Коэффициент Шарпа

Коэффициент Шарпа (англ. Sharpe ratio; также известен как индекс Шарпа, мера Шарпа и отношение доходности к изменчивости) — показатель в финансах, измеряющий эффективность инвестиции, такой как ценная бумага или портфель, по сравнению с безрисковым активом, с учётом риска. Определяется как разница между доходностью инвестиции и безрисковой доходностью, делённая на стандартное отклонение доходности этой инвестиции. Показывает дополнительную доходность, которую инвестор получает на каждую единицу увеличения риска.

Название происходит от имени Уильяма Ф. Шарпа (англ. William F. Sharpe)^[1], который предложил этот показатель в 1966 году.

Определение

После пересмотра самим автором, Уильямом Шарпом, в 1994 году^[2], прогнозируемый (ex-ante) коэффициент Шарпа определяется так:

S_{a}={\frac {E[R_{a}-R_{b}]}{\sigma _{a}}}={\frac {E[R_{a}-R_{b}]}{\sqrt {\mathrm {var} [R_{a}-R_{b}]}}}

где $R_{a}$ — доходность актива, $R_{b}$ — безрисковая доходность (например, по государственным облигациям США). $E[R_{a}-R_{b}]$ — математическое ожидание превышения доходности актива над доходностью бенчмарка, ${\sigma _{a}}$ — стандартное отклонение избыточной доходности актива. t-статистика равна коэффициенту Шарпа, умноженному на квадратный корень из T (количество используемых доходностей).

Фактический (ex-post) коэффициент Шарпа рассчитывается по аналогичной формуле, но с использованием реализованных доходностей актива и бенчмарка. Подробнее — во втором примере ниже.

Информационное отношение (англ. information ratio) — обобщение коэффициента Шарпа, где в качестве бенчмарка выступает не безрисковая ставка, а другой (обычно рискованный) индекс.

Использование в финансах

Коэффициент Шарпа характеризует, насколько эффективность инвестирования компенсирует инвестору принятый риск. При сравнении двух активов инструмент с более высоким коэффициентом Шарпа обеспечивает большую доходность при том же уровне риска, что обычно привлекательно для инвесторов^[3].

Однако доходности финансовых активов часто не подчиняются нормальному распределению, поэтому стандартное отклонение не охватывает все риски. Например, финансовые пирамиды демонстрируют высокий эмпирический коэффициент Шарпа вплоть до момента краха. Аналогично, фонд, продающий опционы пут со страйком ниже рыночного уровня, может иметь высокий коэффициент Шарпа, пока один из этих опционов не будет исполнен, приведя к крупному убытку. В обоих случаях стандартное отклонение до события не отражает размер истинного риска^[4].

Даже в менее экстремальных случаях для надёжной эмпирической оценки коэффициента Шарпа необходимо собирать данные о доходности за длительный период, чтобы учесть все особенности реализуемой стратегии. Например, для алгоритма, продающего страховку со значительной выплатой раз в 5-10 лет, данные необходимы за десятилетия, тогда как для высокочастотного алгоритма иногда достаточно недели, если совершается множество сделок за короткий промежуток, однако стоит учитывать риск неожиданных и редких событий (см. flash crash).

Кроме того, при оценке эффективности инвестиций со сглаженной доходностью (например, в фондах с начисляемой прибылью) коэффициент Шарпа следует рассчитывать по доходности базовых активов, а не по доходности фонда как целого (такой подход исключает переоценку риска, как в примере с пирамидами).

Коэффициенты Шарпа, наряду с коэффициентом Трейнора и альфой Дженсена, часто используются для ранжирования результатов деятельности портфельных и паевых фондов. Например, Berkshire Hathaway обладал коэффициентом Шарпа, равным 0,79 за период 1976—2017 годов — выше, чем у любой другой акции или фонда с историей более 30 лет. Для фондового рынка этот показатель за тот же период составлял 0,49^[5].

Тесты

Для коэффициента Шарпа предложено несколько статистических критериев проверки гипотез. В их числе тесты Джобсона и Корки^[6] и Гиббонса, Россa и Шанкена^[7].

История

В 1952 году Артур Д. Рой предложил максимизировать соотношение «(m-d)/σ», где m — ожидаемая валовая доходность, d — некоторый «уровень катастрофы» (или минимум приемлемой доходности, MAR), σ — стандартное отклонение доходности^[8]. Это соотношение аналогично коэффициенту Шарпа, но в числителе — минимум приемлемой доходности, а не безрисковая ставка, в знаменателе — стандартное отклонение доходности, а не избыточной доходности. Соотношение Роя также связано с коэффициентом Сортино, где в числителе используется MAR, а в знаменателе — полустандартное или пониженное отклонение.

