джон Уильямс и его последователи предложили способы прогнозирования этих денежных выплат на основе исторических показателей или официально объявленных дивидендных политик компаний, считая их условно детерминированными (подробности приведены ниже в разделе § Теория корпоративных финансов).

Итак, как для акций, так и для облигаций, в условиях определённости, когда внимание cконцентрировано на движении денежных потоков от ценных бумаг во времени, основанная на временной структуре процентных ставок оценка полностью согласуется с методами, свободными от арбитража^[29]. Закон единой цены предполагает существование фактора дисконтирования, выраженного представленной выше формулой^[30]: ${\textstyle \sum _{s}\pi _{s}=1/r}$, где ${\displaystyle r}$ — рыночная ставка процента, а ${\displaystyle \pi _{s}}$​ — фактор дисконтирования для каждого периода. Эта связь обеспечивает общую базу для практических расчётов стоимости активов и гарантирует отсутствие противоречий между теоретическими положениями и реальной практикой.

Хотя эти результаты, касающиеся ситуаций определённости, играют важную роль в корпоративной финансовой практике, центральным направлением дальнейших исследований в области оценки активов становится учёт неопределённости. Разработанная Фишером теория межвременного выбора послужила фундаментом^[27] для последующих исследований^[31] в этой области^[g]. См. указанный источник для продолжения анализа^[32].

Подходы к выбору в условиях неопределённости, основанные на допущениях о рациональности поведения участников рынка и эффективности финансовых рынков, позволили сформулировать ключевые элементы современной финансовой теории:

• портфельную теорию (англ. Modern Portfolio Theory, MPT) и модель оценки капитальных активов (англ. Capital Asset Pricing Model, CAPM), согласно которым цены определяются балансом спроса и предложения на рынке в условиях равновесия;
• Теория Блэка-Шоулза (англ. Black-Scholes-Merton, BSM), устанавливающая механизм ценообразования опционов таким образом, чтобы избежать возможностей арбитража.

Связь между этими моделями заключается в следующем: модель Блэка-Шоулза построена так, чтобы цена опциона соответствовала условиям отсутствия арбитража относительно базовых ценных бумаг, чья цена формируется в результате рыночного равновесия.

Более простое и интуитивное представление этого процесса выглядит следующим образом^[33]:

Предположим, что участники рынка имеют возможность извлечь прибыль из частной информации. Так как они заинтересованы получать и использовать такую информацию, своими действиями они способствуют формированию более «точных», то есть эффективных, цен. Такое поведение поддерживает гипотезу эффективного рынка (EMH), утверждающую, что если цены финансовых активов близки к эффективным, то отклонения от равновесных значений быстро устраняются.

Гипотеза эффективного рынка (EMH) исходит из предположения, что среднерыночные ожидания являются оптимальным прогнозом, то есть рыночные цены включают всю доступную информацию и оптимально отражают наиболее точные прогнозы будущих событий. Участники рынка могут временно пере- или недооценивать новые данные^[34], однако совокупный эффект таких реакций распределён нормально, что означает невозможность стабильного извлечения сверхприбыли^[34][h]. В условиях свободной конкуренции рыночные цены отражают всю известную информацию и реагируют только на появление неожиданных новостей^[36], формируя гипотезу случайного блуждания цен (англ. Random Walk Hypothesis).

Перечисленные условия позволяют предположить, что инвесторы ведут себя рационально: их инвестиционные решения должны быть обоснованными, иначе неизбежны убытки^[34]. При возникновении арбитражных возможностей трейдеры незамедлительно ими воспользуются, тем самым усиливая рыночное равновесие. Как и в случае с инвестированием в условиях определённости, ключевым положением о ценообразовании является следующее: стоимость активов оценивается как текущая стоимость ожидаемых будущих доходов (дивидендов), рассчитываемая на основе доступной информации^[5][36][15]. Основная задача состоит в том, чтобы предложить теорию для определения подходящей нормы дисконта (требуемой доходности) с учётом существующей неопределённости. Эту проблему решают современные портфельная теория (MPT) и модель оценки капитальных активов (CAPM). Кроме того, анализ рационального поведения инвесторов, направленного на устранение арбитражных возможностей, приводит к выведению формулы Блэка-Шоулза, где цены опционов оказываются совместимыми с выводами CAPM.

