Предел функции

Пусть функция ${\displaystyle y=f(x)}$ определена на некотором бесконечном множестве ${\displaystyle \{x\}}$ и пусть ${\displaystyle a}$ — точка бесконечной прямой ${\displaystyle (-\infty ;+\infty )}$, быть может и не принадлежащая множеству ${\displaystyle \{x\}}$, но обладающая тем свойством, что в любой ${\displaystyle \delta }$-окрестности этой точки ${\displaystyle a}$ имеются точки множества ${\displaystyle \{x\}}$, отличные от ${\displaystyle a}$.

Число ${\displaystyle b}$ называется пределом (или предельным значением) функции ${\displaystyle y=f(x)}$ в точке ${\displaystyle a}$ (или при ${\displaystyle x\rightarrow a}$), если для любой последовательности значений аргумента  ${\displaystyle x_{1},x_{2},...x_{n},...,}$ сходящейся к ${\displaystyle a}$ и состоящей из чисел ${\displaystyle x_{n}}$, отличных от ${\displaystyle a}$, соответствующая последовательность значений функции ${\displaystyle f(x_{1}),f(x_{2}),...,f(x_{n}),...}$ сходится к числу ${\displaystyle b}$.

Число ${\displaystyle b}$ называется пределом (или предельным значением) функции ${\displaystyle y=f(x)}$ в точке ${\displaystyle a}$ (или при ${\displaystyle x\rightarrow a}$), если для любого положительного числа ${\displaystyle \varepsilon }$ найдётся отвечающее ему положительное число ${\displaystyle \delta }$ такое, что для всех значений аргумента ${\displaystyle x}$, удовлетворяющих условию ${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta }$, выполняется неравенство ${\displaystyle |f(x)-b|<\varepsilon }$.

Для обозначения предельного значения функции ${\displaystyle y=f(x)}$ в точке ${\displaystyle a}$ используют следующие символы: ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=b}$ или ${\displaystyle f(x)\to b}$ при ${\displaystyle x\rightarrow a}$.

Определения предела функции по Гейне и по Коши являются эквивалентными^[2].

Чтобы ввести понятие одностороннего (то есть правого или левого) предела функции в данной точке ${\displaystyle a}$, требуется, чтобы множество ${\displaystyle \{x\}}$, на котором задана функция ${\displaystyle f(x)}$, для любого ${\displaystyle \delta >0}$ имело хотя бы один элемент, принадлежащий интервалу ${\displaystyle (a;a+\delta )}$,(интервалу ${\displaystyle (a-\delta ;a)}$).

Число ${\displaystyle b}$ называется правым пределом (левым пределом) функции ${\displaystyle y=f(x)}$ в точке ${\displaystyle a}$, если для любой последовательности значений аргумента ${\displaystyle \{x_{n}\}}$, сходящейся к ${\displaystyle a}$ и состоящей из чисел, бо́льших ${\displaystyle a}$ (меньших ${\displaystyle a}$), соответствующая последовательность значений функции ${\displaystyle \{f(x_{n})\}}$ сходится к числу ${\displaystyle b}$.

Число ${\displaystyle b}$ называется правым пределом (левым пределом) функции ${\displaystyle y=f(x)}$ в точке ${\displaystyle a}$, если для любого положительного числа ${\displaystyle \varepsilon }$ найдётся отвечающее ему положительное число ${\displaystyle \delta }$ такое, что для всех значений аргумента ${\displaystyle x}$, удовлетворяющих условию ${\displaystyle a<x<a+\delta }$ (условию ${\displaystyle a-\delta <x<a}$), выполняется неравенство ${\displaystyle |f(x)-b|<\varepsilon }$.

Для обозначения правого (левого) предела функции ${\displaystyle y=f(x)}$ в точке ${\displaystyle a}$ используют следующие символы: ${\displaystyle \lim _{x\to a+0}f(x)=b}$ — для правого предела, (${\displaystyle \lim _{x\to a-0}f(x)=b}$ — для левого предела) или более кратко соответственно ${\displaystyle f(a+0)=b}$ (${\displaystyle f(a-0)=b}$).

Определения односторонних пределов функции по Гейне и по Коши являются эквивалентными^[3].

