Финансовая математика

Ключевые концепции финансовой математики включают:

• временна́я сто́имость де́нег — концепция, учитывающая изменение стоимости денег во времени;
• стохастический процесс — математическая модель для описания случайных изменений цен активов;
• арбитраж — возможность получения безрисковой прибыли;
• хеджирование — стратегия снижения финансовых рисков;
• волатильность — мера изменчивости цен финансовых инструментов.

В финансовой математике выделяют две отдельные ветви, в которых необходимы продвинутые количественные методы: оценка деривативов и управление рисками/портфелями. Одно из основных различий заключается в том, что эти направления используют разные вероятностные меры: так называемую риск-нейтральную вероятность (арбитражно-ценовую вероятность), обозначаемую как Q, и реальную (актуарную) вероятность, обозначаемую как P.

Q-мир

Цель	«экстраполировать настоящее»
Среда	риск-нейтральная вероятность ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
Процессы	мартиингалы в непрерывном времени
Размерность	низкая
Инструменты	исчисление Ито, дифференциальные уравнения в частных производных
Задачи	калибровка
Бизнес	sell-side

Оценка деривативов нацелена на определение «справедливой» цены финансового инструмента через более ликвидные ценные бумаги, цена которых определяется законами спроса и предложения. То, как понимать «справедливость», зависит от позиции — покупка или продажа инструмента. Среди типичных оцениваемых инструментов — ванильный опцион, экзотический опцион, конвертируемая облигация и др.

Получив справедливую цену, трейдер sell-side может котировать данный инструмент на рынке. Оценка деривативов — это сложная задача экстраполяции, целью которой является определение текущей рыночной стоимости инструмента, востребованная профессиональным sell-side-сообществом. Количественная оценка деривативов была заложена Луи Башелье в работе «Теория спекуляции» (Théorie de la spéculation, 1900), где была введена основополагающая случайная модель — броуновское движение, получившая широкое применение в оценке опционов^[1][2]. Броуновское движение выводится из уравнения Ланжевена и дискретного случайного блуждания^[3]. Башелье моделировал временной ряд изменений логарифма цен акций как случайное блуждание с конечной дисперсией отклонений за короткие промежутки времени, что приводит к гауссовскому распределению изменений на больших отрезках^[4].

Долгое время теория не развивалась, пока Фишер Блэк и Майрон Шоулз (и независимо Роберт Мертон) не применили геометрическое броуновское движение (вторая по значимости модель) к оценке опционов. За эту работу М. Шоулз и Р. Мертон были удостоены Нобелевской премии по экономике в 1997 году; Ф. Блэк скончался в 1995 году и не мог быть номинирован^[5].

Следующим крупным шагом стала фундаментальная теорема оценки активов (Харрисон и Плиска, 1981), согласно которой справедливость цены P₀ обеспечивается отсутствием арбитража тогда и только тогда, когда существует стохастический процесс P_t, описывающий эволюцию инструмента, с постоянным математическим ожиданием^[6]:

${\displaystyle P_{0}=\mathbf {E} _{0}(P_{t})}$

(1)

Такой процесс называется мартигейлом. Мартигейл не вознаграждает риск, а потому вероятность для нормализованного процесса ценового инструмента называется «риск-нейтральной» и обозначается буквой ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Соотношение (1) должно выполняться для всех t, поэтому используемые процессы естественно определены в непрерывном времени.

Специалисты-«кванты», занимающиеся оценкой деривативов (Q-мир), представляют собой экспертов по конкретным финансовым продуктам.

Оценка проводится для каждого инструмента отдельно, так что задачи Q-мира имеют невысокую размерность. Основная проблема Q-мира — калибровка: задав конкретный параметрический процесс и откалибровав его на наборе биржевых инструментов (по типу (1)), аналогичное соотношение используют для оценки новых деривативов.

Главные инструментальные средства для анализа процессов Q-типа — стохастическое исчисление Ито, методы Монте-Карло и дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП)^[7].