Современная портфельная теория занимается поиском оптимального баланса между риском и доходностью при инвестициях в разнообразный набор активов. Модель оценки капитальных активов (CAPM) является более узконаправленным и описывает, как в условиях равновесия рынки устанавливают цены активов в зависимости от их риска^[i]. Важный вывод обеих моделей заключается в том, что результаты ценообразования не зависят от индивидуальных предпочтений инвесторов в отношении риска или выбранного ими функционала полезности. Это даёт возможность определить единую норму дисконта, пригодную как для менеджеров корпоративных финансов, так и для обычных инвесторов.^[37]. Логика рассуждений следующая^[38]: если возможно составить границу эффективностей портфелей (каждый набор активов обеспечивает наилучшие показатели ожидаемого дохода при данном уровне риска), то оптимальное формирование портфеля сводится к комбинированию вложений в безрисковые активы и рыночный портфель (это подтверждается теоремой разделения портфелей). График, изображающий эту комбинацию, называется линией рынка капитала (CML). Следовательно, требуемая доходность рискованного актива будет зависеть только от его ковариации (беты) с общим рыночным риском. Инвесторы могут увеличить общий уровень полезности (доходности) не за счёт индивидуального выбора акций, а за счёт увеличения кредитного плеча, то есть займов, направленных на приобретение рыночного портфеля. Это достигается путём формирования оптимального портфеля, состоящего из безрискового актива и рыночного портфеля, где пропорции зависят от индивидуальной толерантности инвестора к риску. Этот подход демонстрирует принцип разделения (англ. separation property), графически представленный в виде линии рынка капитала на диаграмме справа. Формула расчёта подтверждает данное положение: требуемая доходность равна сумме безрисковой ставке плюс премия за риск^[5] (§ Ценообразование без арбитража и равновесие). Более современное и прямое доказательство дано в конце этого раздела и может быть распространено на получение других моделей равновесного ценообразования.

Модель Блэка–Шоулза предлагает математическую конструкцию финансового рынка, содержащего производные инструменты, и формулы для определения стоимости европейского опциона^[j]. Модель представлена в виде дифференциального уравнения в частных производных, описывающего динамику изменения стоимости опциона во времени. Уравнение основано при предположении логарифмически нормального распределения и геометрического броуновского движения цен базового актива. Фундаментальным финансовым открытием, лежащим в основе модели, является утверждение о том, что инвестор способен идеальным образом застраховать позицию по опциону, покупая и продавая базовый актив определённым образом. Это позволяет полностью устранить риск и исключить поправки на риск из процесса ценообразования (стоимость опциона ${\displaystyle V}$ растёт по безрисковой ставке ${\displaystyle r}$)^[6][5]. Такая стратегия хеджирования подразумевает единственно верную цену опциона в условиях отсутствия арбитража и именно такая цена получается с помощью формулы Блэка–Шоулза. Сама формула является решением уравнения Блэка–Шоулза и полностью согласуется с ним. Поскольку формула не учитывает ожидаемую доходность акций, модель Блэка–Шоулза характеризуется нейтральностью к риску, что совпадает с результатами вышеприведённых выводов. Дополнительным аргументом является то, что формула может быть получена непосредственно через нейтральное к риску ожидание. Основы математики здесь составляют лемма Ито, а также более общее исчисление Ито, играющие фундаментальную роль в количественном финансовом анализе^[k].

Основное заключение теоремы ценообразования активов (англ. Fundamental Theorem of Asset Pricing) состоит в том, что обе ведущие теории согласованы между собой. Альтернативно уравнение Блэка–Шоулза можно вывести из модели оценки капитальных активов (CAPM), и цена опциона, полученная с помощью модели Блэка–Шоулза, соответствует предположениям CAPM^[44][11]. Хотя теория Блэка–Шоулза изначально строится на условии отсутствия арбитража, она вполне совместима с равновесием на рынке капитала. Обе модели, в свою очередь, находятся в полном согласии с теорией Эрроу-Дебрё и могут быть получены через механизм ценообразования по состоянию (англ. state-pricing), развивая указанные выше фундаментальные уравнения, что дополнительно подкрепляет их совместимость^[6]. Подробнее говоря, CAPM^[16] выводится путём установления связи между мерой неприятия риска ${\displaystyle Y}$, общей доходностью рынка и доходностью отдельного актива ${\displaystyle j}$, определяемой как ${\displaystyle X_{j}/Price_{j}}$. Что касается формулы Блэка–Шоулза, то она выводится^[16] как предел^[45] приближения биномиальной модели^[10], где каждой возможной цене базового актива (то есть состоянию мира) присваивается своя вероятность, после чего производится преобразование, приводящее к элементам ${\displaystyle N(d_{1})}$ и ${\displaystyle N(d_{2})}$ (как поясняется во вставке справа). Подробности соотношения между этими моделями описаны в статье Биномиальная модель ценообразования опционов § Связь с моделью Блэка-Шоулза.

Финансовая интерпретация уравнения Блэка-Шоулза: ${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}=rV}$ На основании арбитражных аргументов мгновенное влияние времени ${\displaystyle t}$ и изменения спот-цены ${\displaystyle s}$ на стоимость опциона ${\displaystyle V}$ будет (должно) реализовываться как рост по безрисковой ставке r, когда опцион правильно "сконструирован" (то есть идеально захеджирован)

Формула Блэка-Шоулза для определения стоимости колл-опциона: ${\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}$ Стоимость колл-опциона представляет собой приведённую стоимость его ожидаемой выгоды в денежной форме, дисконтированную по безрисковой ставке. Значение ${\displaystyle N(d_{2})}$ показывает стандартную вероятность реализации опциона (вероятность того, что цена актива превысит цену исполнения на момент экспирации). Число ${\displaystyle N(d_{1})S}$ отражает текущую стоимость ожидаемой цены актива на момент истечения опциона, при условии, что опцион окажется исполненным (то есть цена актива превышает цену исполнения)

Современные исследования продолжают развиваться, расширяя и обобщая эти модели. Что касается ценообразования активов, разработки в области равновесного ценообразования обсуждаются ниже в разделе Портфельная теория, в то время как ценообразование производных инструментов связано с нейтральностью к риску, то есть с безарбитражным подходом. Основные приложения этих моделей в области использования капитала рассмотрены в разделе Теория корпоративных финансов.

