Биномиальная модель ценообразования опционов

Впервые данная модель была предложена в 1978 году американским экономистом Уильямом Шарпом в книге «Инвестиции»^[2], а позднее получила развитие в совместной статье Джона Каррингтона Кокса (англ. John Carrington Cox), Стивена Росса (англ. Stephen Ross) и Марка Рубинштейна (англ. Mark Rubinstein) в 1979 году^[3]. В том же году Ричард Рэнделман-младший (англ. Richard J. Rendleman, Jr.) и Брит Бартер (англ. Brit J. Bartter) внесли в неё важные дополнения и усовершенствования^[4].

Вопросы использования биномиальных деревьев для оценки облигаций и процентных деривативов получают дальнейшее развитие именно в контексте рассмотрения решёточных моделей в финансах.

Биномиальная модель оценки опционов (BOPM) получила широкое применение благодаря способности решать широкий спектр задач, с которыми другим моделям трудно справиться. Причина популярности заключается в том, что биномиальная модель рассматривает динамику базового актива на протяжении периода времени, а не в отдельной точке, что позволяет оценивать как американские опционы, которые могут быть исполнены в любое время, так и бермудские опционы, доступные для исполнения в определённые моменты времени. Будучи сравнительно простой, модель легко реализуема в компьютерном программировании, включая табличные редакторы. Хотя метод требует большего объёма вычислений и медленнее модели Блэка-Шоулза, он обеспечивает более высокую точность, особенно для долгосрочных опционов на ценные бумаги с дивидендами. Исходя из этих преимуществ, участники рынка опционов активно используют на практике различные модификации биномиальной модели^[5].

В ситуациях, когда опционы содержат большое число факторов неопределённости (например, реальные опционы) или характеризуются сложными параметрами (например, азиатские опционы), биномиальные методы становятся менее эффективными. Из-за присущих им ограничений в таких ситуациях специалисты на практике чаще прибегают к методам Монте-Карло. Стоит отметить, что на коротких временных отрезках с небольшим количеством шагов биномиальный подход более экономичен по времени и вычислительным ресурсам. В худшем случае его вычислительная сложность составит O(2ⁿ), где n — количество временных шагов в симуляции. Симуляции методом Монте-Карло, как правило, обладают полиномиальной временной сложностью и работают быстрее при большом количестве временных шагов. Биномиальные методы используют дискретные интервалы, поэтому при увеличении количества интервалов (уменьшении размера каждого отдельного шага) преимущество модели Монте-Карло становится более очевидным^[6]. Кроме того, методы Монте-Карло менее подвержены ошибкам дискретизации и погрешностям округления.

function americanPut(T, S, K, r, sigma, q, n) 
{ 
  '  T... expiration time
  '  S... stock price
  '  K... strike price
  '  r... interest rate
  '  sigma... volatility of the stock price
  '  q... dividend yield
  '  n... height of the binomial tree
  deltaT := T / n;
  up := exp(sigma * sqrt(deltaT));
  p0 := (up * exp(-q * deltaT) - exp(-r * deltaT)) / (up^2 - 1);
  p1 := exp(-r * deltaT) - p0;
  ' initial values at time T
  for i := 0 to n {
      p[i] := K - S * up^(2*i - n+1);
      if p[i] < 0 then p[i] := 0;
  }
  ' move to earlier times
  for j := n-1 down to 0 {
      for i := 0 to j {
          ' binomial value
          p[i] := p0 * p[i+1] + p1 * p[i];   
          ' exercise value
          exercise := K - S * up^(2*i - j);  
          if p[i] < exercise then p[i] := exercise;
      }
  }
  return americanPut := p[0];
}

Биномиальная модель оценки опционов отслеживает динамику ключевых переменных базового актива в дискретном времени. Для оценки опциона используется биномиальное дерево (решётка), которое строится на определённом количестве временных шагов, охватывающих период от момента оценки до момента истечения опциона. Каждый узел сетки соответствует возможной цене актива на указанном временном шаге.

Оценка стоимости опциона выполняется методом обратной индукции — начиная с узлов на завершающем временном шаге (на дату экспирации) и последовательно продвигаясь к начальному узлу (моменту оценки). Значение, вычисляемое на каждом узле, представляет собой стоимость опциона на данный момент времени.

Процесс оценки опциона с использованием данного метода включает три основных этапа:

1. Формирование ценового дерева.

2. Расчёт стоимости опциона на каждом конечном узле.

3. Последовательный расчёт стоимости опциона на предыдущих узлах.

