Логнормальное распределение

Пусть распределение случайной величины ${\displaystyle X}$ задаётся плотностью вероятности, имеющей вид:

$${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(\ln x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}},}$$

где ${\displaystyle x>0,\;\sigma >0,\;\mu \in \mathbb {R} }$. Тогда говорят, что ${\displaystyle X}$ имеет логнормальное распределение с параметрами ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \sigma }$. Пишут: ${\displaystyle X\sim \mathrm {LogN} (\mu ,\sigma ^{2})\ }$.

Формула для ${\displaystyle k}$-го момента логнормальной случайной величины ${\displaystyle X}$ имеет вид:

${\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{k}\right]=e^{k\mu +{\frac {k^{2}\sigma ^{2}}{2}}},\;k\in \mathbb {N} ,}$

откуда в частности:

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=e^{\mu +{\sigma ^{2} \over 2}}}$,

${\displaystyle \mathrm {D} [X]=\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right)e^{2\mu +\sigma ^{2}}}$.

Любые нецентральные моменты n-мерного совместного логнормального распределения могут быть вычислены по простой формуле:

${\displaystyle \alpha _{n}=e^{(\mu ,n)+{\frac {1}{2}}(n,\Sigma n)}}$, где ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \Sigma }$ — параметры многомерного совместного распределения. ${\displaystyle n}$ — вектор, компоненты которого задают порядок момента. (Например, в двухмерном случае, ${\displaystyle n=(2,0)}$ — второй нецентральный момент первой компоненты, ${\displaystyle n=(1,1)}$ — смешанный второй момент). Круглые скобки обозначают скалярное произведение.

• Если ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ — независимые логнормальные случайные величины, такие что ${\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {LogN} (\mu ,\sigma _{i}^{2})}$, то их произведение также логнормально:

  ${\displaystyle Y=\prod \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim \mathrm {LogN} \left(n\mu ,\sum \limits _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}\right)}$.

• Если ${\displaystyle X\sim \mathrm {LogN} (\mu ,\sigma ^{2})\ }$, то ${\displaystyle Y=\ln(X)\sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2})\ }$.

И наоборот, если ${\displaystyle Y\sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2})\ }$, то ${\displaystyle X=\exp(Y)\sim \mathrm {LogN} (\mu ,\sigma ^{2})\ }$.

Для моделирования обычно используется связь с нормальным распределением. Поэтому, достаточно сгенерировать нормально распределённую случайную величину, например, используя преобразование Бокса — Мюллера, и вычислить её экспоненту.

Логнормальное распределение является частным случаем так называемого распределения Кэптейна.

Логнормальное распределение удовлетворительно описывает распределение частот частиц по их размерам при случайном дроблении, например, градин в граде и т. д. Однако здесь есть исключения, например, размер астероидов в солнечной системе имеет логарифмическое распределение.