Подразумеваемая волатильность

Модель ценообразования опционов, например модель Блэка — Шоулза, использует различные входные параметры для расчёта теоретической стоимости опциона^[3]. Состав этих параметров варьируется в зависимости от типа опциона и выбранной модели оценки. В общем случае стоимость опциона зависит от оценки будущей волатильности базового актива (${\displaystyle \sigma }$). Эту зависимость математически можно записать следующим образом:

${\displaystyle C=f(\sigma ,\cdot )\,}$,

где ${\displaystyle C}$ — теоретическая стоимость опциона, а ${\displaystyle f}$ — модель оценки, зависящая от ${\displaystyle \sigma }$ и от других параметров.

Функция ${\displaystyle f}$ является монотонно возрастающей по ${\displaystyle \sigma }$, то есть более высокая волатильность приводит к увеличению теоретической стоимости опциона. Согласно теореме об обратной функции, существует единственное значение σ, которое при внесении в функцию${\displaystyle f(\sigma ,\cdot )\,}$ выдаст искомую стоимость ${\displaystyle C}$.

Говоря иными словами, предположим существование некоторой обратной функции g = f⁻¹. Тогда можно записать:

${\displaystyle \sigma _{\bar {C}}=g({\bar {C}},\cdot )\,}$,

где ${\displaystyle \scriptstyle {\bar {C}}\,}$ — рыночная цена опциона, а ​${\displaystyle \sigma _{\bar {C}}\,}$ — подразумеваемая волатильность, соответствующая данной цене.

Обычно невозможно представить точную формулу для подсчёта подразумеваемой волатильности, зная только цену колл-опциона^[4]. Однако в особых случаях (например, при высоких или низких страйковых ценах, краткосрочном или долгосрочном периоде истечения) можно составить приблизительное асимптотическое разложение для подразумеваемой волатильности^[5]. Также исследовались и другие подходы, основанные на аналитических приближениях^[6][7].

Рассмотрим европейский колл-опцион ${\displaystyle C_{XYZ}}$​ на акцию корпорации XYZ без выплаты дивидендов, с ценой исполнения 50 долларов, сроком истечения 32 дня и ставкой безрискового процента равной 5 %.

Текущая рыночная цена акции составляет 51,25 долл., а рыночная цена опциона ​ ${\displaystyle C_{XYZ}}$равна 2,00 долл.

Используя стандартную модель Блэка — Шоулза для оценки стоимости опциона, \получаем, что подразумеваемая волатильность, выведенная из рыночной цены опциона​ ${\displaystyle C_{XYZ}}$, равна 18,7 %. Математически данное утверждение выражается так:

${\displaystyle \sigma _{\bar {C}}=g({\bar {C}},\cdot )=18.7\%}$,

где ${\displaystyle \scriptstyle {\bar {C}}\,}$ — рыночная цена опциона.

Проверим правильность вычисления подразумеваемой волатильности, подставив найденное значение в модель ценообразования ${\displaystyle f}$. Находим теоретическую стоимость опциона:

${\displaystyle C_{theo}=f(\sigma _{\bar {C}},\cdot )=\$2,0004}$.

Полученное значение близко к рыночной цене (2,00 долл.), что подтверждает правильность нашего вычисления подразумеваемой волатильности.

Обратная функция модели ценообразования ${\displaystyle f}$ в общем случае не имеет аналитического решения для своей обратной функции ${\displaystyle g}$. Вместо этого часто применяют методы поиска корня следующего уравнения:

${\displaystyle f(\sigma _{\bar {C}},\cdot )-{\bar {C}}=0\,}$.

Существует множество методов поиска корня, две самые распространённые из которых — метод Ньютона и метод Брента (гибрид секущих, бисекции и квадратичной интерполяции). Из-за быстрого изменения цен опционов важно выбирать наиболее эффективный алгоритм при вычислении подразумеваемой волатильности.