В 1966 году Уильям Ф. Шарп разработал показатель, ставший известен как коэффициент Шарпа^[1]. Изначально его название было «отношение доходности к изменчивости» (англ. reward-to-variability ratio). Формула:

S={\frac {E[R-R_{f}]}{\sqrt {\mathrm {var} [R]}}}

Ревизия 1994 года (Шарп) предполагает сравнивать не с безрисковой ставкой, а с соответствующим бенчмарком, который может меняться во времени:

S={\frac {E[R-R_{b}]}{\sqrt {\mathrm {var} [R-R_{b}]}}}

Если $R_{f}$ — постоянная безрисковая ставка на протяжении периода,

{\sqrt {\mathrm {var} [R-R_{f}]}}={\sqrt {\mathrm {var} [R]}}

Целесообразность использования коэффициента Шарпа для оценки фондов в периоды падения рынка не раз ставилась под сомнение^[9].

Примеры

Пример 1

Пусть ожидаемая избыточная доходность актива 15 %. Риск (стандартное отклонение избыточной доходности) оценивается как 10 %. Безрисковая ставка постоянна. Тогда коэффициент Шарпа (по старому определению): ${\frac {R_{a}-R_{f}}{\sigma _{a}}}={\frac {0{,}15}{0{,}10}}=1{,}5$

Пример 2

Портфель инвестора имеет ожидаемую доходность 12 % и стандартное отклонение 10 %. Безрисковая ставка — 5 %.

Коэффициент Шарпа: ${\frac {0{,}12-0{,}05}{0{,}1}}=0{,}7$

Преимущества и недостатки

Отрицательное значение коэффициента Шарпа говорит о том, что портфель уступает бенчмарку. При прочих равных инвестор предпочитает более высокий положительный коэффициент Шарпа: это означает большую доходность или меньшую волатильность. Однако отрицательный коэффициент Шарпа может увеличиваться как при росте доходности (что хорошо), так и при росте волатильности (что плохо). Поэтому при отрицательных значениях коэффициент Шарпа не вполне соответствует типовым функциям полезности инвестора.

Показатель удобен тем, что рассчитывается по любому ряду наблюдаемой доходности без дополнительной информации о природе прибыли. Однако это делает его уязвимым к манипуляциям в случае сглаживания или дискреционного ценообразования неликвидных активов. Для выявления подобных проблем используют такие статистики, как коэффициент смещения и автокорреляция первого порядка.

Если коэффициент Трейнора учитывает только систематический риск, то коэффициент Шарпа оценивает как систематический, так и идосинкратический риск. Актуальность той или иной методики зависит от конкретного портфеля.

Частота измерения доходности может быть любой (день, неделя, месяц, год), если распределение доходности близко к нормальному: результаты можно ежегодно пересчитывать. Однако в этом и заключается слабость — фактическая доходность зачастую не подчиняется нормальному закону, могут наблюдаться эксцессы, толстые хвосты и скошенность, что снижает применимость стандартного отклонения^[10].

Для броуновского движения с независимыми одинаково распределёнными приращениями, коэффициент Шарпа $\mu /\sigma$ — размерная величина с размерностью $1/{\sqrt {T}}$ (где $T$ — горизонт расчётов). Поскольку за горизонт $T$ ожидаемая избыточная доходность $\mu T$ , а стандартное отклонение $\sigma {\sqrt {T}}$ , то коэффициент Шарпа на этом горизонте: $S_{T}=(\mu /\sigma ){\sqrt {T}}$ ^[11]. Критерий Келли является безразмерным показателем, и оптимальная доля инвестиций по Келли равна $\mu /\sigma ^{2}$ .

В некоторой степени критерий Келли позволяет преобразовать коэффициент Шарпа в показатель доходности: критерий указывает идеальный размер инвестиции, а при учёте периода и ожидаемой доходности на единицу времени даёт результатирующую ставку^[12].

Точность оценки коэффициента Шарпа зависит от статистических свойств доходностей, которые могут значительно различаться по стратегиям, портфелям и во времени^[11].

Ограничения как критерия отбора фондов[править | править код]

Бейли и Лопес де Прадо (2012)^[13] показали, что для хедж-фондов с короткой историей коэффициент Шарпа часто завышен. Им предложен дефлированный коэффициент Шарпа, учитывающий асимметрию, толстые хвосты распределения доходности, длину выборки и ошибку отбора. Для отбора портфельных управляющих по коэффициенту Шарпа ими также предложена «кривая безразличия коэффициента Шарпа»^[14], показывающая, что рационально нанимать управляющих даже с низким или отрицательным коэффициентом Шарпа, если корреляция с остальными низка.

