Улыбка волатильности

В модели Блэка — Шоулза теоретическая стоимость ванильного опциона является монотонно возрастающей функцией волатильности базового актива. Это позволяет точно определить значение подразумеваемой волатильности, соответствующее рыночной цене опциона. Основное преимущество подразумеваемой волатильности заключается в том, что она позволяет удобно сравнивать опционы с разными страйками, сроками истечения и базовыми активами.

Когда подразумеваемую волатильность наносят на график в зависимости от цены исполнения (страйк-цены), результирующая кривая обычно имеет форму, напоминающую улыбку с покатым углом для рынков акций, или V-образную форму для валютных рынков. Для рынков акций график часто демонстрирует нисходящий наклон, который называют перекосом волатильности (англ. volatility skew). Он похож на полуулыбку, когда волатильность сначала снижается, а затем выравнивается^[2]. На валютных рынках график часто принимает V-образную форму, поднимаясь на обоих концах, что называют улыбкой волатильности. Например, подразумеваемая волатильность для опционов вне денег с высокой ценой исполнения на акции обычно ниже, чем для опционов на деньгах. Зато на валютных контрактах подразумеваемая волатильность обычно повышается как в нижней, так и верхней зоне. Иногда на графике акций вблизи зоны на деньгах наблюдается небольшой перелом или перегиб, что придаёт графику наклон, напоминающий складку. Для описания подобного эффекта используется термин ухмылка (англ. smirk)^[3].

Образование таких графиков вызвано несколькими факторами:

• инвестиционный перекос (англ. investment skew) возникает из-за стратегий хеджирования крупных участников рынка;
• перекос спроса (англ. demand skew) формируется из-за повышенного интереса к покупке или продаже опционов с определёнными страйками или сроками, часто обусловленного спекулятивной деятельностью.

Способность отличить источник наклона или улыбки волатильности, то есть понять, что влияет на ценообразование — структурные факторы или спрос рынка, — важна для правильного понимания рыночных настроений и выявления потенциально выгодных моментов для заключения сделок^[2].

Для корректного определения волатильности опционов с дельтой, отличной от 50 % (например, опционов в деньгах или вне денег), необходимо учитывать два ключевых фактора:

• разворот риска (англ. risk reversal) — разницу между волатильностью колл- и пут-опционов с одинаковым страйком, отражающую предпочтения рынка к различным видам опционов. Разворот риска измеряет наклон графика волатильности;
• бабочку (англ. flys/skews) — зависимость волатильности от страйковой цены, показывающую, как волатильность изменяется в зависимости от близости страйка к текущей цене базового актива. Бабочка измеряет форму изгиба графика волатильности.

Эти параметры позволяют более точно оценить стоимость опционов с различной дельтой и увеличить точность торговой стратегии^[4].

Улыбка волатильности — функциональная зависимость подразумеваемой волатильности от страйка и срока экспирации опциона. Рассмотрим понятие улыбки волатильности на примере модели Блэка — Шоулза^[5]. Подразумеваемая волатильность для опциона с датой истечения ${\displaystyle T}$ и страйком ${\displaystyle K}$ обозначается как ${\displaystyle \sigma (K,T)}$ и определяется как решение уравнения:

${\displaystyle V^{M}(K,T)=zP(0,T)[F_{T}N(zd)-KN(z(d-v_{T})],\quad d={1 \over v_{T}}\ln {F_{T} \over K}+0.5v_{T},\quad v_{T}=\sigma (K,T){\sqrt {T}}}$,

гдеː

${\displaystyle V^{M}(K,T)}$ — рыночная цена соответствующего опциона;

${\displaystyle z}$ — индикатор типа опциона (колл ${\displaystyle z}$=1, пут ${\displaystyle z}$=-1);

${\displaystyle F_{T}}$ — форвардная цена базисного актива;

${\displaystyle P(0,T)}$ — дисконт-фактор.

Функция ${\displaystyle \sigma (K,T)}$ формирует поверхность волатильности. Если зафиксировать срок экспирации ${\displaystyle T}$, то зависимость от страйка ${\displaystyle K}$ формирует улыбку волатильности. Если же фиксирован страйк, то возникает временная структура волатильности^[6].

Формула Дюпира (̠англ. Dupire's formula) позволяет переходить от поверхности подразумеваемой волатильности к локальной волатильности^[7]. Локальная волатильность восстанавливает реальные движения цен, основываясь на наблюдаемой статистике рынка.