Для введения понятия предела функции на бесконечности (далее при ${\displaystyle x\to \infty }$) необходимо, чтобы множество ${\displaystyle \{x\}}$, на котором задана функция ${\displaystyle y=f(x)}$, для любого ${\displaystyle \delta >0}$ имело хотя бы один элемент, лежащий вне сегмента ${\displaystyle \left[-\delta ,+\delta \right]}$. Аналогично для определения предела функции при стремлении ${\displaystyle x}$ к бесконечности определённого знака (${\displaystyle x\to +\infty }$; ${\displaystyle x\to -\infty }$) требуется, чтобы функция ${\displaystyle y=f(x)}$ была задана на таком множестве ${\displaystyle \{x\}}$, которое для любого ${\displaystyle \delta >0}$ имеет хотя бы один элемент, лежащий правее ${\displaystyle \delta }$ (левее ${\displaystyle -\delta }$).

Число ${\displaystyle b}$ называется пределом (или предельным значением) функции ${\displaystyle y=f(x)}$ при ${\displaystyle x\to \infty }$, если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ соответствующая последовательность значений функции ${\displaystyle \{f(x_{n})\}}$ сходится к числу ${\displaystyle b}$.

Число ${\displaystyle b}$ называется пределом (или предельным значением) функции ${\displaystyle y=f(x)}$ при ${\displaystyle x\to +\infty }$ (при ${\displaystyle x\to -\infty }$), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента ${\displaystyle \{x_{n}\}}$, все элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции ${\displaystyle \{f(x_{n})\}}$ сходится к числу ${\displaystyle b}$.  

Число ${\displaystyle b}$ называется пределом (или предельным значением) функции ${\displaystyle y=f(x)}$ при ${\displaystyle x\to \infty }$, если для любого положительного числа ${\displaystyle \varepsilon }$ найдётся отвечающее ему положительное число ${\displaystyle \delta }$ такое, что для всех значений аргумента ${\displaystyle x}$, удовлетворяющих условию ${\displaystyle |x|>\delta }$, выполняется неравенство ${\displaystyle |f(x)-b|<\varepsilon }$.

Число ${\displaystyle b}$ называется пределом (или предельным значением) функции ${\displaystyle y=f(x)}$ при ${\displaystyle x\to +\infty }$ (при ${\displaystyle x\to -\infty }$), если для любого положительного числа ${\displaystyle \varepsilon }$ найдётся отвечающее ему положительное число ${\displaystyle \delta }$ такое, что для всех значений аргумента ${\displaystyle x}$, удовлетворяющих условию ${\displaystyle x>\delta }$ ( ${\displaystyle x<-\delta }$), выполняется неравенство ${\displaystyle |f(x)-b|<\varepsilon }$.

Для обозначения пределов функции ${\displaystyle y=f(x)}$ при ${\displaystyle x\to \infty }$, ${\displaystyle x\to +\infty }$, ${\displaystyle x\to -\infty }$ используют следующие символы: ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=b}$, ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=b}$, ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=b}$^[4].

Наиболее общим определением является определение предела функции по базе (по базису фильтра, по фильтру).

Бесконечная совокупность ${\displaystyle B=\{B_{\delta }\}}$ подмножеств ${\displaystyle B_{\delta }}$ множества ${\displaystyle \{x\}}$ образует базу (или базис фильтра) множества ${\displaystyle \{x\}}$, если для элементов этой совокупности выполнены два требования:

1. Каждый элемент ${\displaystyle B_{\delta }}$ является непустым подмножеством множества ${\displaystyle \{x\}}$.
2. В пересечении любых двух элементов совокупности ${\displaystyle \{B_{\delta }\}}$ обязательно содержится элемент этой же совокупности.

Фундаментальное определение предела функции ${\displaystyle f(x)}$ по базе ${\displaystyle B}$ множества её задания содержит в себе как все рассмотренные выше виды предела функции, так и предел числовой последовательности.

