Неприятие риска

Индивидуальную готовность рисковать деньгами можно описать с помощью функции полезности. Пусть полезность денежной суммы ${\displaystyle x}$ для индивидуума выражается через значение функции полезности ${\displaystyle u(x)}$. Обычно считается, что полезность благ возрастает с ростом их количества, поэтому функция полезности является возрастающей. Если функция полезности дифференцируема, то свойство возрастания можно выразить неравенством ${\displaystyle u'(x)>0}$ ^[1].

Отношение к риску можно формализовать исходя из направления выпуклости функции полезности. По определению функция полезности вогнута (выпукла вверх), если ${\displaystyle \forall \alpha \in [0,1]}$ выполнено неравенство

${\displaystyle u(\alpha x+(1-\alpha )y)\geqslant \alpha u(x)+(1-\alpha )u(y)}$,

при всех ${\displaystyle x,y}$. Другими словами, отрезок, соединяющий две точки графика функции, всегда лежит ниже этого графика. Для дважды дифференцируемой функции полезности вогнутость описывается неравенством ${\displaystyle u''(x)<0}$ при всех ${\displaystyle x}$. В общем случае это означает, что ${\displaystyle \forall \alpha _{i}\geqslant 0,\sum _{i}\alpha _{i}=1}$:

${\displaystyle u(\sum _{i}\alpha _{i}x_{i})\geqslant \sum _{i}\alpha _{i}u(x_{i})}$

Если взять в качестве коэффициентов ${\displaystyle \alpha _{i}}$ вероятности значений ${\displaystyle x_{i}}$, тогда это неравенство означает, что

${\displaystyle u(E(x))\geqslant E(u(x))}$,

то есть полезность детерминированной суммы ${\displaystyle E(x)}$, больше средней ожидаемой полезности от неопределённых значений случайной величины ${\displaystyle x}$ с таким же математическим ожиданием. Это означает, что индивид предпочитает определённую сумму простой лотерее с эквивалентным средним выигрышем. Это говорит о неприятии какого-либо риска (рискофоб).

Если функция полезности выпукла вниз, то индивид имеет склонность к риску (рискофил). Если же выполнено следующее свойство функции полезности:

${\displaystyle u(\sum _{i}\alpha _{i}x_{i})=\sum _{i}\alpha _{i}u(x_{i})}$

то есть ${\displaystyle u(E(x))=E(u(x))}$, то индивид нейтрален к риску, то есть детерминированная сумма или лотерея с таким же ожидаемым выигрышем для него эквивалентны.

Неприятие риска по Эрроу-Пратту описывается функцией ${\displaystyle r(x)=-{\frac {u''(x)}{u'(x)}}}$. Для индивидуума, не приемлющего риск, эта функция строго положительна. Выделяют также индивидуумов, обладающих склонностью к риску: для них ${\displaystyle r(x)<0}$ при всех ${\displaystyle x}$, и риск-нейтральных индивидуумов — ${\displaystyle r(x)\equiv 0}$.