Формула Дюпира выглядит так:

${\displaystyle {\frac {\partial C}{\partial T}}={\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(K,T;S_{0})K^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial K^{2}}}-(r-d)K{\frac {\partial C}{\partial K}}-dC}$.

Подразумеваемую волатильность можно вычислить по следующим формулам:

${\displaystyle \operatorname {Call} x=\mathrm {ATM} +0.5\operatorname {RR} x+\operatorname {Fly} x}$,

${\displaystyle \operatorname {Put} x=\mathrm {ATM} -0.5\operatorname {RR} x+\operatorname {Fly} x}$,

где:

• ${\displaystyle \operatorname {Call} x}$ — подразумеваемая волатильность, по которой на рынке торгуется колл-опцион с x% дельтой^[a];
• ${\displaystyle \operatorname {Put} x}$ — подразумеваемая волатильность, по которой на рынке торгуется пут-опцион с x% дельтой;

• ATM — форвардная волатильность на деньгах (англ. At-The-Money Forward volatility), по которой торгуются на рынке колл и пут-опционы на деньгах (с дельтой ~50 %);
• ${\displaystyle \operatorname {RR} x=\operatorname {Call} x-\operatorname {Put} x}$;

• ${\displaystyle \operatorname {Fly} x=0.5(\operatorname {Call} x+\operatorname {Put} x)-\mathrm {ATM} }$.

Развороты риска обычно котируются как разворот риска с x% дельтой и представляют собой покупку колл-опциона с дельтой x% и продажу пут-опциона с той же дельтой x% (с одинаковой абсолютной дельтой).

С другой стороны, стратегия «бабочка» (англ. butterfly) состоит из комбинации: покупка колл-опциона с дельтой y%, покупка пут-опциона с дельтой y%, продажа одного колл-опциона на деньгах и продажа одного пут-опциона на деньгах. Конструкция получает характерную форму, напоминающую маленький головной убор (англ. small hat shape).

Хотя историческая волатильность может влиять на подразумеваемую, эти два показателя существенно различаются^[8]. Историческая волатильность — это прямое отражение изменения цены базового актива за недавний исторический период (например, за последние 21 день). Подразумеваемая волатильность, в свою очередь, определяется рыночной стоимостью самого производного инструмента и не связана напрямую с изменением цены базового актива. Таким образом, разные производные инструменты на один и тот же базовый актив могут иметь разные значения подразумеваемой волатильности, отражая собственную динамику спроса и предложения^[9].

Например, колл-опцион на акции IBM со страйком $100 и сроком экспирации шесть месяцев может иметь подразумеваемую волатильность 18 %, в то время как пут-опцион на IBM со страйком $105 и сроком экспирации один месяц может иметь подразумеваемую волатильность 21 %. В то же время историческая волатильность акций IBM за предыдущие 21 день может составлять 17 % (все показатели выражены в годовых процентах).

Опционы с разными сроками истечения демонстрируют характерные различия в подразумеваемой волатильности. Доминирующим фактором здесь является влияние предстоящих событий на ожидания рынка. Например, известно, что волатильность цен акций резко возрастает в дни публикации корпоративной отчётности эмитентов. Соответственно, перед выходом отчётности подразумеваемая волатильность опционов заметно вырастает, а после объявления возвращается к обычным уровням. Опционы с короткими сроками экспирации демонстрируют более резкие колебания подразумеваемой волатильности (иногда это называют волатильностью волатильности [англ. vol of vol]), чем опционы с длительными сроками.

На других сегментах рынка наблюдаются иные закономерности. Например, опционы на сырьевые товары обычно показывают всплеск подразумеваемой волатильности накануне объявлений прогнозов урожайности. Опционы на фьючерсы казначейских векселей США демонстрируют повышенный уровень волатильности перед заседаниями Федерального резерва (в периоды анонсирования изменений процентных ставок).

Рыночные игроки учитывают влияние множества других событий на временную структуру волатильности. Скажем, результаты клинического испытания нового препарата могут вызвать колебания волатильности акций фармацевтических компаний. Патентные споры также способны оказать влияние на акции технологических фирм и т. д.