Большая часть работ в данной области посвящена вопросам требуемой доходности, то есть ценообразованию, и развивает базовые положения модели оценки капитальных активов (CAPM). Многофакторные модели (например, трёхфакторная модель Фамы-Френча (англ. Fama–French three-factor model) и четырёхфакторная модель Кархарта (англ. Carhart four-factor model), вводят дополнительные факторы ценообразования, отличные от доходности рынка. Межвременная (англ. intertemporal CAPM) и потребительские (англ. consumption-based CAPM) версии предлагают дальнейшие расширения оригинальной модели. В рамках межвременного выбора инвестор многократно оптимизирует свой портфель, а включение фактора потребления добавляет в расчёт требуемой доходности все источники благосостояния, а не только рыночные инвестиции.

Однако наряду с такими продвинутыми многофакторными моделями существует простая однофакторная (англ. single-index model) модель, которая предполагает лишь наличие корреляции между доходностью ценной бумаги и доходностью рынка без прочих экономических допущений. Преимуществом однофакторной модели является простота оценки корреляции между различными активами и значительное сокращение числа необходимых исходных данных для формирования корреляционной матрицы, важной при оптимизации портфеля.

Теория арбитражного ценообразования (APT) также заметно отличается своими предположениями. APT отвергает концепцию универсального оптимального портфеля и заменяет её объяснением факторов, определяющих доходность активов^[46]. Она определяет требуемую (ожидаемую) доходность финансового актива как линейную функцию различных макроэкономических факторов и исходит из предположения, что арбитраж должен возвращать активы с некорректными ценами в равновесное состояние^[l].

Линейная структура факторной модели APT лежит в основе большинства коммерческих систем контроля рисков и управления фондами. Управляющие активами^[49][50] используют различные многофакторные модели, чтобы их портфель соответствовал желаемому уровню риска^[51] по макроэкономическим, рыночным и фундаментальным факторам. На основе этого создаются различные фонды: макро-, факторные и стилевые. В этой области постоянно ведутся исследования и для объяснения доходности предлагается всё большее число факторов^[52]. Это большое разнообразие (называемое «зоопарком факторов»^[53]) создаёт риск подгонки данных, поэтому исследователи разрабатывают специальные критерии для проверки их значимости.

Несмотря на развитие многофакторных моделей, традиционные методы средне-дисперсионной оптимизации (англ. mean-variance optimization) остаются востребованными среди фондов, занимающихся размещением активов^[54]. Классический подход, разработанный Гарри Марковицем, обладает рядом ограничений, поэтому часто сочетается с дополнительными техниками. Одним из распространённых дополнений является модель модель Блэка–Литтермана^[55], которая идёт дальше первоначального подхода Марковица: она начинается с предположения о рыночном равновесии, но затем корректируется с учётом мнения конкретного инвестора о перспективах доходности активов, что позволяет формировать индивидуальный портфель^[56] для размещения активов. Дополнительным усовершенствованием часто становится оптимизация по риску. Другим распространённым дополнением^[57] стал подход паритета хвостового риска (англ. Tail Risk Parity), который переносит фокус с традиционного распределения капитала на распределение риска, уделяя особое внимание поведению активов в моменты экстремальных рыночных шоков.

Помимо этих методов, существуют и другие важные нововведения в области оптимизации портфеля:

• многокритериальный анализ решений (англ. multiple-criteria decision analysis), который используется, когда важны не только волатильность, но и другие характеристики активов, такие как эксцесс и асимметрия. В результате формируются парето-эффективные портфели;
• универсальный портфельный алгоритм, определяющий оптимальный портфель роста по критерию Келли при применении теории информации к процессу выбора активов. Алгоритм адаптивно обучается на исторических данных, чтобы максимизировать логарифмическую скорость роста портфеля в долгосрочной перспективе;
• поведенческая теория портфеля, признающая, что инвесторы руководствуются разными целями, и стремящаяся создать портфель, который удовлетворит широкий диапазон потребностей.

Наконец, новейшими трендами стали такие методы, как копулы, генетические алгоритмы^[58] и в целом методы машинного обучения^[59], которые начали активно внедряться в управление портфелем. См. материал ниже^[59]. Их активное применение стало возможным благодаря развитию вычислительных финансов, обеспечивающих необходимый инструментарий для практической реализации этих сложных моделей и анализа больших данных в реальном времени.

