Случайное событие
Случа́йное собы́тие — подмножество множества исходов случайного эксперимента; при многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности. Для наглядного представления структуры событий, особенно в многошаговых экспериментах, широко используется Дерево вероятностей.
Случайное событие, которое никогда не реализуется в результате случайного эксперимента, называется невозможным и обозначается символом . Случайное событие, которое всегда реализуется в результате случайного эксперимента, называется достоверным и обозначается символом .
Определение
Математически случайное событие — подмножество пространства элементарных исходов случайного эксперимента; элемент алгебры или сигма-алгебры событий , которая вместе с пространством и функцией вероятности образует вероятностное пространство .
В контексте дерева вероятностей эта структура приобретает наглядную геометрическую интерпретацию:
- пространство элементарных исходов соответствует множеству всех полных путей от корня дерева к его листьям;
- любое случайное событие представляет собой объединение некоторых из этих путей (то есть подмножество листьев);
- вероятность события вычисляется как сумма вероятностей тех путей (листьев), которые входят в это подмножество.
Примеры
1. Одношаговый эксперимент. Случайный эксперимент состоит в бросании игральной кости. Пример случайного события — «выпавшее число чётно». События «Выпала единица», «Выпала двойка» и т. д. — это элементарные исходы эксперимента; совокупность всех событий «Выпала 1», ..., «Выпала 6» образует полную группу событий.
2. Многошаговый эксперимент и дерево вероятностей. Рассмотрим эксперимент по двукратному извлечению шаров из урны без возвращения. Дерево вероятностей позволяет наглядно представить все возможные элементарные исходы (пути от корня к листьям, например, «Синий–Синий», «Синий–Белый» и т. д.). Случайное событие, например, «извлечены шары разного цвета», математически является подмножеством этих листьев (объединением исходов «Синий–Белый» и «Белый–Синий»). Дерево автоматически учитывает порядок извлечения и условные вероятности на каждом шаге, позволяя легко вычислить вероятность сложного события суммированием вероятностей соответствующих конечных ветвей.