При построении ценового дерева мы движемся от даты оценки до даты истечения опциона. На каждом шаге предполагается, что базовый актив может вырасти или упасть на определённый коэффициент: коэффициент роста ${\displaystyle u}$ (${\displaystyle u\geq 1}$) или коэффициент падения ${\displaystyle d}$ (${\displaystyle 0<d\leq 1}$). Таким образом, если текущая цена актива равна ${\displaystyle S}$, то на следующем шаге цена будет либо ${\displaystyle S_{up}=S\cdot u}$ (рост), либо ${\displaystyle S_{down}=S\cdot d}$ (падение).

Коэффициенты вычисляются на основе постоянной волатильности σ и продолжительности шага t (в годах). Применяя условие, что дисперсия логарифма цены равна ${\displaystyle \sigma ^{2}t}$ , мы получаем следующие соотношения:

${\displaystyle u=e^{\sigma {\sqrt {\Delta t}}}}$

${\displaystyle d=e^{-\sigma {\sqrt {\Delta t}}}={\frac {1}{u}}.}$

Этот метод, разработанный Коксом, Россом и Рубинштейном (англ. Cox-Ross-Rubinstein (CRR)), является классическим способом построения биномиального дерева. Существуют и другие подходы к построению дерева, такие как «метод равных вероятностей» (англ. Equal Probabilities Tree)^[7][8].

Одной из важнейших особенностей метода CRR является свойство слияния узлов: если цена актива сначала увеличивается, а затем уменьшается (u, d), то итоговая цена будет такой же, как если бы сначала произошла потеря, а затем рост (d, u). Это свойство позволяет сократить количество узлов в дереве, что значительно ускоряет вычисления.

Также благодаря этому свойству стоимость базового актива в каждом узле можно вычислить по формуле, не строя дерево полностью. Цена актива в узле определяется по формуле:

${\displaystyle S_{n}=S_{0}\times u^{N_{u}-N_{d}},}$

где ${\displaystyle N_{u}}$ — количество повышений и ${\displaystyle N_{d}}$ — количество понижений.

На узлах последнего временного шага (то есть на момент экспирации) стоимость опциона определяется только внутренней стоимостью (англ. intrinsic value), то есть прямым экономическим выигрышем от его исполнения:

Max [ (S_n − K), 0 ], для колл-опциона

Max [ (K − S_n), 0 ], для пут-опциона,

где K — страйк-цена и ${\displaystyle S_{n}}$ — это текущая рыночная цена базового актива в момент n^th периода.

После определения стоимости на конечных узлах расчёт выполняется в обратном порядке: начиная с предпоследнего шага и двигаясь к начальному узлу (дате оценки). Именно значение, полученное в этом начальном узле, и является искомой стоимостью опциона.

Главная идея состоит в том, что каждом узле дерева вычисляется биномиальная стоимость" опциона, основанная на предположении о нейтральности к риску. Затем, если в данном узле опцион может быть исполнен, то модель выбирает наибольшее значение между биномиальной стоимостью и стоимостью исполнения.

Cледующие шаги:

При расчёте стоимости на каждом временном шаге, последовательно двигаясь к дате оценки, модель использует значение с предыдущего шага (либо «Опцион вверх», либо «Опцион вниз»). Эти значения подставляются в формулу для текущего узла. Приведённый справа алгоритм демонстрирует процесс вычисления стоимости американского пут-опциона, хотя его легко адаптировать для колл-опционов, а также для европейских и бермудских опционов^[9].

В основе биномиальной модели и модели Блэка-Шоулза лежат схожие предположения. Биномиальная модель является дискретным приближением к непрерывному процессу, который лежит в основе модели Блэка-Шоулза. Она предполагает, что движение цены подчиняется биномиальному распределению, которое для многих случаев приближается к логнормальному распределению модели Блэка-Шоулза. Таким образом, по мере увеличения числа временных шагов стоимость для европейских опционов без дивидендов, рассчитанная по биномиальной модели ценообразования, приближается к стоимости, полученной по формуле Блэка-Шоулза^[7][8].

Кроме того, можно рассмотреть биномиальную модель CRR как численный метод, представляющий собой частный случай конечно-разностного метода для решения уравнения Блэка-Шоулза (англ. Black-Scholes Partial Differential Equation, PDE). Иначе говоря, модель CRR приближённо решает уравнение Блэка-Шоулза, разбивая процесс на дискретные шаги и вычисляя стоимость опциона на каждом узле^[10].