бета

Модели ценообразования опционов используются для оценки производных инструментов, в частности американские опционы оцениваются с помощью биномиальной модели ценообразования, представляющей собой дискретизированную версию модели Блэка–Шоулза. Такие дискретные модели строятся с применением цен состояний, хотя это может быть не сразу очевидно (см. выше раздел Цены состояний). Большое число исследователей использовало опционы для обратной реконструкции цен состояний в различных приложениях финансовой экономики^[6][22][44].

Для производных инструментов, зависящих от истории изменения цены актива, применяются методы Монте-Карло. Здесь моделирование ведётся в непрерывном времени, но аналогичным образом используется нейтральное к риску математическое ожидание. Было разработано множество других численных методов. Одновременно продолжилось развитие теоретической базы, и с начала 2000-х годов стандартным подходом стало мартингальное ценообразование^[m].

Основываясь на этих технических приёмах, были созданы модели для различных классов базовых активов и приложений, использующих одинаковый логический подход, известный как анализ условных требований (англ. contingent claim analysis). Этот подход логически эквивалентен наличию рынка, на котором обращаются бумаги Эрроу–Дебре (ценные бумаги, приносящие выплаты в зависимости от наступления конкретного события в определённый момент времени). Реальные опционы учитывают возможность влияния держателя опциона на базовый актив. Модели оценки опционов эмитента открыто признают возможное нерациональное поведение держателей опционов. Кредитные производные принимают во внимание возможность невыполнения платёжных обязательств или поставки активов. Экзотические производные инструменты также регулярно оцениваются. Производные инструменты, зависящие от нескольких активов, обрабатываются с помощью симуляции или анализа на основе копул.

Подобным образом, различные модели краткосрочных процентных ставок позволяют расширить данные методы для производных инструментов с фиксированной доходностью и для процентных деривативов (модели Васичека и CIR основаны на равновесном подходе, тогда как модель Хо — Ли и последующие основаны на принципе отсутствии арбитража). Более универсальная модель HJM получила более широкое применение, так как описывает полную динамику форвардных ставок, а не только краткосрочные показатели. Оценка самого базового инструмента и его производных также эволюционировала, особенно в случае гибридных ценных бумаг, где кредитный риск сочетается с неопределённостью относительно будущих процентных ставок. (См. раздел Решётчатая модель (финансы) § Гибридные ценные бумаги)^[n].

После биржевого краха 1987 года американский рынок начал демонстрировать феномен, известный как улыбка волатильности: опционы с ценой исполнения, отличающейся от текущей цены базового актива (особенно опционы «вне денег», OTM) торговались по значительно более высоким ценам и имели более высокую подразумеваемую волатильность, чем опционы «при деньгах» (ATM). Такое ценообразование отклонялось от ожиданий модели Блэка–Шоулза, которая предполагает постоянную волатильность (форма этой улыбки различается на разных рынках). Причины возникновения улыбки волатильности активно исследуются, и их влияние на традиционную теорию подробно обсуждается далее.

После кризиса 2008 года методология оценки производных финансовых инструментов претерпела значительные изменения^[69]. Ранее оценка внебиржевых (OTC) деривативов проводилась на основе модели Блэка–Шоулза, которая предполагала финансирование по безрисковой ставке и возможность совершенного воспроизведения денежных потоков для полного хеджирования. Однако кризис показал уязвимость этого предположения, поскольку выявились серьёзные проблемы с ликвидностью и возросли кредитные риски контрагентов.

Чтобы исправить ситуацию, в настоящее время при оценке производных инструментов дополнительно принимаются во внимание такие факторы, как риск контрагента, затраты на фондирование и требования к капиталу. Для учёта этих факторов к традиционной нейтральной к риску стоимости дериватива^[70] добавляются поправка на кредитный риск (англ. credit valuation adjustment, CVA) и другие виды корректировок (англ. X-Valuation Adjustment, XVA). Стандартные экономические принципы могут быть распространены и на эти корректировки^[71].

Ещё одно фундаментальное изменение заключается в том, что теперь дисконтирование производится по ставке овернайт индексного свопа (англ. Overnight Index Swap, OIS), а не по ставкам LIBOR, как это было раньше. После кризиса было признано, что ставка овернайт лучше отражает безрисковую ставку^[72]. Кроме того, практика начисления процентов по залоговым средствам также перешла на ставку овернайт, поэтому дисконтирование по OIS иногда называют дисконтированием по договору о предоставлении залога (англ. Collateral Agreement Discounting / CSA discounting). Изменился и подход к оценке свопов и построению кривых доходности. Если раньше свопы оценивались по одной «самодисконтирующей» кривой процентных ставок, то после кризиса появился новый подход с несколькими кривыми (англ. multi-curve framework), при котором для каждого срока плавающих ставок LIBOR строится отдельная кривая прогнозирования, а дисконтирование всех потоков осуществляется по общей кривой OIS.

