Финансовая математика
Финансовая математика (англ. mathematical finance, англ. quantitative finance) — раздел прикладной математики, занимающийся математическим моделированием финансовых рынков, оценкой финансовых инструментов и управлением рисками. Включает методы теории вероятностей, статистики, стохастических процессов и численных методов.
Основные понятия
Ключевые концепции финансовой математики включают:
- временна́я сто́имость де́нег — концепция, учитывающая изменение стоимости денег во времени;
- стохастический процесс — математическая модель для описания случайных изменений цен активов;
- арбитраж — возможность получения безрисковой прибыли;
- хеджирование — стратегия снижения финансовых рисков;
- волатильность — мера изменчивости цен финансовых инструментов.
История: Q против P
В финансовой математике выделяют две отдельные ветви, в которых необходимы продвинутые количественные методы: оценка деривативов и управление рисками/портфелями. Одно из основных различий заключается в том, что эти направления используют разные вероятностные меры: так называемую риск-нейтральную вероятность (арбитражно-ценовую вероятность), обозначаемую как Q, и реальную (актуарную) вероятность, обозначаемую как P.
Оценка деривативов: Q-мир
| Цель | «экстраполировать настоящее» |
| Среда | риск-нейтральная вероятность |
| Процессы | мартиингалы в непрерывном времени |
| Размерность | низкая |
| Инструменты | исчисление Ито, дифференциальные уравнения в частных производных |
| Задачи | калибровка |
| Бизнес | sell-side |
Оценка деривативов нацелена на определение «справедливой» цены финансового инструмента через более ликвидные ценные бумаги, цена которых определяется законами спроса и предложения. То, как понимать «справедливость», зависит от позиции — покупка или продажа инструмента. Среди типичных оцениваемых инструментов — ванильный опцион, экзотический опцион, конвертируемая облигация и др.
Получив справедливую цену, трейдер sell-side может котировать данный инструмент на рынке. Оценка деривативов — это сложная задача экстраполяции, целью которой является определение текущей рыночной стоимости инструмента, востребованная профессиональным sell-side-сообществом. Количественная оценка деривативов была заложена Луи Башелье в работе «Теория спекуляции» (Théorie de la spéculation, 1900), где была введена основополагающая случайная модель — броуновское движение, получившая широкое применение в оценке опционов[1][2]. Броуновское движение выводится из уравнения Ланжевена и дискретного случайного блуждания[3]. Башелье моделировал временной ряд изменений логарифма цен акций как случайное блуждание с конечной дисперсией отклонений за короткие промежутки времени, что приводит к гауссовскому распределению изменений на больших отрезках[4].
Долгое время теория не развивалась, пока Фишер Блэк и Майрон Шоулз (и независимо Роберт Мертон) не применили геометрическое броуновское движение (вторая по значимости модель) к оценке опционов. За эту работу М. Шоулз и Р. Мертон были удостоены Нобелевской премии по экономике в 1997 году; Ф. Блэк скончался в 1995 году и не мог быть номинирован[5].
Следующим крупным шагом стала фундаментальная теорема оценки активов (Харрисон и Плиска, 1981), согласно которой справедливость цены P0 обеспечивается отсутствием арбитража тогда и только тогда, когда существует стохастический процесс Pt, описывающий эволюцию инструмента, с постоянным математическим ожиданием[6]:
-
(1)
Такой процесс называется мартигейлом. Мартигейл не вознаграждает риск, а потому вероятность для нормализованного процесса ценового инструмента называется «риск-нейтральной» и обозначается буквой .
Соотношение (1) должно выполняться для всех t, поэтому используемые процессы естественно определены в непрерывном времени.
Специалисты-«кванты», занимающиеся оценкой деривативов (Q-мир), представляют собой экспертов по конкретным финансовым продуктам.
Оценка проводится для каждого инструмента отдельно, так что задачи Q-мира имеют невысокую размерность. Основная проблема Q-мира — калибровка: задав конкретный параметрический процесс и откалибровав его на наборе биржевых инструментов (по типу (1)), аналогичное соотношение используют для оценки новых деривативов.
Главные инструментальные средства для анализа процессов Q-типа — стохастическое исчисление Ито, методы Монте-Карло и дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП)[7].
Управление рисками и портфелем: P-мир
| Цель | «смоделировать будущее» |
| Среда | реальная вероятность |
| Процессы | дискретные временные ряды |
| Размерность | высокая |
| Инструменты | многомерная статистика |
| Задачи | оценивание |
| Бизнес | buy-side |
Управление рисками и портфелем выражается в попытке описать распределение вероятностей рыночных цен всех инструментов к заданному будущему горизонту инвестирования. Это «реальное» распределение обозначается в отличие от «риск-нейтрального» , применяемого для оценки деривативов. На основе распределения P участники buy-side принимают решения, какие инструменты покупать для максимизации ожидаемой прибыли портфеля. Всё больше этапов этого процесса автоматизируется (см. Квантитативное инвестирование).
За свои новаторские работы Гарри Марковиц, Уильям Шарп и Мёртон Миллер были удостоены Нобелевской премии по экономике в 1990 году — впервые в истории за достижения именно в области финансов.
Работы Марковица и Шарпа ввели математику в управление инвестициями. Со временем используемые методы стали гораздо сложнее: Роберт Мертон и Пол Самуэльсон заменили однопериодные модели на непрерывно временные броуновские схемы, а квадратичная функция полезности (в парадигме среднее-дисперсия) уступила место более общим возрастающим вогнутым функциям полезности[8]. В последние годы внимание уделяют риску ошибочных оценок параметров рынка (estimation risk), то есть ограниченности одних только методов анализа временных рядов для точной оценки параметров[9].
