Биномиальное распределение

Пусть ${\textstyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ — конечная последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение Бернулли с параметром ${\displaystyle p}$, то есть при каждом ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ величина ${\displaystyle X_{i}}$ принимает значения ${\displaystyle 1}$ («успех») и ${\displaystyle 0}$ («неудача») с вероятностями ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q=1-p}$ соответственно. Тогда случайная величина

${\displaystyle Y=X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}}$

имеет биномиальное распределение с параметрами ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle p}$. Это записывается в виде:

${\displaystyle Y\sim \mathrm {Bin} (n,p)}$.

Случайную величину ${\displaystyle Y}$ обычно интерпретируют как число успехов в серии из ${\displaystyle n}$ одинаковых независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха ${\displaystyle p}$ в каждом испытании.

Функция вероятности задаётся формулой:

${\displaystyle p_{Y}(k)\equiv \mathbb {P} (Y=k)={\binom {n}{k}}\,p^{k}q^{n-k},\ \ k=0,\ldots ,n,}$

где

${\displaystyle {\binom {n}{k}}=C_{n}^{k}={\frac {n!}{(n-k)!\,k!}}}$ — биномиальный коэффициент.

Функция распределения биномиального распределения может быть записана в виде суммы:

${\displaystyle F_{Y}(y)\equiv \mathbb {P} (Y\leqslant y)=\sum \limits _{k=0}^{\lfloor y\rfloor }{\binom {n}{k}}\,p^{k}q^{n-k},\;y\in \mathbb {R} }$,

где ${\displaystyle \lfloor y\rfloor }$ обозначает наибольшее целое, не превосходящее число ${\displaystyle y}$, или в виде неполной бета-функции:

${\displaystyle F_{Y}(y)\equiv \mathbb {P} (Y\leqslant y)=I_{1-p}(n-\lfloor y\rfloor ,\lfloor y\rfloor +1)}$.

Производящая функция моментов биномиального распределения имеет вид:

${\displaystyle M_{Y}(t)=\left(pe^{t}+q\right)^{n}}$,

откуда

${\displaystyle \mathbb {E} [Y]=np}$,

${\displaystyle \mathbb {E} \left[Y^{2}\right]=np(q+np)}$,

а дисперсия случайной величины.

${\displaystyle \mathbb {D} [Y]=npq}$.

• Пусть ${\displaystyle Y_{1}\sim \mathrm {Bin} (n,p)}$ и ${\displaystyle Y_{2}\sim \mathrm {Bin} (n,1-p)}$. Тогда ${\displaystyle p_{Y_{1}}(k)=p_{Y_{2}}(n-k)}$.
• Пусть ${\displaystyle Y_{1}\sim \mathrm {Bin} (n_{1},p)}$ и ${\displaystyle Y_{2}\sim \mathrm {Bin} (n_{2},p)}$. Тогда ${\displaystyle Y_{1}+Y_{2}\sim \mathrm {Bin} (n_{1}+n_{2},p)}$.

• Если ${\displaystyle n=1}$, то получаем распределение Бернулли.
• Если ${\displaystyle n}$ большое, то в силу центральной предельной теоремы ${\displaystyle \mathrm {Bin} (n,p)\approx N(np,npq)}$, где ${\displaystyle N(np,npq)}$ — нормальное распределение с математическим ожиданием ${\displaystyle np}$ и дисперсией ${\displaystyle npq}$.
• Если ${\displaystyle n}$ большое, а ${\displaystyle \lambda }$ — фиксированное число, то ${\displaystyle \mathrm {Bin} (n,\lambda /n)\approx \mathrm {P} (\lambda )}$, где ${\displaystyle \mathrm {P} (\lambda )}$ — распределение Пуассона с параметром ${\displaystyle \lambda }$.
• Если случайные величины ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ имеют биномиальные распределения ${\displaystyle \mathrm {Bin} (D,p)}$ и ${\displaystyle \mathrm {Bin} (N-D,p)}$ соответственно, то условное распределение случайной величины ${\displaystyle X}$ при условии ${\displaystyle X+Y=n}$ – гипергеометрическое ${\displaystyle \mathrm {HG} (D,N,n)}$.