Модель оценки опционов методом Монте-Карло

Впервые этот метод был применён в 1977 году ирландским экономистом Фелимом Бойлом (англ. Phelim Boyle) для оценки европейских опционов^[2]. В 1996 году Майкл Броди (англ. Michael Broadie), профессор финансов Колумбийского университета, и Пол Глассерман (англ. Paul Glasserman), профессор прикладной математики и статистики, опубликовали совместную работу, в которой представили метод оценки азиатских опционов с помощью метода Монте-Карло^[3]. В том же году Жак Каррьер (англ. Jacques Carriere), специалист в области финансов и страхования, предложил революционный подход к оценке опционов с возможностью досрочного исполнения^[4].

Метод Монте-Карло для оценки опционов традиционно опирается на концепцию нейтральной к риску оценки (оценки по безрисковой мере)^[1]. Здесь цена опциона представляет собой дисконтированное ожидаемое значение (см. статью Нейтральность к риску). Процедура расчёта следующая:

• генерируется большое количество возможных случайных траекторий движения цены базового актива (или активов) с помощью имитации (симуляции);
• затем для каждой траектории рассчитывается соответствующая величина выплаты по опциону (величина «выигрыша»);
• полученные выплаты усредняются;
• среднее значение дисконтируется до настоящего момента.

Итоговое значение и есть стоимость опциона^[5].

Несмотря на простоту, метод Монте-Карло допускает возрастающую сложность:

• для опциона на акции единственным источником неопределённости является цена базового актива. Обычно цена базового актива ${\displaystyle \ S_{t}\,}$моделируется как геометрическое броуновское движение с постоянным дрейфом ${\displaystyle \mu \,}$ и волатильностью ${\displaystyle \sigma \,}$.Запись модели выглядит так: ${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}\,}$, где ${\displaystyle dW_{t}\,}$генерируется случайной выборкой из нормального распределения (см. статью Модель Блэка — Шоулза). Так как случайный процесс одинаков, при достаточном количестве траекторий цена европейского опциона должна совпадать с ценой, полученной по модели Блэка-Шоулза. Однако преимущество метода Монте-Карло заключается в том, что он применим и для более сложных опционов, зависящих от истории цены (например, азиатских опционов), где модель Блэка-Шоулза уже не действует;

• в других случаях источник неопределённости может быть разделён с базовым активом. Например, для опционов на облигации^[6] базовым активом является сама облигация, а источником неопределённости выступает годовая процентная ставка (краткосрочная ставка). Для каждой случайно сгенерированной кривой доходности мы получаем разную цену облигации на дату исполнения опциона и именно эта цена затем используется для расчёта размера выплаты по опциону. Тот же подход применяется для оценки свопционов^[7], где стоимость базового свопа также зависит от динамики процентных ставок. Однако, если инструмент зависит только от текущей ставки (англ. rate evolution), его чаще всего оценивают с помощью решётчатых моделей. Для оценки производных инструментов, зависящих от последовательности и порядка изменения цен или ставок, метод Монте-Карло является основным подходом^[8], так как он позволяет учитывать все возможные пути изменения ставок и их влияние на стоимость инструмента. К таким инструментам, например, относятся транши секьюритизированных ипотечных обязательств (англ. collateralized mortgage obligation). Для моделирования динамики процентных ставок используются различные модели краткосрочных ставок. Чтобы добиться более реалистичного представления изменений процентных ставок, в некоторых случаях применяют многофакторные модели, учитывающие несколько источников неопределённости^[9]. Перед началом моделирования аналитик должен предварительно настроить параметры модели так, чтобы цены облигаций, генерируемые моделью, наилучшим образом соответствовали наблюдаемым рыночным ценам;

• модель оценки по методу Монте-Карло позволяет учитывать совокупность нескольких источников неопределённости^[10]. Например, если базовый актив деноминирован в иностранной валюте, обменный курс становится дополнительным источником неопределённости. В этом случае необходимо отдельно моделировать цену базового актива и обменный курс, а затем объединить их для нахождения стоимости актива в местной валюте. В таких моделях также учитывается корреляция между источниками риска (см. Разложение Холецкого § Приложения). Можно добавлять и другие факторы неопределённости, такие как влияние цен сырьевых товаров или инфляции на базовый актив. Поскольку метод Монте-Карло позволяет решать сложные задачи подобного рода (с учётом многофакторности или нестандартных условий), он часто применяется для анализа реальных опционов^[1], где решение руководства на каждом этапе зависит от множества факторов и переменных;
• моделирование по методу Монте-Карло также используется для оценки корзинных и радужных опционов, где выплата зависит от нескольких базовых активов^[11]. В этих случаях также учитывается корреляция между доходностями активов^[12].