Пусть функция ${\displaystyle f(x)}$ задана на множестве ${\displaystyle \{x\}}$ и совокупность ${\displaystyle B=\{B_{\delta }\}}$ подмножеств ${\displaystyle B_{\delta }}$ множества ${\displaystyle \{x\}}$ образует базу множества ${\displaystyle \{x\}}$. Множество всех значений, которые принимает функция ${\displaystyle f(x)}$, когда её аргумент ${\displaystyle x}$ пробегает множество ${\displaystyle B_{\delta }}$, называют образом множества ${\displaystyle B_{\delta }}$ и обозначают символом ${\displaystyle f(B_{\delta })}$.

Число ${\displaystyle b}$ называется пределом функции ${\displaystyle f(x)}$ по базе ${\displaystyle B}$ множества её задания, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует такой элемент ${\displaystyle B_{\delta }}$ базы ${\displaystyle B}$, образ ${\displaystyle f(B_{\delta })}$ которого принадлежит ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестности точки ${\displaystyle b}$, то есть принадлежит интервалу ${\displaystyle (b-\varepsilon ,b+\varepsilon )}$.

Для обозначения предела функции ${\displaystyle f(x)}$ по базе ${\displaystyle B}$ множества её задания используют символ ${\displaystyle \lim _{B}f(x)=b}$^[5].

Функция ${\displaystyle y=f(x)}$ удовлетворяет в точке ${\displaystyle a}$ условию Коши, если для любого положительного числа ${\displaystyle \varepsilon }$ найдётся отвечающее ему положительное число ${\displaystyle \delta }$ такое, что для любых двух значений аргумента ${\displaystyle x'}$ и ${\displaystyle x''}$, удовлетворяющих условиям ${\displaystyle 0<|x'-a|<\delta }$, ${\displaystyle 0<|x''-a|<\delta }$, справедливо неравенство ${\displaystyle \left|f\left(x'\right)-f\left(x''\right)\right|<\varepsilon }$.

Для того чтобы функция ${\displaystyle y=f(x)}$ имела в точке ${\displaystyle a}$ конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы функция ${\displaystyle y=f(x)}$ удовлетворяла в точке ${\displaystyle a}$ условию Коши.

Аналогично формулируется критерий Коши для случаев правого (левого) пределов в точке ${\displaystyle a}$, пределов при ${\displaystyle x\to \infty }$, ${\displaystyle x\to -\infty }$, ${\displaystyle x\to +\infty }$^[6].

Фундаментальная теорема об арифметических операциях над функциями, имеющими предел^[7].

Пусть две функции ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle {\mathsf {g}}(x)}$ заданы на одном и том же множестве ${\displaystyle \{x\}}$ и имеют в точке ${\displaystyle a}$ пределы, соответственно равные ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$. Тогда функции ${\displaystyle f(x)+{\mathsf {g}}(x)}$, ${\displaystyle f(x)-{\mathsf {g}}(x)}$, ${\displaystyle f(x)\cdot {\mathsf {g}}(x)}$ и ${\displaystyle f(x)/{\mathsf {g}}(x)}$ имеют в точке ${\displaystyle a}$ пределы, соответственно равные ${\displaystyle b+c}$, ${\displaystyle b-c}$, ${\displaystyle b\cdot c}$ и ${\displaystyle b/c}$ (при ${\displaystyle c\neq 0}$).

Пусть задано число ${\displaystyle \delta >0}$. Проколотой ${\displaystyle \delta }$-окрестностью элемента ${\displaystyle x\in {\bar {\mathbb {R} }}}$ называется множество ${\displaystyle {\overset {\circ }{U}}_{\delta }(x_{0})=U_{\delta }(x)/\{x\}}$.

• Если ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=A\in \mathbb {R} }$, то ${\displaystyle \exists \lim _{x\to x_{0}}|f(x)|=|A|}$.
• О предельном переходе в неравенствах.

Если ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=A\in {\bar {\mathbb {R} }}}$, ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}g(x)=B\in {\bar {\mathbb {R} }}}$ и ${\displaystyle \exists \delta >0}$: ${\displaystyle \forall x\in {\overset {\circ }{U}}_{\delta }(x_{0})\hookrightarrow f(x)\leq g(x)}$, то ${\displaystyle A\leq B}$.

• О трёх функциях.

