Оценка опционов

В премии опциона можно выделить две составляющие: внутреннюю стоимость (англ. intrinsic value)^[1] и временную стоимость (также называемую внешней стоимостью) (англ. time value / extrinsic value)^[2].

Внутренняя стоимость — положительная разница между текущей рыночной ценой базового актива и ценой исполнения опциона, выгодная для держателя опциона. Она определяется следующим образом:

• для колл-опциона: опцион находится «в деньгах» (англ. in-the-money), если текущая рыночная цена базового актива выше цены исполнения. Тогда внутренняя стоимость равна разнице между ценой базового актива и ценой исполнения.
• для пут-опциона: опцион находится «в деньгах», если цена исполнения выше текущей рыночной цены актива. Тогда внутренняя стоимость равна разнице между ценой исполнения и ценой базового актива.
• во всех иных ситуациях внутренняя стоимость равна нулю.

Пример: предположим, что цена исполнения колл-опциона на индекс Доу Джонса — 18 000 долларов, а сам индекс торгуется по сейчас по 18 050 долларов. Даже если бы срок опциона истёк немедленно, владелец получил бы выгоду в размере 50 пунктов. Именно эта величина и образует внутреннюю стоимость опциона.

Итак, внутренняя стоимость:

• для колл-опциона: текущая цена актива минус цена исполнения;
• для пут-опциона: цена исполнения минус текущая цена актива.

Премия по опциону всегда превышает его внутреннюю стоимости вплоть до момента экспирации. Эта дополнительная сумма называется временной стоимостью.

Временная стоимость — это та надбавка, которую трейдер платит за контракт сверх его внутренней стоимости, рассчитывая на рост стоимости опциона до наступления срока его истечения ввиду благоприятного изменения цены базового актива. Чем больше времени остаётся до истечения срока контракта, тем выше временная стоимость.

Таким образом, времённая стоимость = премия по опциону − внутренняя стоимость.

Существует множество факторов, в той или иной степени оказывающих влияние на размер премии опциона. Некоторые из них перечислены ниже:

• Цена базового актива: любые колебания цены базового актива (акции, индекса или товара) оказывают наибольшее влияние на премию опционного контракта. Рост цены базового актива увеличивает премию колл-опционов и снижает премию пут-опционов. Обратная ситуация наблюдается, когда цена базового актива падает.
• Цена исполнения: разница между ценой исполнения и текущей спотовой ценой также влияет на премию. Например, если индекс NIFTY (индийский биржевой индекс National Stock Exchange Fifty), поднимется с 5000 до 5100 рупий, премия опционов со страйком 5000 и 5100 изменится значительнее, чем у контрактов со страйком 5500 или 4700 рупий.
• Волатильность базового актива: цена базового актива не является постоянной величиной, степень её колебаний характеризует волатильность. Акция, ежедневные колебания цены которой составляют 5 % в обе стороны, имеет бо́льшую волатильность, чем стабильные акции крупных компаний (голубые фишки), колебания которых менее значительны (2-3 %). Волатильность одинаково влияет как на колл, так и на пут-опционы. Более высокая волатильность увеличивает премию по опциону из-за большего риска, который несёт продавец.
• Выплата дивидендов: хотя дивиденды не оказывают непосредственного воздействия на цену производных инструментов, они косвенно воздействуют на неё через изменение стоимости базового актива. Объявление о выплате дивидендов ведёт к понижению цены акции из-за снижения её чистой стоимости, что, в свою очередь, вызывает рост премии пут-опционов и снижение премии колл-опционов.

Кроме этого, на премию влияют и другие факторы, такие как доходность облигаций или текущая процентная ставка. Это связано с тем, что деньги, вложенные продавцом в опционный контракт, могли быть инвестированы в безрисковые инструменты (например, в государственные облигации) и приносить гарантированный процентный доход. Следовательно, премия по опционному контракту должна быть выше безрисковой ставки, чтобы оправдать возможные потери и вознаграждение за риск, принятый продавцом при продаже опциона.

Оценка опционных контрактов представляет собой сложную задачу, поскольку помимо цены базового актива их стоимость определяется множеством факторов. Несмотря на разнообразие существующих моделей ценообразования, все они основаны на общих принципах, включая концепции рационального ценообразования (то есть нейтральности к риску), денежности, временной стоимости опциона и паритета пут-колл.