Гётцманн, Ингерсолл, Шпигель и Велч (2002) установили, что оптимальной стратегией для максимизации коэффициента Шарпа, если доступны как ценные бумаги, так и опционы на них, будет создание портфеля из продажи одного опциона колл и одного опциона пут вне денег. Такой портфель даёт немедленную положительную выплату, с большой вероятностью обеспечивает умеренно высокую доходность, но имеется небольшая вероятность огромного убытка. Шах (2014) отметил, что такая стратегия неприемлема для большинства инвесторов, однако фонды, выбирающие управляющих по коэффициенту Шарпа, стимулируют их к подобным стратегиям^[15].

В последние годы многие финансовые сайты утверждают, что коэффициент Шарпа «выше 1 считается приемлемым; выше 2 — очень хорошим; выше 3 — отличным». Происхождение этого критерия неясно, и он малоосмыслен, так как величина коэффициента Шарпа чувствительна к длительности периода расчёта: числитель (доходность) нарастает линейно, тогда как знаменатель (стандартное отклонение) — как квадратный корень времени. Большинство диверсифицированных индексов акций, облигаций, ипотечных бумаг дают годовой коэффициент Шарпа ниже 1, и сохранять значение стабильно выше 2 или 3 малореалистично.

Примечания

↑ ¹ ² Sharpe, W. F. (1966). “Mutual Fund Performance”. Journal of Business. 39 (S1): 119—138. DOI:10.1086/294846.
↑ Sharpe, William F. (1994). “The Sharpe Ratio”. The Journal of Portfolio Management [англ.]. 21 (1): 49—58. DOI:10.3905/jpm.1994.409501. Дата обращения 2024-06-12.
↑ Gatfaoui, Hayette. “Sharpe Ratios and Their Fundamental Components: An Empirical Study”. IESEG School of Management.
↑ Agarwal, Vikas; Naik, Narayan Y. (2004). “Risks and Portfolio Decisions Involving Hedge Funds”. The Review of Financial Studies. 17 (1): 63—98. DOI:10.1093/rfs/hhg044. ISSN 0893-9454. JSTOR 1262669.
↑ Frazzini, Andrea; Kabiller, David; Pedersen, Lasse Heje (2018-09-01). “Buffett's Alpha”. Financial Analysts Journal. DOI:10.2469/faj.v74.n4.3. HDL:10398/5c1cd30d-a404-44ae-9578-7710cec23ea4. ISSN 0015-198X.
↑ Jobson JD; Korkie B (September 1981). “Performance hypothesis testing with the Sharpe and Treynor measures”. The Journal of Finance. 36 (4): 888—908. DOI:10.1111/j.1540-6261.1981.tb04891.x. JSTOR 2327554.
↑ Gibbons M; Ross S; Shanken J (September 1989). “A test of the efficiency of a given portfolio”. Econometrica. 57 (5): 1121—1152. DOI:10.2307/1913625. JSTOR 1913625.
↑ Roy, Arthur D. (July 1952). “Safety First and the Holding of Assets”. Econometrica. 20 (3): 431—450. DOI:10.2307/1907413. JSTOR 1907413.
↑ Scholz, Hendrik (2007). “Refinements to the Sharpe ratio: Comparing alternatives for bear markets”. Journal of Asset Management. 7 (5): 347—357. DOI:10.1057/palgrave.jam.2250040.
↑ Understanding The Sharpe Ratio (англ.). Investopedia. Дата обращения: 14 марта 2024.
↑ ¹ ² Lo, Andrew W. (July–August 2002). “The Statistics of Sharpe Ratios”. Financial Analysts Journal. 58 (4).
↑ Wilmott, Paul. Paul Wilmott introduces Quantitative Finance : [англ.]. — Second. — Wiley, 2007. — P. 429–432. — ISBN 978-0-470-31958-1.
↑ Bailey, D. and M. López de Prado (2012): «The Sharpe Ratio Efficient Frontier», Journal of Risk, 15(2), стр. 3-44. Доступно: https://ssrn.com/abstract=1821643
↑ Bailey, D. and M. Lopez de Prado (2013): «The Strategy Approval Decision: A Sharpe Ratio Indifference Curve approach», Algorithmic Finance 2(1), стр. 99-109. https://ssrn.com/abstract=2003638
↑ Shah, Sunit N. The Principal-Agent Problem in Finance (англ.). CFA Institute (2014). Дата обращения: 12 июня 2024.