Метод Ньютона обладает быстрой сходимостью, но требует знания первой производной теоретической стоимости опциона по волатильности (${\displaystyle {\frac {\partial C}{\partial \sigma }}\,}$​), известной как вега (см. Греки (финансы) § Вега). Если модель ценообразования допускает аналитическое выражение для веги (как в модели Блэка — Шоулза), метод Ньютона оказывается эффективнее. Однако большинство практических моделей (например, биномиальная модель) не предоставляют такого выражения, и вегу приходится находить численно. В таких случаях можно применять метод Кристофера — Салкина (англ. Christopher and Salkin method), а для более точного расчёта подразумеваемой волатильности вне-денежных опционов рекомендуется использовать модель Коррадо — Миллера (англ. Corrado-Miller)^[8].

В частности, в рамках модели Блэка — Шоулза — Мертона британский специалист в области количественных финансов Петер Йекель (англ. Peter Jäckel) предложил алгоритм «Let’s Be Rational», который быстро и точно вычисляет подразумеваемую волатильность, соответствующую цене опциона^[9]. Этот метод достигает максимальной доступной точности (полной 64-разрядной точности с плавающей точкой) для любых возможных входных данных менее чем за микросекунду. Алгоритм начинается с начального приближения, полученного из асимптотических разложений, и последовательно улучшает результат с помощью двух шагов метода Хаусхолдера (название дано в честь математика Аллана Хаусхолдера), обеспечивая порядок сходимости четвёртой степени и превращая процесс в трёхшаговую схему без повторяющихся циклов. Эталонная реализация^[10] алгоритма на языке программирования C++ находится в свободном доступе. Помимо указанных выше методов поиска корней, существуют также методы, которые напрямую аппроксимируют обратную функцию сразу для нескольких переменных. Чаще всего они основаны на полиномах или рациональных функциях^[11].

Для модели Башелье (предусматривающей нормальное распределение цен в отличие от логнормального распределения цен в модели Блэка — Шоулза), Йекель^[12] представил полностью аналитическую и относительно простую двухэтапную формулу, которая обеспечивает максимальную достижимую точность вычислений (стандартная 64-битная точность с плавающей запятой) для всех возможных входных данных.

Параметризация подразумеваемой волатильности приобрела особую важность с приходом эпохи больших данных и науки о данных, так как она нужна для согласованной интерполиляции и экстраполяции данных^[13].

Классическими моделями параметризации подразумеваемой волатильности являются:

• модель SABR (англ. stochastic alpha-beta-rho), предназначенная для описания динамики цен активов или процентных ставок с использованием стохастической волатильности;
• мoдель SVI (англ. Stochastic Volatility Inspired), происходящая от модели Хестона и предназначенная для построения гладкой поверхности волатильности, часто используется в операциях по хеджированию и оценке опционов.

Расширение IVP (англ. Implied Volatility Parametrisation)^[14] добавляет гибкости в параметризацию и позволяет строить гладкую поверхность волатильности даже при наличии редких данных или небольших пробелов в информации.

Как утверждает Брайан Берн (англ. Brian Byrne), опытный трейдер и автор популярной литературы по опционной торговле, подразумеваемая волатильность опциона является более информативной характеристикой его относительной стоимости, чем текущая цена. Причина в том, что цена опциона напрямую зависит от цены базового актива. Если опцион входит в состав дельта-нейтрального портфеля (то есть портфеля, защищённого от небольших колебаний цены базового актива), то вторым по важности фактором, определяющим ценность опциона, становится его подразумеваемая волатильность^[15].

Подразумеваемая волатильность настолько важна, что опционы нередко котируются профессиональными трейдерами не по цене, а по величине волатильности.

Предположим, колл-опцион торгуется по цене 1,50 долл., а базовый актив — по 42,05 долл. Рассчитанная подразумеваемая волатильность опциона составила 18 %. Некоторое время спустя опцион торгуется уже по 2,10 долл., а базовый актив поднялся до 43,34 долл., при этом подразумеваемая волатильность снизилась до 17,2 %. Несмотря на то, что цена опциона выросла с течением времени, он считается дешевле, исходя из показателя волатильности. Несмотря на рост абсолютной цены, опцион подешевел с точки зрения своего главного ценообразующего фактора — ожидаемого диапазона колебаний базового актива. Снизившаяся подразумеваемая волатильность указывает на меньшую премию за риск будущих колебаний, необходимую для эффективного хеджирования позиции.