P-мир

Цель	«смоделировать будущее»
Среда	реальная вероятность ${\displaystyle \mathbb {P} }$
Процессы	дискретные временные ряды
Размерность	высокая
Инструменты	многомерная статистика
Задачи	оценивание
Бизнес	buy-side

Управление рисками и портфелем выражается в попытке описать распределение вероятностей рыночных цен всех инструментов к заданному будущему горизонту инвестирования. Это «реальное» распределение обозначается ${\displaystyle \mathbb {P} }$ в отличие от «риск-нейтрального» ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, применяемого для оценки деривативов. На основе распределения P участники buy-side принимают решения, какие инструменты покупать для максимизации ожидаемой прибыли портфеля. Всё больше этапов этого процесса автоматизируется (см. Квантитативное инвестирование).

За свои новаторские работы Гарри Марковиц, Уильям Шарп и Мёртон Миллер были удостоены Нобелевской премии по экономике в 1990 году — впервые в истории за достижения именно в области финансов.

Работы Марковица и Шарпа ввели математику в управление инвестициями. Со временем используемые методы стали гораздо сложнее: Роберт Мертон и Пол Самуэльсон заменили однопериодные модели на непрерывно временные броуновские схемы, а квадратичная функция полезности (в парадигме среднее-дисперсия) уступила место более общим возрастающим вогнутым функциям полезности^[8]. В последние годы внимание уделяют риску ошибочных оценок параметров рынка (estimation risk), то есть ограниченности одних только методов анализа временных рядов для точной оценки параметров^[9].

Большое внимание уделяется исследованию движения финансовых рынков и динамики цен. Чарльз Доу, один из основателей Dow Jones & Company и The Wall Street Journal, сформулировал основные положения теории Доу, лежащей в основе технического анализа, согласно которому динамика рынка предсказывает будущее (по крайней мере в краткосрочной перспективе). Однако эти выводы оспариваются академическим сообществом. Несмотря на многочисленные эмпирические исследования эффективности технического анализа, не существует однозначного консенсуса относительно его прогностической ценности^[10].

За последние десятилетия были разработаны всё более сложные математические модели и стратегии оценки деривативов, однако их авторитет был поставлен под сомнение после мирового кризиса 2008 года.

С критикой современной практики математической финансовой теории выступают и представители самого направления, среди которых Пол Вилмотт и Нассим Николас Талеб (автор Чёрного лебедя)^[11]. По их мнению, цены финансовых активов не укладываются в простые модели, используемые в современной практике, что делает большую часть традиционных подходов неактуальной, а иногда даже опасно вводящей в заблуждение. Вилмотт и Эмануэль Дерман опубликовали в январе 2009 года Манифест финансовых моделистов, в котором рассматриваются острые проблемы дисциплины^[12]. Такие организации, как Институт нового экономического мышления, работают над созданием новых теорий и методов^[13].

Число специалистов, считающих неадекватным моделирование изменений инструментов распределениями с конечной дисперсией, неуклонно растёт^[14]. Отклонение от гауссовской модели впервые обнаружил в 1960-х Бенуа Мандельброт — изменения цен лучше моделировать с помощью устойчивых распределений Леви^[15]. Масштаб изменений (волатильность) зависит от длины временного интервала по степенному закону с показателем чуть больше 1/2; крупные скачки (вверх и вниз) случаются чаще, чем можно ожидать исходя из нормального распределения и стандартного отклонения. Однако такая альтернатива усложняет параметризацию моделей и делает управление рисками менее надёжным^[11].

Существенно и то, что современные модели финансовых рынков зачастую противоречат ПКяли макроэкономике, например, критике Лукаса или гипотезе рациональных ожиданий, согласно которым наблюдаемые зависимости не обязательны к эксплуатации для политики или получения прибыли, если не подтверждена причинная связь методами эконометрики^[16]. Финансовая математика, как правило, не учитывает сложные психологические факторы поведения рыночных агентов — например, панические атаки, приводящие к банковским кризисам.