Большое внимание уделяется исследованию движения финансовых рынков и динамики цен. Чарльз Доу, один из основателей Dow Jones & Company и The Wall Street Journal, сформулировал основные положения теории Доу, лежащей в основе технического анализа, согласно которому динамика рынка предсказывает будущее (по крайней мере в краткосрочной перспективе). Однако эти выводы оспариваются академическим сообществом. Несмотря на многочисленные эмпирические исследования эффективности технического анализа, не существует однозначного консенсуса относительно его прогностической ценности[10].
Критика
За последние десятилетия были разработаны всё более сложные математические модели и стратегии оценки деривативов, однако их авторитет был поставлен под сомнение после мирового кризиса 2008 года.
С критикой современной практики математической финансовой теории выступают и представители самого направления, среди которых Пол Вилмотт и Нассим Николас Талеб (автор Чёрного лебедя)[11]. По их мнению, цены финансовых активов не укладываются в простые модели, используемые в современной практике, что делает большую часть традиционных подходов неактуальной, а иногда даже опасно вводящей в заблуждение. Вилмотт и Эмануэль Дерман опубликовали в январе 2009 года Манифест финансовых моделистов, в котором рассматриваются острые проблемы дисциплины[12]. Такие организации, как Институт нового экономического мышления, работают над созданием новых теорий и методов[13].
Число специалистов, считающих неадекватным моделирование изменений инструментов распределениями с конечной дисперсией, неуклонно растёт[14]. Отклонение от гауссовской модели впервые обнаружил в 1960-х Бенуа Мандельброт — изменения цен лучше моделировать с помощью устойчивых распределений Леви[15]. Масштаб изменений (волатильность) зависит от длины временного интервала по степенному закону с показателем чуть больше 1/2; крупные скачки (вверх и вниз) случаются чаще, чем можно ожидать исходя из нормального распределения и стандартного отклонения. Однако такая альтернатива усложняет параметризацию моделей и делает управление рисками менее надёжным[11].
Существенно и то, что современные модели финансовых рынков зачастую противоречат ПКяли макроэкономике, например, критике Лукаса или гипотезе рациональных ожиданий, согласно которым наблюдаемые зависимости не обязательны к эксплуатации для политики или получения прибыли, если не подтверждена причинная связь методами эконометрики[16]. Финансовая математика, как правило, не учитывает сложные психологические факторы поведения рыночных агентов — например, панические атаки, приводящие к банковским кризисам.
См. также
Примечания
- ↑ Shreve, Steven E. Stochastic calculus for finance. — New York : Springer, 2004. — ISBN 9780387401003.
- ↑ Blyth, Stephen. Introduction to Quantitative Finance. — Oxford University Press, USA, 2013. — P. 157. — ISBN 9780199666591.
- ↑ Schmidt, Anatoly B. Quantitative finance for physicists: an introduction. — San Diego : Elsevier Academic Press, 2005. — ISBN 9780080492209.
- ↑ Bachelier, Louis The Theory of Speculation. Дата обращения: 6 июня 2024.
- ↑ Lindbeck, Assar The Sveriges Riksbank Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel 1969-2007. Nobel Prize. Дата обращения: 6 июня 2024.
- ↑ Brown, Angus. A risky business: How to price derivatives, Price+ Magazine (1 декабря 2008). Дата обращения: 6 июня 2024.
- ↑ «Financial Models», Michael Mastro. Financial Derivative and Energy Market Valuation. John Wiley & Sons, 2013, ISBN 978-1118487716.
- ↑ Karatzas, Ioannis. Methods of Mathematical Finance / Ioannis Karatzas, Steve Shreve. — Secaucus, New Jersey : Springer-Verlag New York, 1998. — ISBN 9780387948393.
- ↑ Meucci, Attilio. Risk and Asset Allocation. — Springer, 2005. — ISBN 9783642009648.
- ↑ Park, C. H.; Irwin, S. H. (2007). “What Do We Know About the Profitability of Technical Analysis?”. Journal of Economic Surveys [англ.]. 21 (4): 786—826. Дата обращения 2024-06-06.
- ↑ 1 2 Taleb, Nassim Nicholas. The Black Swan: The Impact of the Highly Improbable : [англ.]. — Random House Trade, 2007. — ISBN 978-1-4000-6351-2.
- ↑ Financial Modelers' Manifesto. Paul Wilmott's Blog (8 января 2009). Дата обращения: 1 июня 2012. Архивировано 8 сентября 2014 года.
- ↑ Gillian Tett. Mathematicians must get out of their ivory towers (англ.), Financial Times (15 апреля 2010). Дата обращения: 6 июня 2024.
- ↑ Svetlozar T. Rachev. Fat-Tailed and Skewed Asset Return Distributions: Implications for Risk Management, Portfolio Selection, and Option Pricing : [англ.] / Svetlozar T. Rachev, Frank J. Fabozzi, Christian Menn. — John Wiley and Sons, 2005. — ISBN 978-0471718864.
- ↑ B. Mandelbrot, The variation of certain Speculative Prices, The Journal of Business 1963
- ↑ Lucas, Bob ECONOMETRIC POLICY EVALUATION: A CRITIQUE (англ.). Дата обращения: 5 августа 2022.
Литература
- Nicole El Karoui. The future of financial mathematics // ParisTech Review.
- Марковиц Г. Portfolio Selection (англ.) // Journal of Finance. — 1952. — Vol. 7. — P. 77-91.
- Sharpe W. F. Investments (англ.). — Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1985. — ISBN 978-0135046057.
- Labordere P. Henry. Model-Free Hedging: A Martingale Optimal Transport Viewpoint (англ.). — Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, 2017. — ISBN 978-1498726911.
 | |
|---|---|
| В библиографических каталогах |
