Нумерар

В ситуации, когда ценные бумаги свободно обращаются на рынке, нумерар используется для оценки активов. Например, пусть ${\displaystyle M(t)}$ цена в момент времени t для $1, вложенного в денежный рынок в момент времени 0. Основная теорема ценообразования активов утверждает, что все активы ${\displaystyle S(t)}$, оценённые в единицах нумерара (в данном случае M), являются мартингалами относительно риск-нейтральной меры, скажем, ${\displaystyle Q}$. Это означает, что среднее ожидаемое значение курса актива в будущем, при условии доступной на данный момент информации, равно его текущему курсу, тo есть:

${\displaystyle {\frac {S(t)}{M(t)}}=E_{Q}\left[{\frac {S(T)}{M(T)}}\right]}$

Предположим, что существует другой строго положительный торгуемый актив ${\displaystyle N(t)>0}$ (и, следовательно, мартингал, если его цена выражена в единицах денежного рынка). Тогда мы можем определить новую вероятностную меру ${\displaystyle Q^{N}}$, задав её с помощью производной Радона-Никодима:

${\displaystyle {\frac {dQ^{N}}{dQ}}={\frac {M(0)}{M(T)}}{\frac {N(T)}{N(0)}}={\frac {N(T)}{M(T)}}}$

Тогда можно показать, что актив ${\displaystyle S(t)}$ является мартингалом при мере ${\displaystyle Q^{N}}$, когда его цена выражена в единицах нового нумерара ${\displaystyle N(t)}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad E_{Q^{N}}\left[{\frac {S(T)}{N(T)}}\right]\\&=E_{Q}\left[{\frac {N(T)}{M(T)}}{\frac {S(T)}{N(T)}}\right]/E_{Q}\left[{\frac {N(T)}{M(T)}}\right]\\&={\frac {M(t)}{N(t)}}E_{Q}\left[{\frac {S(T)}{M(T)}}\right]\\&={\frac {M(t)}{N(t)}}{\frac {S(t)}{M(t)}}\\&={\frac {S(t)}{N(t)}}\end{aligned}}}$

Этот метод широко применяется в моделях LIBOR и своповых рынков, а также товарных рынков. Фаршид Джамшидиан (англ. Farshid Jamshidian), исследователь и практик в области опционов на облигации, использовал подход смены нумерара, чтобы вывести точную аналитическую формулу для ценообразования европейских опционов на бескупонные облигации в рамках модели процентных ставок Васичека. Этот подход был революционным, так как он позволял получить формулу, аналогичную формуле Блэка-Шоулза, но в более сложной среде и с непостоянными процентными ставками^[3]. В 1995 году Эльетт Жеман (англ. Hélyette Geman), Николь Эль Каруи (англ. Nicole El Karoui) и Жан-Шарль Роше (англ. Jean-Charles Rochet) описали и обосновали технику смены нумерара, показав, как переход к другой риск-нейтральной мере с помощью нового нумерара упрощает вычисления при оценке сложных производных финансовых инструментов, особенно в условиях переменных процентных ставок^[4]. Опираясь на теоретические основы, заложенные Джамшидианом, Жеманом, Эль Каруи и Роше, итальянские специалисты в области математических финансов, Дамиано Бриго (англ. Damiano Brigo) и Фабио Меркурио (англ. Fabio Mercurio), представили в 2001 году систематический подход к применению техники смены нумерара^[5]. Их работа служит практическим руководством по моделям процентных ставок, предлагая инструментарий и конкретные примеры использования метода смены нумерара в моделях LIBOR и своповых рынков для оценки сложных производных инструментов, чувствительных к процентным ставкам. Кроме этого, они также представили метод калибровки моделей процентных ставок к текущей рыночной кривой доходности, сохраняя при этом аналитическую разрешимость моделей^[6].

Определение подходящего нумерара играет ключевую роль в различных моделях финансового ценообразования, например, при оценке опционов и некоторых активов^[7]. Выбор рискованного актива в качестве оценки некоторых производных инструментов (например, опционов на акции) имеет корреляцию с количеством базовых активов, подлежащих моделированию^[8]. Моделирование изменений базовых активов осуществляется следующим образом:

${\displaystyle Z_{i}:={\frac {X_{i}}{X_{0}}}}$

${\displaystyle X=(X_{0},X_{1},...,X_{n})\to Z=(1,Z_{1},...,Z_{n})}$,

где1 определяет нумерар.