Если ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}h(x)=A\in {\mathbb {R} }}$ и ${\displaystyle \exists \delta >0}$: ${\displaystyle \forall x\in {\overset {\circ }{U}}_{\delta }(x_{0})\hookrightarrow f(x)\leq g(x)\leq h(x)}$, то ${\displaystyle \exists \lim _{x\to x_{0}}g(x)=A}$.

• О сохранении знака.

Пусть ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=A\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle A\neq 0}$. Тогда в некоторой проколотой окрестности точки ${\displaystyle x_{0}}$ значение ${\displaystyle f(x)}$ имеет тот же знак, что и знак числа ${\displaystyle A}$^[8].

Для вычисления пределов функций пользуются указанными выше определениями и основной теоремой, а также следующими приёмами^[9].

1. Определение предела посредством преобразования функциональной зависимости к удобному виду.

Пример. ${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {x^{n}-1}{x-1}}=\lim _{x\to 1}{(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)}=n}$.

2. Правило Лопиталя. Если при ${\displaystyle x\to x_{0}}$ (соответственно ${\displaystyle x\to \pm \infty }$) в функции ${\displaystyle f(x)}$ возникают неопределённости вида ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$ или ${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}$, то для вычисления предела ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{f(x)}}$ (соответственно ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }{f(x)}}$) можно применять следующие правила:

• Пусть функции ${\displaystyle f}$и ${\displaystyle {\mathsf {g}}}$ определены и дифференцируемы в некоторой окрестности ${\displaystyle U(x_{0})}$ точки ${\displaystyle x_{0}}$, за исключением, быть может, самой точки ${\displaystyle x_{0}}$. Пусть, далее, ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{f(x)}=\lim _{x\to x_{0}}{{\mathsf {g}}(x)}=0}$ и ${\displaystyle {\mathsf {g}}'(x)\neq 0}$ при ${\displaystyle x\in U(x_{0})/\{x_{0}\}}$. Если при этом ${\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f'(x)}{{\mathsf {g}}'(x)}}=A}$, то ${\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{{\mathsf {g}}(x)}}=A}$. Соответствующее утверждение имеет место и в том случае, когда ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{f(x)}=\lim _{x\to x_{0}}{{\mathsf {g}}(x)}=\infty }$, а также при ${\displaystyle x\to x_{0}\pm 0}$.
• Пусть функции ${\displaystyle f}$и ${\displaystyle {\mathsf {g}}}$ дифференцируемы при ${\displaystyle x>a}$ (${\displaystyle a>0}$) и, кроме того,${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{f(x)}=\lim _{x\to +\infty }{{\mathsf {g}}(x)}=0}$, a также ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }g'(x)\neq 0}$. Тогда, если${\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }{\frac {f'(x)}{{\mathsf {g}}'(x)}}=A}$, то ${\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{{\mathsf {g}}(x)}}=A}$.

3. Если ${\displaystyle f}$ непрерывна в точке ${\displaystyle x_{0}}$, то ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{f(x)}=f(x_{0})}$.

Пример. ${\displaystyle \lim _{x\to +0}x^{x}=\lim _{x\to +0}{e^{x\ln x}}=e^{0}=1}$.

4. Использование разложения функции в ряд Тейлора.

Пример. ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x-\sin x}{x^{3}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {({\frac {x^{3}}{6}}-{\frac {x^{5}}{120}}+...)}{x^{3}}}={\frac {1}{6}}}$.

Функция ${\displaystyle \alpha (x)}$ называется бесконечно малой в точке ${\displaystyle a}$, если предел этой функции в точке ${\displaystyle a}$ равен ${\displaystyle 0}$.

Пусть ${\displaystyle \alpha (x)}$ и ${\displaystyle \beta (x)}$ — две функции, заданные для одних и тех же значений аргумента и обе являющиеся бесконечно малыми в точке ${\displaystyle a}$.