Принимая во внимание вышеописанные тенденции, корпоративные финансы перестали основываться на предположении об определённости^[o]. Методы Монте-Карло позволяют финансовым аналитикам конструировать стохастические или вероятностные модели корпоративной деятельности, противопоставляемые традиционным статическим и детерминированным моделям^[76]. Параллельно этому, теория реальных опционов позволяет учитывать влияние действий владельцев (менеджмента) на внутреннюю стоимость проектов. Благодаря логике ценообразования опционов, эти действия накладываются на распределение будущих результатов, меняющихся со временем, что, в свою очередь, определяет текущую оценку проекта^[77]. Традиционно используемый древовидный и смежные подходы позволяют анализировать проекты, включая все возможные события (или состояния) и последующие управленческие решения^[78][76]. При этом ставка дисконтирования отражает неснижаемый (недиверсифицируемый) риск, присущий каждому моменту принятия решений^[76].

Что касается оценки акционерного капитала, то исторически применялся подход, при котором дисконтировались усреднённые (или наиболее вероятные) денежные потоки^[79]. Это расходилось с теоретически более корректным анализом, который в условиях неопределённости учитывает денежные потоки по каждому состоянию. В более точных современных подходах дисконтируются именно ожидаемые денежные потоки ( математически:${\textstyle \sum _{s}p_{s}X_{sj}}$) за каждый прогнозируемый период^{[80][81][82][76]}. Используя модель CAPM или её аналоги, дисконтирование осуществляется по безрисковой ставке плюс премия за риск, отражающая неопределённость денежных потоков компании или проекта^[76] (по сути, в этом подходе доходность ${\displaystyle Y}$ и и ставка дисконтирования ${\displaystyle r}$ объединяются).

Среди других направлений можно выделить^[83] развитие агентской теории, изучающей трудности мотивации корпоративного менеджмента (агентов) действовать в интересах акционеров (принципалов), а не в собственных интересах^[84]. Здесь на первый план выходят проблемы структуры капитала. Концепция остаточного подхода к бухгалтерскому учёту (англ. clean surplus accounting) и связанный с ней метод оценки остаточной прибыли предоставляют модель, в которой цена компании определяется функциями прибыли, ожидаемой доходности и изменения балансовой стоимости, а не только размером дивидендов. Эта модель частично разрешает внутренний парадокс, возникший вследствие одновременного утверждения, что стоимость компании зависит от дивидендов, и утверждения, что дивидендная политика не оказывает влияния на стоимость компании (см. Принцип нецелесообразности Модильяни и Миллера).

Обобщая сказанное, корпоративные финансы как научная дисциплина, опираясь на подход Ирвинга Фишера, нацелены на долгосрочную максимизацию стоимости компании и увеличения прибыли акционеров. Таким образом, они охватывают вопросы структуры капитала и дивидендной политики^[85]. Среди важных достижений здесь можно отметить следующие:

• оптимизация структуры капитала и соответствующие теории, объясняющие выбор и поведение компаний: теория замещения структуры капитала, теория очерёдности финансирования (англ. pecking-order theory), гипотеза рыночного тайминга и компромиссная теория (англ. trade-off theory);
• анализ дивидендной политики, дополняющий или контрастирующий с подходом Модильяни и Миллера. К ним относятся: модель Уолтера, модель Линтера, теория остаточной прибыли и сигнальная гипотеза, а также обсуждение наблюдаемого эффекта клиентуры и загадки дивидендов.

Как уже было сказано, реальные опционы обычно применяются к задачам капитального бюджета, но также используются для анализа структуры капитала, дивидендной политики и проектирования корпоративных ценных бумаг^[86]. Поскольку акционеры и держатели облигаций преследуют разные цели, логика реальных опционов применяется и для решения проблем агентских конфликтов^[77]. В любом из этих случаев цены состояний позволяют получить рыночную информацию о компании, которая используется в дальнейшем анализе. Например, конвертируемые облигации должны оцениваться в соответствии с восстановленными ценами состояний корпоративных акций^[21][80].

Финансовая экономика выходит далеко за рамки простого ценообразования отдельных финансовых инструментов. Данная дисциплина активно исследует организацию и функционирование финансовых рынков, особо выделяя проблемы регулирования и внутренней структуры (микроструктуры) рынка, а также их влияние на формирование и эффективность цен.

Регуляторная экономика исследует общие экономические аспекты регулирования. В контексте финансов она изучает, как регулирование финансовых рынков влияет на их функционирование и эффективность ценообразования, а также взвешивает преимущества регулирования, такие как укрепление доверия к рынку и обеспечение финансовой стабильности. Учёные задаются вопросами, насколько эффективно регулирующие меры (например, публикации отчётов о прибылях, годовых отчётов, запрет на инсайдерскую торговлю и ограничения на короткие продажи) сказываются на эффективности цен, стоимости капитала и ликвидности рынка^[87].

Микроструктура рынка изучает внутренние механизмы торговых операций на финансовых рынках (в качестве прототипов рассматриваются модели рынков Вальраса, матчинга, Фишера и Эрроу—Дебре). Цель данного направления — изучение того, как специфика рыночных механизмов влияет на процесс ценообразования^[88], а также выявление способов, которыми рыночные процессы определяют уровень транзакционных издержек, цены, котировки, объёмы торгов и поведение участников. Микроструктурные модели объясняют такие явления, как длительные несоответствия обменных курсов^[89] и загадку премии за риск на фондовом рынке^[90]. В отличие от описанных выше классических подходов модели микроструктуры рынка явно учитывают рыночные трения и прочие несовершенства. Дополнительную информацию по этой теме можно найти в статье Дизайн рынка.