Временная структура волатильности устанавливает связь между уровнем подразумеваемой волатильности и оставшимся сроком до экспирации опциона^[10]. Анализ этой структуры позволяет трейдерам судить о том, завышены или занижены текущие цены опционов.

Полезно визуализировать подразумеваемую волатильность как функцию от цены исполнения (страйка) и времени до экспирации^[11]. Результатом становится двумерная изогнутая поверхность, построенная в трёхмерном пространстве, где текущая рыночная подразумеваемая волатильность (ось ${\displaystyle Z}$) представлена в зависимости от цены исполнения (ось ${\displaystyle Y}$) и времени до истечения (ось ${\displaystyle X}$, обозначаемая как срок до погашения [англ. Days-to-Maturity, DTM]). Это называется абсолютной поверхностью подразумеваемой волатильности. Замена координаты цены исполнения на дельту опциона даёт нам относительную поверхность подразумеваемой волатильности.

Поверхность подразумеваемой волатильности одновременно отображает как улыбку, так и временную структуру волатильности. Трейдеры опционов используют графики подразумеваемой волатильности для быстрого анализа формы поверхности и выявления областей, где угол наклона графика и, соответственно, относительные значения подразумеваемой волатильности выходят за рамки обычной рыночной картины.

График отображает поверхность подразумеваемой волатильности для всех пут-опционов на конкретный базовый актив. Ось ${\displaystyle Z}$ представляет подразумеваемую волатильность в процентах, а оси ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ соответствуют дельте опциона и количеству дней до экспирации соответственно. В силу принципа паритета пут- и колл-опционов^[b] пут-опционы обязаны иметь ту же самую подразумеваемую волатильность, что и соответствующие колл-опционы с аналогичным страйком и сроком экспирации. Данная поверхность демонстрирует, что базовый актив имеет как перекос волатильности (постепенный наклон по оси дельты), так и временную структуру волатильности, что указывает на ожидание значительного события в ближайшем будущем.

Поверхность подразумеваемой волатильности статичнаː она отражает текущее состояние рынка в определённый момент времени. Изменение формы этой поверхности при изменении текущей рыночной цены базового актива называется эволюцией поверхности подразумеваемой волатильности.

Распространённые эвристические подходы для объяснения этого процесса включают:

• прикреплённость к страйку (англ. sticky strike): если цена базового актива меняется, подразумеваемая волатильность опциона с фиксированной абсолютной ценой страйка сохраняется неизменной;
• прикреплённость к дельте (англ. sticky delta / sticky moneyness): если цена базового актива меняется, подразумеваемая волатильность опциона с денежностью (с определённой дельтой) остаётся неизменной. Здесь под дельтой подразумевается классический показатель относительной позиции опциона к текущей цене активa. Опцион на деньгах всегда принимается за 100 % денежности, а корректировка волатильности для остальных опционов производится относительно этого уровня.

Если цена базового актива изменилась с 100 до 120 долл.:

• согласно принципу прикреплённости к страйку, подразумеваемая волатильность опциона со страйком 120 долл. останется прежней (хотя сам опцион переместился из состояния вне денег в состояние на деньгах);
• согласно принципу прикреплённости к дельте, подразумеваемая волатильность опциона со страйком 120 долл. станет такой же, какая была у опциона со страйком 100 долл. до изменения цены (так как оба опциона находились на деньгах в соответствующие моменты времени).

Модель Блэка — Шоулза исходит из предположения, что логарифмические доходности спотовой цены (цены базового актива) образуют случайное блуждание, и поэтому прогнозирует, что будущее распределение цен актива будет следовать логнормальному закону. Однако на практике это допущение не соответствует поведению многих ценных бумаг^[12].

Если форвардное риск-нейтральное распределение вероятностей отклоняется от логнормального распределения, подразумеваемые волатильности будут различаться для разных цен исполнения (страйков) на одну и ту же дату экспирации, что приводит к непостоянной поверхности волатильности.

При наличии заданной поверхности волатильности можно определить подразумеваемое риск-нейтральное распределение цены базового актива в будущем.

Методы моделирования улыбки волатильности включают:

• стохастические модели волатильности (например, модель Хестона);
• локальные модели волатильности (например, модель Дюпира).

Подробнее о проблемах и критике, связанных с подходами к моделированию, в разделе Финансовая экономика § Критика и проблемы финансовой экономики и в статье Модель Блэка — Шоулза.