1. Говорят, что ${\displaystyle \alpha (x)}$ является в точке ${\displaystyle a}$ бесконечно малой более высокого порядка, чем ${\displaystyle \beta (x)}$ (имеет в точке ${\displaystyle a}$ более высокий порядок малости), если ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {\alpha (x)}{\beta (x)}}=0}$ .
2. Говорят, что ${\displaystyle \alpha (x)}$ и ${\displaystyle \beta (x)}$ являются в точке ${\displaystyle a}$ бесконечно малыми одного порядка (имеют в точке ${\displaystyle a}$ одинаковый порядок малости), если предел ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {\alpha (x)}{\beta (x)}}}$ равен конечному числу, отличному от ${\displaystyle 0}$.
3. Говорят, что ${\displaystyle \alpha (x)}$ и ${\displaystyle \beta (x)}$ являются в точке ${\displaystyle a}$ эквивалентными бесконечно малыми, если ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {\alpha (x)}{\beta (x)}}=1}$.

Функция ${\displaystyle A(x)}$ называется бесконечно большой в точке ${\displaystyle a}$ справа (слева) функцией, если для любой сходящейся к ${\displaystyle a}$ последовательности ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ значений аргумента, все элементы которой больше ${\displaystyle a}$ (меньше ${\displaystyle a}$), соответствующая последовательность значений функции ${\displaystyle \{A(x_{n})\}}$является бесконечно большой последовательностью, все элементы которой, начиная с некоторого номера, либо положительны, либо отрицательны.

Пусть ${\displaystyle A(x)}$ и ${\displaystyle B(x)}$ определены для одних и тех же значений аргумента и для определённости${\displaystyle \lim _{x\to a+0}A(x)=+\infty }$ и ${\displaystyle \lim _{x\to a+0}B(x)=+\infty }$.

1. Говорят, что ${\displaystyle A(x)}$ имеет в точке ${\displaystyle a}$ справа более высокий порядок роста, чем ${\displaystyle B(x)}$, если функция ${\displaystyle {\frac {A(x)}{B(x)}}}$ является бесконечно большой в точке ${\displaystyle a}$ справа.
2. Говорят, что ${\displaystyle A(x)}$ и ${\displaystyle B(x)}$ имеют в точке ${\displaystyle a}$ справа одинаковый порядок роста, если предел функции ${\displaystyle {\frac {A(x)}{B(x)}}}$ при ${\displaystyle x\to a+0}$ равен конечному числу, отличному от ${\displaystyle 0}$^[10].

Пусть функция ${\displaystyle u=f(M)}$ определена на множество ${\displaystyle \{M\}}$ точек ${\displaystyle m}$-мерного евклидова пространства ${\displaystyle E^{m}}$, и точку ${\displaystyle A}$ пространства ${\displaystyle E^{m}}$, быть может, и не принадлежащую множеству ${\displaystyle \{M\}}$, но обладающую тем свойством, что в любой ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестности этой точки ${\displaystyle A}$ содержится хотя бы одна точка множества ${\displaystyle \{M\}}$, отличная от ${\displaystyle A}$, что означает, что точка ${\displaystyle A}$ является предельной точкой множества ${\displaystyle \{M\}}$.

Число ${\displaystyle b}$ называется пределом (или предельным значением) функции ${\displaystyle u=f(M)}$ в точке ${\displaystyle A}$ (или при ${\displaystyle M\rightarrow A}$), если для любой сходящейся к ${\displaystyle A}$ последовательности ${\displaystyle \{M_{n}\}}$ точек множества ${\displaystyle \{M\}}$ задания этой функции, все элементы ${\displaystyle M_{n}}$ которой отличны от ${\displaystyle A}$, соответствующая числовая последовательность значений функции ${\displaystyle \{f(M_{n})\}}$ сходится к числу ${\displaystyle b}$.

Число ${\displaystyle b}$ называется пределом (или предельным значением) функции ${\displaystyle u=f(M)}$ в точке ${\displaystyle A}$ (или при ${\displaystyle M\rightarrow A}$), если для любого положительного числа ${\displaystyle \varepsilon }$ найдётся отвечающее ему положительное число ${\displaystyle \delta }$ такое, что для любой точки ${\displaystyle M}$ из множества ${\displaystyle \{M\}}$ задания этой функции, удовлетворяющей условию ${\displaystyle 0<\rho (M,A)<\delta }$, выполняется неравенство ${\displaystyle |f(M)-b|<\varepsilon }$.