В обоих случаях — при изучении регулирования^[91] и для микроструктуры рынка^[92], а также в целом для других сфер^[93], — могут применяться агент-ориентированные модели^[94]. Эти модели имитируют торговлю между множеством агентов и позволяют исследовать последствия изменений в структуре рынка или регуляторной политике, проверяя их на искусственных финансовых рынках (англ. artificail financial market), АФР^[p]. Использование технологий искусственного интеллекта, таких как генетические алгоритмы и нейронные сети позволяет моделировать адаптацию поведения участников рынка^[94].

Нисходящие, идущие от первичных (англ. bottom-up) принципов поведения участников рынка агент-ориентированные модели основываются на поведении индивидуальных агентов, действующих самостоятельно^[95], и способны отображать коллективные феномены — стилизованные факты, возникающие из взаимодействия большого числа участников^[95]. Эти модели принципиально отличаются от классического подхода, где преобладает абстрактный репрезентативный агент (типичный представитель). Они вводят гетерогенность в cостав участников рынка, разрешают проблему агрегирования и придают результатам исследования большую гибкость и реалистичность.

Предметом активного научного интереса^[59] стало изучение потенциального влияния методов машинного обучения на функционирование и эффективность финансовых рынков. По мере распространения этих методов экономисты ожидают улучшение качества сбора и обработки информации и повышения эффективности ценообразования^[96]. Вместе с тем отмечается, что сложность интерпретации результатов (см. ниже), полученных с помощью методов машинного обучения, препятствует однозначному экономическому осмыслению данных^[59]. Возможно, кажущееся нарушение гипотезы эффективного рынка обусловлено отсутствием у инвесторов исчерпывающей информации обо всех тысячах переменных^[97], участвующих в процессе генерации рыночных данных.

Как отмечено выше, cуществует тесная связь между гипотезой случайного блуждания, предполагающей нормальное распределение изменения цен, и концепциями эффективной работы рынка и рациональных ожиданий. Однако наблюдения показывают частые и существенные отклонения от этих предположений, что порождает две основные группы проблем.

Классические финансовые модели основываются на двух фундаментальных предположениях: во-первых, что рыночные цены меняются случайным образом (гипотеза случайного блуждания), и во-вторых, что доходность активов распределяется по нормальному закону. Однако практика показывает, что эти предположения нередко нарушаются, и участники рынка (трейдеры, аналитики и риск-менеджеры) часто вынуждены корректировать существующие стандартные модели (см. длинный хвост, модельный риск, риски эксцесса и асимметрии распределения).

Уже в 1960-е годы математик Бенуа Мандельброт^[98] обнаружил, что изменения цен на финансовые активы не подчиняются нормальному распределению, на котором основывается значительная часть теории оценки опционов. Тем не менее, осознание этого факта проникало в мейнстрим экономической мысли достаточно медленно^[99].

Для устранения недостатков стандартных моделей были предложены новые подходы, такие как модели с тяжёлыми хвостами и кластерами волатильности (англ. financial models with long-tailed distributions and volatility clustering), а также модели скачкообразной диффузии (англ. jump-diffusion models), учитывающие внезапные скачки цен активов^[100]. Специалисты по управлению рисками используют исторические симуляции, комбинированные модели, метод главных компонент и теорию экстремальных значений, а также модели группировки волатильности для улучшения оценки рисков^[101]. Портфельные менеджеры, в свою очередь, модифицировали свои критерии и алгоритмы оптимизации, что подробно описано выше в разделе § Портфельная теория.

Следствием этих нарушений является феномен, известный как улыбка волатильности, при котором вменённая волатильность (англ. implied volatility), то есть волатильность, извлечённая из модели Блэка–Шоулза, изменяется в зависимости от цены исполнения (страйка) опциона. Подобные отклонения наблюдаются только в случае ненормального распределения изменений цен, что нарушает одно из ключевых предположений модели Блэка–Шоулза (формула теряет точность, так как значения ${\displaystyle N(d_{1})}$ и ${\displaystyle N(d_{2})}$ в формуле выше становятся недостоверными). Второй важный аспект — структура волатильности по срокам, показывающая, как вменённая волатильность изменяется в зависимости от срока исполнения опционов. Для наглядного объединения этих двух явлений (улыбки волатильности и структуры волатильности по срокам) был разработан специальный трёхмерный график, получивший название поверхность вменённой волатильности. Этот график визуально отображает, как вменённая волатильность зависит от двух ключевых параметров: цены исполнения и срока до окончания опциона. Эти эмпирические наблюдения ставят под сомнение предположения о постоянной волатильности и логнормальности, на которых построена модель Блэка–Шоулза^[40][100]. Последние десятилетия внутри организаций модель Блэка–Шоулза используется чаще всего для выражения цен через вменённую волатильность, аналогично тому, как доходность к погашению используется для сообщений о ценах облигаций.

