Методы конечных разностей для оценки опционов

Дифференциальное уравнение в частных производных выражается в дискретизированной форме с использованием метода конечных разностей. Затем эволюция цены опциона моделируется с помощью решётки соответствующих измерений: время течёт от 0 до экспирации, а цена колеблется от 0 до некоторого условного верхнего предела, при котором опцион глубоко «в деньгах» или «вне денег». Верхняя граница выбрана так, чтобы в этих крайних случаях стоимость опциона была легко предсказуема и не оказывала сильного влияния на итоговый расчёт^[7].

Далее опцион оценивается следующим образом:

1. Значения на момент экспирации (англ. maturity values): стоимость опциона в этот момент просто равна разности между ценой исполнения опциона и значением базового актива в каждой точке (например, для колл-опциона: ${\displaystyle C(S,T)=max\{S-K,0\}}$).
2. Значения на границах (англ. values at the boundaries): на каждом предыдущем временном шаге, где спотовая цена достигает крайних значений (нулевого или максимального), значения устанавливаются на основе денежности опциона или границ, вытекающих из принципов арбитражного ценообразования. Например, стоимость колл-опциона: ${\displaystyle C(0,t)=0}$ для любого момента времени, и ${\displaystyle C(S,t)=S-Ke^{-r(T-t)}}$ при стремлении ${\displaystyle S}$ к бесконечности.
3. Стоимость опциона в остальных внутренних узлах решётки рассчитывается рекурсивно (пошагово). Расчёт начинается с временного шага, предшествующего дате экспирации, и заканчивается моментом времени t = 0. Для этого используются такие численные техники, как метод Кранка — Николсона (англ. Crank–Nicolson method) или явный метод (англ. explicit method):
   • дифференциальное уравнение в частных производных дискретизируется в соответствии с выбранным методом таким образом, что значение в каждом узле решётки определяется как функция от стоимости в последующих и прилегающих узлах (так называемый шаблон (англ. stencil) показывает расположение соседних узлов, участвующих в расчёте);
   • затем с помощью выбранного метода находится значение в каждой точке, при этом расчёт ведётся в обратном направлении во времени — от даты экспирации к текущему моменту и внутрь от заданных граничных цен.
4. На основе полученных значений интерполяцией вычисляется стоимость опциона на текущий момент (или в любой другой комбинации времени и цены, соответствующей текущей спот-цене базового актива).

Методы конечных разностей решают задачи оценки производных инструментов, сравнимые по сложности с теми, что решаются методами на основе деревьев^[1]. Однако из-за повышенной вычислительной нагрузки они обычно применяются только тогда, когда другие подходы не работают должным образом, например, при колеблющихся процентных ставках или при сложной политике выплаты дивидендов, зависящих от времени^[8]. Подобно методам на основе деревьев, данный подход ограничен количеством базовых переменных, и для многомерных (со множеством измерений) задач по оценке опционов методы Монте — Карло оказываются предпочтительными^[3]:182.

Важно отметить, что при проведении расчётов в рамках традиционного набора допущений, принимаемых в большинстве финансовых моделей, явный метод конечных разностей включает в себя методы биномиальных и триномиальных деревьев^[9]. Иными словами, методы, основанные на деревьях, при соответствующей настройке параметров являются частным случаем явного метода конечных разностей^[10].