Сам процесс оценки сочетает в себе два ключевых элемента:

1. Модель поведения цены базового актива. Модели для описания динамики цен базовых активов варьируются от классической модели Блэка-Шоулза для акций до модели Хита-Джарроу-Мортона для процентных ставок и модели Хестона, где волатильность сама по себе считается стохастической величиной.
2. Математические методы, которые вычисляют размер премии как функцию предполагаемого поведения цены базового актива^[3]. Распространённые подходы включают:

• Аналитические модели закрытого вида: наиболее простыми примерами являются формула Блэка-Шоулза и модель Блэка, которые позволяют получать точную формулу для цены опциона при определённых допущениях о распределении изменений цен.

• Решётчатые модели (древовидная): биномиальная модель ценообразования опционов, триномиальное дерево. Такие модели строят пошаговые сценарии развития цены базового актива и рассчитывают ожидаемую премию путём обратной индукции.
• Методы Монте-Карло для оценки опционов: здесь применяется симуляция большого количества возможных путей изменения цены базового актива с последующим усреднением полученных результатов^[4]. Метод эффективен для сложных финансовых инструментов, таких как экзотические опционы.

• Методы конечных разностей для оценки опционов: используются для численного решения дифференциальных уравнений в частных производных, таких как уравнение Блэка-Шоулза; часто применяются в ситуациях, когда аналитическое решение невозможно.
• Современные модели поверхности волатильности в рамках локальной и стохастической волатильности: данные модели позволяют учитывать наблюдаемые рынком вариации волатильности и её зависимость от уровня цены и срока до погашения опциона.

Модель Блэка расширяет классическую модель Блэка-Шоулза, позволяя применять её не только к акциям, но и к другим типам деривативов, таким как свопционы, опционы на облигации, на фьючерсы, а также на ставки капов и флоров (по сути на процентные опционы).

Последние четыре метода относятся к категории численных подходов, обычно требующих сложного программного обеспечения или специализированных пакетов наподобие MATLAB для торговли производными финансовыми инструментами. В этих методах результат рассчитывается следующим образом (даже если численные методы различаются):

• На основе выбранной модели, откалиброванной под рынок, строится риск-нейтральное распределение цены базового актива во времени (для неевропейских опционов — как минимум на каждую возможную дату исполнения).
• Рассчитывается значение выплат по опциону на каждую из указанных дат и для каждого из рассмотренных уровней цены.
• Полученные выплаты дисконтируются по безрисковой ставке и усредняются.

Для аналитических методов (как, например, модель Блэка-Шоулза) указанные шаги интегрируются в одно итоговое вероятностное представление результата.

После финансового кризиса 2008 года в оценку опционов были включены кредитные риски контрагента, которые ранее не принимались во внимание. Также изменения коснулись и методики дисконтирования выплат. После кризиса произошли три значимые перемены в подходе к оценке опционов^[5]:

• Для целей дисконтирования вместо ранее применявшегося показателя LIBOR теперь чаще всего используется кривая однодневных индексированных свопов (англ. overnight indexed swap (OIS)), признанная новой стандартной безрисковой ставкой^[6]. Это соответствует современным стандартам оценки процентных свопов и инструментов с фиксированной доходностью. Также современный подход к оценке процентных деривативов и инструментов с фиксированной доходностью подразумевает использование так называемого подхода с несколькими кривыми (англ. multi-curve framework) вместо традиционного подхода с одной общей кривой процентных ставок (чаще всего LIBOR), что обеспечивает бо́льшую точность и реалистичное отражение условий рынка.

• Чтобы обеспечить согласованность цен опционов с наблюдаемой поверхностью волатильности (трёхмерным графиком, который показывает, как подразумеваемая волатильность опциона меняется в зависимости от его цены исполнения и времени до истечения срока) в численные методы был добавлен «нулевой» калибровочный шаг: модели сначала воспроизводят наблюдаемые рынком цены, и только после этого рассчитываются новые цены и / или их чувствительные коэффициенты (греки). Для этого используются модели с локальной или стохастической волатильностью, такие как модель Хэстона, или менее распространённый подход — имплицированные деревья (англ. implied trees), которые строятся на основе наблюдаемых рыночных цен опционов^[7].

• Риск-нейтральная стоимость, независимо от того, как она была определена, теперь корректируется с учётом влияния кредитного риска контрагента посредством поправки на кредитную стоимость (англ. Credit Valuation Adjustment, CVA)^[8]; также могут быть добавлены иные корректировки стоимости деривативов (англ. X-Valuation Adjustment, XVA).