Трейдеры и риск-менеджеры столкнулись с необходимостью приспособить свои модели к реальности, отличной от предлагаемой моделью Блэка–Шоулза идеальной картины. Вместо прежних предположений о нормальной волатильности теперь используют модели, совместимые с эффектом улыбки волатильности. В первую очередь они применяются для оценки производных инструментов, которые напрямую не лежат на поверхности улыбки волатильности (например, для менее ликвидных комбинаций цены исполнения и срока или неевропейских производных), и упрощают хеджирование. Существуют два основных подхода к такому моделированию:

• модели локальной волатильности предполагают, что волатильность является уникальной для каждой отдельной точки пространства цен и времени и вычисляется методом конечных разностей или симуляциями. Локальная волатильность отличается от подразумеваемой волатильности, которая считается однородной для всего опциона. При этом цены, рассчитанные по моделям локальной волатильности, совпадают с рыночными и сохраняют свободу от арбитража;
• модели стохастической волатильности утверждают, что волатильность цены базового актива — это случайный процесс, а не постоянная величина. Модели сначала калибруются по наблюдаемым ценам, а затем применяются для оценки или хеджирования. Наиболее распространённые из них — модели Хестона, SABR (англ. Stochastic Alpha Beta Rho) и CEV (англ. Constant Elasticity of Variance) — успешно справляются с некоторыми трудностями, связанными с хеджированием при использовании моделей локальной волатильности^[102].

Решётчатые методы, а именно биномиальные и триномиальные деревья вменённой волатильности, также основаны на подходах локальной волатильности. Они реализуют дискретизацию последних и используются для оценки производных инструментов, но гораздо реже^[20], чем модели локальной волатильности. Эти деревья строятся на основе цен состояний, восстановленных из поверхности волатильности. Деревья могут быть откалиброваны под улыбку волатильности, учитывая заданную асимметрию и эксцесс цен актива. Биномиальные деревья Эджворта позволяют учесть особую асимметрию и эксцесс (ненормальное распределение) текущих цен базового актива. Это означает, что опционы с разными ценами исполнения будут иметь разную вменённую волатильность, и само дерево может быть откалибровано под нужную форму улыбки волатильности^[103]. Кроме этого, были разработаны аналитические модели в замкнутой форме, имеющие схожее назначение и происхождение^[104].

Как уже говорилось, «классические» модели типа Блэка–Шоулза не только предполагают логнормальность доходности, но и содержат скрытые предположения о существовании безрисковой среды кредитования, где можно идеально воссоздать денежные потоки и осуществить полное хеджирование, дисконтируя их по безрисковой ставке. После кризиса выяснилось, что необходимо внести дополнительные корректировки ХVA, компенсирующие риск контрагента и риски фондирования. Эти корректировки ХVA применяются поверх эффектов улыбки или поверхности волатильности, предотвращая дублирование учтённого риска.

В заключение, критики утверждают, что финансовая математика (и в особенности финансовый инжиниринг) в большей степени заботится о математической последовательности и об отражении рыночных реалий, нежели о соответствии с экономической теорией. Следовательно, представленные выше подходы модели экстремальных событий (подходы, учитывающие улыбку волатильности и корректировки оценки) призваны решать практические задачи, а не обязательно вписываться в академические экономические теории. Признавая это обстоятельство, критики финансовой экономики, особенно активные после кризиса 2008 года, считают необходимым пересмотреть большинство существующих теорий практически целиком^[q]:

Как уже отмечалось, общепринятое предположение в финансовой экономике гласит, что участники рынка принимают решения рационально (см. концепцию Homo economicus). Однако недавние исследования в области экспериментальной экономики и экспериментальных финансов ставят это предположение под сомнение как на эмпирическом, так и на теоретическом уровнях. Особенно острой критике подвергается сама идея о полной рациональности участников рынка. Поведенческие финансы^[106] активно изучают границы рациональности экономических агентов и допускают, что человеческое поведение не всегда подчиняется законам рациональности^[r]. Аналогичные критические замечания касаются несоответствий между теорией корпоративных финансов и практикой её применения^[107].

Параллельно были выявлены многочисленные рыночные аномалии, такие как премия за размер (более высокая доходность акций мелких компаний) или календарные эффекты (предсказуемость^[108] доходности, например, январский эффект или сезонные циклы). Эти явления являются аномальными в том смысле, что они не могут быть объяснены в рамках традиционных экономических теорий и, очевидно, противоречат гипотезе эффективного рынка.

Кроме того, возникло множество экономических парадоксов (головоломок), также опровергающих теорию. Яркий пример — парадокс премии за риск, возникающий на рынке акций из-за того, что разница между наблюдаемыми доходностями акций и государственных облигаций постоянно оказывается выше, чем разумная премия за риск, запрашиваемая рациональными инвесторами. Это явление носит название сверхдоходности.