Ещё один способ взглянуть на подразумеваемую волатильность — воспринимать её не как прогноз движения акций в будущем, а как саму цену^[16]. В таком понимании она, подобно валюте, становится удобным способом передачи информации о стоимости опционов. Цены и статистические оценки качественно различаются: будущую волатильность можно оценить множеством методов, но полученные цифры не являются ценами. Цена возникает в результате сделки между покупателем и продавцом и определяется спросом и предложением. Статистические оценки зависят от временны́х рядов и структуры математической модели. Нельзя смешивать цену, которая подразумевает реальную сделку, с результатом статистического расчёта, являющимся лишь результатом вычислений.

Подразумеваемая волатильность — это цена, полученная из реальных транзакций. Отсюда неудивительно, что она может не соответствовать оценкам, предоставляемым какими-либо статистическими моделями^[17].

Тем не менее этот подход упускает из виду тот факт, что значение подразумеваемой волатильности зависит от используемой модели оценки: одна и та же рыночная цена опциона, обработанная разными моделями, даст разные значения подразумеваемой волатильности. Если принять этот взгляд на подразумеваемую волатильность как цену, придётся признать, что универсальной цены на неё не существует, и покупатель с продавцом могут совершать одну и ту же сделку по разным расчётным ценам волатильности.

В большинстве случаев опционы на один и тот же базовый актив, но с разными страйковыми ценами и датами истечения, имеют разные значения подразумеваемой волатильности. Это явление можно трактовать двояко:

• с одной стороны, оно может свидетельствовать о том, что реальная волатильность базового актива непостоянна и изменяется в зависимости от таких факторов, как уровень цены или временной горизонт;
• c другой стороны, это может означать, что изменения цены базового актива не соответствуют вероятностным распределениям, заложенным в моделях ценообразования (например, в модели Блэка — Шоулза)^[18].

Для описания этого феномена разработано несколько основных параметризаций поверхности волатильности, таких как:

• Шёнбухер (англ. Shönbucher) — модель, предназначенная для динамического моделирования всей поверхности волатильности во времени, которая позволяет прогнозировать её эволюцию и исключать возможности арбитража;
• SVI (с англ. — «вдохновлённая стохастической волатильностью») — упоминаемая выше параметризация, предложенная Джимом Гэтералом (англ. Jim Gatheral̠), идеально подходящая для описания поверхностных срезов волатильности на фиксированном сроке экспирации, удачно отображающая наблюдаемые рыночные «улыбки» и «перекосы» волатильности;
• обобщённая SVI (англ. generalized SVI (gSVI)) — обобщённая версия модели SVI, которая позволяет исключить возможность календарных арбитражей при одновременном моделировании волатильности для разных сроков экспирации.

Также существуют специальные методы, предназначенные для исключения возможности арбитража в рамках этих моделей^[19]. Подробнее см. статьи Модели стохастической волатильности и Улыбка волатильности.

Инструменты волатильности — это специализированные финансовые инструменты, предназначенные для отслеживания стоимости подразумеваемой волатильности производных инструментов (деривативов).

Один из ярких примеров — индекс волатильности VIX^[20], публикуемый Чикагской биржей опционов. Он рассчитывается как средневзвешенное значение подразумеваемой волатильности опционов на индекс S&P 500.

Другие важные инструменты волатильности включают:

• VXN — индекс волатильности фьючерсов на NASDAQ-100^[21];
• QQV (англ. QQQ volatility measure)— показатель волатильности ETF-фонда Invesco QQQ Trust, Series 1, который отслеживает индекс NASDAQ-100;
• IVX (англ. Implied Volatility Index) — индекс подразумеваемой волатильности, который оценивает ожидаемую волатильность американских акций и биржевых инструментов на предстоящий период^[22].

Кроме того, существуют производные инструменты, такие как опционы и фьючерсы, торгуемые непосредственно на самих этих индексах волатильности, что позволяет участникам рынка спекулировать на изменениях уровней волатильности.