Триномиальная модель ценообразования опционов

В методе триномиального дерева цена базового актива моделируется как рекомбинирующее дерево (структура, в которой ветви соединяются обратно на последующих шагах), где на каждом узле цена может пойти тремя путями: вверх, вниз или остаться неизменной (средний путь)^[3]. Эти значения находят путём умножения значения на текущем узле на соответствующий множитель ${\displaystyle u\,}$ (множитель для верхнего пути), ${\displaystyle d\,}$ (множитель для нижнего пути) или ${\displaystyle m\,}$ (множитель для среднего пути). Значения множителей определяются следующим образом:

${\displaystyle u=e^{\sigma {\sqrt {2\Delta t}}}}$

${\displaystyle d=e^{-\sigma {\sqrt {2\Delta t}}}={\frac {1}{u}}\,}$ (структура является рекомбинирующей)

${\displaystyle m=1\,}$

Вероятности переходов между узлами вычисляются так:

• Вероятность верхнего перехода: ${\displaystyle p_{u}=\left({\frac {e^{(r-q)\Delta t/2}-e^{-\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}}{e^{\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}-e^{-\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}}}\right)^{2}\,}$
• Вероятность нижнего перехода: ${\displaystyle p_{d}=\left({\frac {e^{\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}-e^{(r-q)\Delta t/2}}{e^{\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}-e^{-\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}}}\right)^{2}\,}$
• Вероятность среднего перехода: ${\displaystyle p_{m}=1-(p_{u}+p_{d})\,}$.

В приведённых выше формулах:

${\displaystyle \Delta t\,}$ — длина временного шага в дереве (получается делением срока до исполнения на количество шагов);${\displaystyle r\,}$ — безрисковая процентная ставка за этот срок погашения;

${\displaystyle \sigma \,}$ — волатильность базового актива;

${\displaystyle q\,}$ — дивидендная доходность базового актива^[4].

Как и в биномиальной модели, эти факторы и вероятности заданы таким образом, чтобы обеспечить соблюдение двух ключевых свойств:

• эволюция цены как мартингал: гарантия того, что ожидаемое значение цены актива на следующем шаге равно текущей цене актива, что соответствует принципу нейтральности к риску;
• совпадение моментов с логнормальным распределением: расстояния между узлами и вероятности выбраны так, чтобы моменты совпадали с теми, которые характерны для логнормального распределения. Чем мельче временной шаг, тем точнее соответствие^[5].

Обратите внимание, что для того, чтобы вероятности ${\displaystyle p_{u}}$​, ${\displaystyle p_{d}}$ и ${\displaystyle p_{m}}$​ находились в диапазоне ${\displaystyle (0,1)}$, необходимо выполнение следующего условия на ${\displaystyle \Delta t}$:

${\displaystyle \Delta t<2{\frac {\sigma ^{2}}{(r-q)^{2}}}}$

После того как дерево цен построено, стоимость опциона на каждом узле рассчитывается аналогично биномиальной модели — путём обратного прохода от конечных узлов к текущему узлу ${\displaystyle t_{0}}$. Различие заключается в том, что стоимость опциона на каждом промежуточном узле определяется на основании трёх (вместо двух) последующих узлов и соответствующих им вероятностей^[6].

Если длину временных шагов ${\displaystyle \Delta t}$ рассматривать как случайную величину, распределённую экспоненциально, и интерпретировать её как время ожидания между соседними изменениями цены акции, то получившийся стохастический процесс становится процессом рождений и смертей (англ. birth–death process). Этот процесс является специальным видом непрерывного марковского процесса, в котором возможны только два типа переходов: «рождение», увеличивающее состояние на единицу, и «смерть», уменьшающая его на единицу. В контексте нашего примера это означает, что цена акции может двигаться только вверх (рождение) или вниз (смерть), причём частота таких изменений подчиняется экспоненциальному распределению.

Получившуюся модель можно отнести к классу моделей, таких как модель Корна-Крир-Лессена (англ. Korn-Kreer-Lenssen model), которые предназначены для решения сложных задач оценки и хеджирования опционов^[7]. Такая модель позволяет аналитически рассчитывать цену опциона и его греки, поскольку она обладает важными свойствами: стационарностью, разрешимостью и устойчивостью. Это делает её удобной для практического применения в финансовой индустрии, особенно при необходимости быстрой оценки опционов с заранее неизвестными или переменными параметрами.

Триномиальная модель считается^[8] более точной, чем биномиальная, при небольшом количестве временных шагов, поэтому она используется, когда скорость вычислений или вычислительные ресурсы ограничены^[9]. Для ванильных опционов, по мере увеличения числа шагов, результаты быстро сходятся, и тогда предпочтение отдаётся биномиальной модели из-за её более простой реализации. Для экзотических опционов триномиальная модель (или её модификации)^[10] иногда бывает более стабильной и точной, независимо от размера шага^[11].