Особенно резко финансовую экономику (и финансовую математику) критиковали после финансового кризиса 2008 года. Хотя замечания высказывались и ранее, кризис послужил катализатором для масштабного пересмотра теории и практики. Среди заметных критиков выделяется американский писатель, в прошлом риск-менеджер Нассим Талеб^[109], чьи аргументы перекликаются с вышеизложенными, но идут глубже, затрагивая институциональные^[110][111] аспекты финансовой системы, включая академическое сферу^[112][40]. По мнению Талеба, финансовые рынки управляются крупными эпизодами, называемыми чёрными лебедями, которые маловероятны статистически, но оказывают огромное влияние на ход событий. Однако экономисты и трейдеры склонны игнорировать такие события, поскольку лично не несут ответственность за принятые решения. Таким образом, несмотря на то, что предложенное Талебом распределение (низкая положительная доходность с редким, но значительным риском больших потерь) точнее описывает рынки, традиционные модели по-прежнему остаются ведущими. Сами эксперты соглашаются, что эти модели эффективны лишь в среднем или в общих чертах^[113].

Природа экономических потрясений давно^[110] привлекает повышенное внимание учёных и практиков^[114], особенно в связи с неспособностью^[111] экономистов, банкиров^[110] и регуляторов смоделировать и предсказать приближающиеся финансовые кризисы. Особое внимание привлекает проблема системного риска: когда компании держат ценные бумаги друг друга, образуется взаимосвязь, ведущая к возникновению так называемой цепочки оценки (англ. valuation chain). При этом результаты деятельности одной компании или актива влияют на всю систему, что чрезвычайно сложно проанализировать и представить математически, даже если сами модели верны.

Несколько областей исследований пытаются разобраться в причинах этих явлений и кризисов. Например, микроэкономика рынка и модели гетерогенных агентов^[15] изучают взаимодействие игроков и причины образования аномалий. Популярны агент-ориентированные модели^[93], в которых цены воспринимаются как продукт взаимодействия различных участников рынка.

Некоторые влиятельные гипотезы стремятся объяснить эти явления. Гипотеза шумного рынка (англ. noisy market hypothesis) утверждает, что цены подвержены влиянию спекулянтов и импульсивных трейдеров, а также инсайдеров и организаций, действующих без опоры на фундаментальные факторы стоимости. Гипотеза адаптивного рынка (англ. adaptive market hypothesis), напротив, представляет собой попытку примирить гипотезу эффективного рынка с поведенческой экономикой, рассматривая рыночные взаимодействия сквозь призму эволюции. Также получили распространение модели информационной лавины, когда участники рынка копируют действия других инвесторов (стадный инстинкт), несмотря на собственную информацию. Наконец, в определённых ситуациях находят своё применение моделирование на основе копул и гипотеза финансовой нестабильности Хаймана Мински, которая объясняет причины экономических кризисов.

Несмотря на все вышеупомянутые проблемы, статистика показывает, что в целом цены на активы фактически^[34] следуют случайному блужданию, то есть изменения цен на фондовом рынке хаотичны, непредсказуемы^[115] и не имеют закономерностей, которые инвестор мог бы использовать для систематического обыгрывания рынка^[116]. На практике^[117] это означает, что пассивные стратегии инвестирования (например, покупка недорогих индексных фондов) в среднем обеспечивают лучшие результаты, чем попытки активного подбора акций. Именно поэтому пассивный подход к инвестированию приобрёл широкую популярность^[s].

Тем не менее это вызывает беспокойство: хотя в теории активность управляющих^[117] способствует точности оценки акций, на практике массовый приток средств в индексные фонды приводит к переоценке^[118] активов, что потенциально увеличивает риск появления финансовых пузырей.Этот парадокс хорошо описан в теории Гроссмана-Стиглица (англ. Grossman-Stiglitz paradox).

• Андреев М. Ю., Поспелов И. Г., Поспелова И. И., Хохлов М. А. Новая технология моделирования экономики и модель современной экономики России. — М.: МИФИ, 2007. — 262 с.
• Циклическая динамика в математических моделях экономических систем / А. П. Абрамов. — Москва: URSS, 2018. — 113 с.; 22 см; ISBN 978-5-9710-4658-5
• Ван Хорн, Джеймс К., Вахович, Джон М. Корпоративные финансы и финансовая экономика. — Москва: Вильямс, 2021. — ISBN 978-5-8459-2363-8.
• Белых А. А. История российских экономико-математических исследований: Первые сто лет. Изд. 3. М.: URSS. 2011. 240 с. ISBN 978-5-382-01311-4
• Максимова В.Ф. Экономическая теория. — Москва: Юрайт, 2025. — ISBN 978-5-534-21338-6.
• Брюнермайер, Маркус. Новая финансовая экономика. — Москва: НИУ ВШЭ, 2022, 2022. — ISBN 978-5-7598-2289-3.
• Мацкуляк И.Д. Финансовая экономика. — КноРус, 2025. — ISBN 9785466090239.
• Поспелов И. Г. Моделирование экономических структур. — Москва: ФАЗИС; ВЦ РАН, 2004. — 208 с.