Для обозначения предела функции ${\displaystyle u=f(M)}$ в точке ${\displaystyle A}$ используют символ ${\displaystyle \lim _{M\to A}f(M)=b}$.

Определения предела функции m переменных при ${\displaystyle M\rightarrow \pm \infty }$ формулируются аналогично определениям предела функции одной переменной, приведённым выше.

Арифметические операции над функциями m переменных, имеющими предел в данной точке ${\displaystyle A}$ (или при ${\displaystyle M\rightarrow \infty }$), аналогичны операциям над функциями одной переменной.

Функция m переменных ${\displaystyle f(M)}$ удовлетворяет условию Коши в точке ${\displaystyle M=A}$ (соответственно при ${\displaystyle M\rightarrow \infty }$), если для любого положительного числа ${\displaystyle \varepsilon }$ найдётся отвечающее ему положительное число ${\displaystyle \delta }$ такое, что для любых двух точек ${\displaystyle M'}$ и ${\displaystyle M''}$ из множества ${\displaystyle \{M\}}$ задания функции, удовлетворяющих условиям ${\displaystyle 0<\rho (M',A)<\delta }$, ${\displaystyle 0<\rho (M'',A)<\delta }$ (соответственно условиям ${\displaystyle \rho (M',O)>\delta }$, ${\displaystyle \rho (M'',O)>\delta }$), выполняется неравенство ${\displaystyle |f(M')-f(M'')|<\varepsilon }$.

Для того чтобы функция ${\displaystyle u=f(M)}$ имела конечный предел в точке ${\displaystyle M=A}$ (при ${\displaystyle M\rightarrow \infty }$), необходимо и достаточно, чтобы эта функция удовлетворяла в точке  ${\displaystyle M=A}$ (при ${\displaystyle M\rightarrow \infty }$) условию Коши.

Для функции нескольких переменных определяют понятие повторного предела по одной из переменных при фиксированных значениях остальных.

Пусть функция ${\displaystyle u=f(x,y)}$ задана в некоторой прямоугольной окрестности ${\displaystyle |x-x_{0}|<d_{1}}$, ${\displaystyle |y-y_{0}|<d_{2}}$ точки ${\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0})}$, за исключением, быть может, самой точки ${\displaystyle M_{0}}$. Пусть для каждого фиксированного ${\displaystyle y}$, удовлетворяющего условию ${\displaystyle 0<|y-y_{0}|<d_{2}}$, существует предел функции ${\displaystyle u=f(x,y)}$ одной переменной ${\displaystyle x}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$: ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{f(x,y)}=\varphi (y)}$, и пусть, кроме того, существует предел ${\displaystyle b}$ функции ${\displaystyle \varphi (y)}$ в точке ${\displaystyle y=y_{0}}$: ${\displaystyle \lim _{y\to y_{0}}\varphi (y)=b}$. В этом случае говорят, что существует повторный предел ${\displaystyle b}$ для функции ${\displaystyle u=f(x,y)}$ в точке ${\displaystyle M_{0}}$, который обозначается как ${\displaystyle \lim _{y\to y_{0}}\lim _{x\to x_{0}}{f(x,y)}=b}$. Аналогично определяется повторный предел ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}\lim _{y\to y_{0}}{f(x,y)}}$.

Пусть функция ${\displaystyle u=f(x,y)}$ определена в некоторой прямоугольной окрестности ${\displaystyle |x-x_{0}|<d_{1}}$, ${\displaystyle |y-y_{0}|<d_{2}}$ точки ${\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0})}$ и имеет в этой точке предел равный ${\displaystyle b}$. Пусть, кроме того, для любого фиксированного ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle 0<|x-x_{0}|<d_{1}}$ существует предел ${\displaystyle \psi (x)=\lim _{y\to y_{0}}{f(x,y)}}$ и для любого фиксированного ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle 0<|y-y_{0}|<d_{2}}$ существует предел ${\displaystyle \varphi (y)=\lim _{x\to x_{0}}{f(x,y)}}$. Тогда повторные пределы существуют и оба равны ${\displaystyle b}$: ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}\lim _{y\to y_{0}}{f(x,y)}=\lim _{y\to y_{0}}\lim _{x\to x_{0}}{f(x,y)}=b}$^[11].