• метод Монте-Карло позволяет использовать любые типы распределений вероятностей, включая изменяющиеся во времени распределения. Имитация не ограничена нормальным или логнормальным распределением^[13], как это сделано, например, в классическом подходе Блэка-Шоулза. В отличие от него, метод Датара-Мэтьюза, напротив, не делает жёстких предположений о распределении доходности и позволяет учитывать реальные условия и изменчивость рынков. Вместо этого он предлагает использовать метод Монте-Карло для генерации случайных сценариев изменения цен и параметров проекта, что делает его удобным инструментом для оценки реальных опционов и стратегических решений в бизнесе, таких как запуск новых производств, освоение месторождений или инвестиционные проекты с высокими рисками. Кроме того, метод Монте-Карло позволяет учесть сложные процессы изменения цены базового актива, например, скачки или возвращение к среднему значению. Это делает Монте-Карло основным методом оценки энергетических деривативов^[14][15]. Некоторые модели позволяют изменять статистические параметры источников неопределённости случайным образом. Например, в моделях со стохастической волатильностью волатильность базового актива меняется со временем (см. модель Хестона)^[16].

Метод наименьших квадратов Монте-Карло — это метод оценки опционов с возможностью досрочного исполнения (американских или бермудских опционов), предложенный Жаком Каррьером в 1996 году^[4]. Метод основан на комбинации двух процедур:

• обратная индукция: каждому состоянию на каждом временном шаге присваивается значение, которое определяется с помощью метода регрессии наименьших квадратов (англ. least square regression). Это значение определяется путём сравнения и выбора максимальной из двух величин:
  • возможности немедленного исполнения опциона (зависит от текущей рыночной цены актива);
  • ожидаемого вознаграждения от удержания (то есть отказа от исполнения сейчас и ожидания лучшей возможности в будущем) опциона и его исполнения на следующем временном шаге, рассчитанного на предыдущем шаге процесса^[17].

• определение оптимальной стратегии исполнения: после того как каждое состояние на каждом шаге получило своё значение, рассчитывается общая стоимость опциона. Осуществляется проход по всем временным шагам и состояниям и на каждом шаге принимается оптимальное решение о досрочном исполнении опциона на основе текущей цены и последующего значения состояния, которое могло бы возникнуть после исполнения. Данный этап может быть выполнен многократно с использованием множества случайных ценовых траекторий, что привносит в процедуру стохастический эффект^[4].

Методы Монте-Карло особенно полезны при оценке опционов с несколькими источниками неопределённости или сложными характеристиками^[18], которые затрудняют использование стандартных методов, таких как модель Блэка-Шоулза или решётчатые модели. Поэтому этот метод широко используется при оценке зависящих от истории цены (англ. path-dependent) инструментов, таких как ретроспективные и азиатские^[13] опционы, а также при анализе реальных опционов^[1][10]. Более того, как показано выше, специалист по моделированию не ограничен в выборе распределения вероятностей^[13].

Напротив, если для оценки опциона существует аналитические или даже численные решения, такие как биномиальная модель^[13], методы Монте-Карло обычно оказываются слишком медленными и теряют конкурентоспособность. В каком-то смысле, это метод последней инстанции^[13] (см. также статью Методы Монте-Карло в финансах). С увеличением мощности компьютеров это ограничение постепенно исчезает^[19].

Онлайн инструменты

• Monte Carlo simulated stock price time series and random number generator (позволяет пользователям выбирать нужное распределение вероятностей для моделирования цены базового актива), разработан Стивеном Уитни (англ. Steven Whitney)

Материалы для обсуждения и документы

• Monte Carlo Simulation, Prof. Don M. Chance, Louisiana State University
• Pricing complex options using a simple Monte Carlo Simulation, Peter Fink (reprint at quantnotes.com)
• MonteCarlo Simulation in Finance, global-derivatives.com
• Monte Carlo Derivative valuation, contd., Timothy L. Krehbiel, Oklahoma State University-Stillwater
• Applications of Monte Carlo Methods in Finance: Option Pricing, Y. Lai and J. Spanier, Claremont Graduate University
• Option pricing by simulation, Bernt Arne Ødegaard, Norwegian School of Management
• Pricing and Hedging Exotic Options with Monte Carlo Simulations, Augusto Perilla, Diana Oancea, Prof. Michael Rockinger, HEC Lausanne
• Monte Carlo Method, riskglossary.com