Литература

Lo, Andrew W. «The statistics of Sharpe ratios.» Financial Analysts Journal, 58(4), 2002, стр. 36-52. https://doi.org/10.2469/faj.v58.n4.2453
Bacon. Practical Portfolio Performance Measurement and Attribution. 2-е изд. Wiley, 2008. ISBN 978-0-470-05928-9
Bruce J. Feibel. Investment Performance Measurement. New York: Wiley, 2003. ISBN 0-471-26849-6
Steven E. Pav. The Sharpe Ratio: Statistics and Applications. CRC Press, 2022. ISBN 978-1-032-01930-7
Goetzmann, William; Ingersoll, Jonathan; Spiegel, Matthew; Welch, Ivo. (2002). Sharpening Sharpe Ratios. National Bureau of Economic Research. https://www.nber.org/papers/w9116.pdf
Shah, Sunit N. (2014). The Principal-Agent Problem in Finance. CFA Institute. https://www.cfainstitute.org/-/media/documents/book/rf-lit-review/2014/rflr-v9-n1-1-pdf.ashx

Ссылки

Коэффициент Шарпа — статья У. Шарпа на сайте Стэнфордского университета
Обобщённый коэффициент Шарпа
Все хвалы коэффициенту Шарпа — применения и ошибки
Сравнение различных показателей доходности с поправкой на риск (англ.) (сентябрь 2013). Дата обращения: 12 июня 2024.
Какой коэффициент Шарпа считать хорошим? — примеры вычислений
Расчёт коэффициента Шарпа в MS Excel
Онлайн-калькулятор коэффициента Шарпа

[sharpe1966-1] ¹ ² Sharpe, W. F. (1966). “Mutual Fund Performance”. Journal of Business. 39 (S1): 119—138. DOI:10.1086/294846.

[2] Sharpe, William F. (1994). “The Sharpe Ratio”. The Journal of Portfolio Management [англ.]. 21 (1): 49—58. DOI:10.3905/jpm.1994.409501. Дата обращения 2024-06-12.

[3] Gatfaoui, Hayette. “Sharpe Ratios and Their Fundamental Components: An Empirical Study”. IESEG School of Management.

[4] Agarwal, Vikas; Naik, Narayan Y. (2004). “Risks and Portfolio Decisions Involving Hedge Funds”. The Review of Financial Studies. 17 (1): 63—98. DOI:10.1093/rfs/hhg044. ISSN 0893-9454. JSTOR 1262669.

[5] Frazzini, Andrea; Kabiller, David; Pedersen, Lasse Heje (2018-09-01). “Buffett's Alpha”. Financial Analysts Journal. DOI:10.2469/faj.v74.n4.3. HDL:10398/5c1cd30d-a404-44ae-9578-7710cec23ea4. ISSN 0015-198X.

[Jobson1981-6] Jobson JD; Korkie B (September 1981). “Performance hypothesis testing with the Sharpe and Treynor measures”. The Journal of Finance. 36 (4): 888—908. DOI:10.1111/j.1540-6261.1981.tb04891.x. JSTOR 2327554.

[Gibbons1989-7] Gibbons M; Ross S; Shanken J (September 1989). “A test of the efficiency of a given portfolio”. Econometrica. 57 (5): 1121—1152. DOI:10.2307/1913625. JSTOR 1913625.

[8] Roy, Arthur D. (July 1952). “Safety First and the Holding of Assets”. Econometrica. 20 (3): 431—450. DOI:10.2307/1907413. JSTOR 1907413.

[9] Scholz, Hendrik (2007). “Refinements to the Sharpe ratio: Comparing alternatives for bear markets”. Journal of Asset Management. 7 (5): 347—357. DOI:10.1057/palgrave.jam.2250040.

[10] Understanding The Sharpe Ratio (англ.). Investopedia. Дата обращения: 14 марта 2024.

[:0-11] ¹ ² Lo, Andrew W. (July–August 2002). “The Statistics of Sharpe Ratios”. Financial Analysts Journal. 58 (4).

[12] Wilmott, Paul. Paul Wilmott introduces Quantitative Finance : [англ.]. — Second. — Wiley, 2007. — P. 429–432. — ISBN 978-0-470-31958-1.

[13] Bailey, D. and M. López de Prado (2012): «The Sharpe Ratio Efficient Frontier», Journal of Risk, 15(2), стр. 3-44. Доступно: https://ssrn.com/abstract=1821643

[14] Bailey, D. and M. Lopez de Prado (2013): «The Strategy Approval Decision: A Sharpe Ratio Indifference Curve approach», Algorithmic Finance 2(1), стр. 99-109. https://ssrn.com/abstract=2003638

[15] Shah, Sunit N. The Principal-Agent Problem in Finance (англ.). CFA Institute (2014). Дата обращения: 12 июня 2024.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]