Тригонометрия

Тригонометрия — раздел математики, изучающий тригонометрические функции и их использование в геометрии для вычисления элементов треугольников, а также в физике, астрономии и инженерном деле.

Греческие математики использовали метод хорд: половина хорды соответствует синусу половинного угла. Гиппарх составил первые таблицы, Менелай заложил основы сферических треугольников, а Птолемей в «Альмагесте» развил расчёт хорд до формул сложения.

В средневековой Индии хорды заменили синусами; первая таблица синусов имеется в «Сурья-сиддханте» и у Ариабхаты. С XIV века южноиндийские математики получили разложения синуса, косинуса и арктангенса в бесконечные степенные ряды.

Аль-Хорезми составил «Зидж ас-Синдхинд» — первые в исламском мире таблицы синусов и тангенсов. Переводы арабских трактатов на латынь распространили эти знания в европейской науке.

Функции задаются отношениями сторон прямоугольного треугольника (синус — противолежащий катет к гипотенузе, косинус — прилежащий к гипотенузе). На единичной окружности синус и косинус — координаты точки пересечения стороны угла с окружностью, остальные — отношения и обратные величины. Возможно также аналитическое определение через ряды.

Формула Эйлера связывает тригонометрические функции с показательной функцией комплексного переменного: косинус и синус выражаются как вещественная и мнимая части комплексной экспоненты, а также как взвешенные суммы экспонент. Эти соотношения позволяют определять тригонометрические функции комплексного аргумента и упрощают вычисления, сводя их к манипуляциям с экспонентами.

Изучает углы между большими кругами на сфере; в отличие от плоской, сумма углов сферического треугольника обычно не равна 180°. Длины сторон выражаются центральными углами; действуют сферическая теорема синусов и две двойственные теоремы косинусов.

Тригономе́трия (от др.-греч. τρίγωνον «треугольник» и μετρέω «измеряю», то есть измерение треугольников) — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии^[1]. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса, а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, архитектуре и геодезии для вычисления одних элементов треугольника по данным о других его элементах.

Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Например, большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников.

⚠️Подсказка для ОГЭ/ЕГЭ
Тригонометрические функции — одна из самых важных тем для ОГЭ и ЕГЭ. Нужно уметь:

находить значения $\sin x$ , $\cos x$ , $\operatorname {tg} x$ , $\operatorname {ctg} x$ ;

применять основные тождества;

решать простейшие тригонометрические уравнения;

использовать формулы в задачах по геометрии.

1. Что нужно помнить в первую очередь
Для острого угла прямоугольного треугольника:

$\sin \alpha ={\frac {\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}}$

$\cos \alpha ={\frac {\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}}$

$\operatorname {tg} \alpha ={\frac {\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}}$

$\operatorname {ctg} \alpha ={\frac {\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}}}$

Из этого сразу следуют полезные связи:

$\operatorname {tg} \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }},\qquad \operatorname {ctg} \alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}$

2. Области определения
Это один из самых частых пунктов в заданиях.

$\sin x$ и $\cos x$ определены при всех $x$ .

$\operatorname {tg} x$ не определён, когда $\cos x=0$ , то есть при

$x={\frac {\pi }{2}}+\pi n,\quad n\in \mathbb {Z}$

$\operatorname {ctg} x$ не определён, когда $\sin x=0$ , то есть при

$x=\pi n,\quad n\in \mathbb {Z}$

На ЕГЭ это часто нужно учитывать при решении уравнений и преобразованиях.
3. Чётность и периодичность
Это помогает быстро упрощать выражения.

$\sin(-x)=-\sin x$ — синус нечётный

$\cos(-x)=\cos x$ — косинус чётный

$\operatorname {tg} (-x)=-\operatorname {tg} x$

$\operatorname {ctg} (-x)=-\operatorname {ctg} x$

Периоды:

$\sin(x+2\pi )=\sin x$

$\cos(x+2\pi )=\cos x$

$\operatorname {tg} (x+\pi )=\operatorname {tg} x$

$\operatorname {ctg} (x+\pi )=\operatorname {ctg} x$

4. Основные тригонометрические тождества
Их нужно знать наизусть.
Главное тождество:

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$

Из него выводятся:

$1+\operatorname {tg} ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}$

$1+\operatorname {ctg} ^{2}x={\frac {1}{\sin ^{2}x}}$

Это самые частые формулы в преобразованиях.
5. Формулы двойного угла
Их очень любят в ЕГЭ.

$\sin 2x=2\sin x\cos x$

$\cos 2x=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x$

Также полезные формы:

$\cos 2x=2\cos ^{2}x-1$

$\cos 2x=1-2\sin ^{2}x$

$\operatorname {tg} 2x={\frac {2\operatorname {tg} x}{1-\operatorname {tg} ^{2}x}}$

6. Формулы суммы и разности
Их нужно уметь узнавать и применять:

$\sin(A\pm B)=\sin A\cos B\pm \cos A\sin B$

$\cos(A\pm B)=\cos A\cos B\mp \sin A\sin B$

$\operatorname {tg} (A\pm B)={\frac {\operatorname {tg} A\pm \operatorname {tg} B}{1\mp \operatorname {tg} A\operatorname {tg} B}}$

Часто эти формулы используются для получения табличных значений:

$\sin 15^{\circ }$

$\cos 75^{\circ }$

$\operatorname {tg} 75^{\circ }$

7. Формулы приведения
Их обычно используют для упрощения выражений.
Нужно помнить правило:

если угол вида ${\frac {\pi }{2}}\pm \alpha$ , функция меняется на «соседнюю»;

если угол вида $\pi \pm \alpha$ или $2\pi \pm \alpha$ , название функции сохраняется;

знак определяется по четверти.

Например:

$\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cos \alpha$

$\cos \left(\pi -\alpha \right)=-\cos \alpha$

$\sin(\pi +\alpha )=-\sin \alpha$

8. Простейшие тригонометрические уравнения
Это обязательная тема для ЕГЭ.

$\sin x=a$

Если $|a|>1$ , решений нет. Если $|a|\leq 1$ , то

$x=(-1)^{n}\arcsin a+\pi n,\quad n\in \mathbb {Z}$

$\cos x=a$

Если $|a|>1$ , решений нет. Если $|a|\leq 1$ , то

$x=\pm \arccos a+2\pi n,\quad n\in \mathbb {Z}$

$\operatorname {tg} x=a$

$x=\operatorname {arctg} a+\pi n,\quad n\in \mathbb {Z}$

$\operatorname {ctg} x=a$

$x=\operatorname {arcctg} a+\pi n,\quad n\in \mathbb {Z}$

Совет: в ответе обязательно записывайте все решения, а не одно значение.
9. Знаки тригонометрических функций по четвертям
Очень полезно для преобразований и отбора корней.

I четверть: все функции положительны

II четверть: положителен только синус

III четверть: положительны тангенс и котангенс

IV четверть: положителен только косинус

10. Тригонометрия в геометрии
Для треугольников чаще всего используются:
Теорема синусов:

${\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}$

Теорема косинусов:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$

Эти формулы особенно важны в задачах ЕГЭ по планиметрии и стереометрии.
11. Что чаще всего спрашивают на ЕГЭ

преобразовать тригонометрическое выражение;

решить простейшее тригонометрическое уравнение;

найти значение выражения с использованием тождеств;

применить формулы двойного угла;

решить геометрическую задачу с синусами и косинусами.

12. Частые ошибки

забывают про область определения $\operatorname {tg} x$ и $\operatorname {ctg} x$ ;

пишут не все корни;

путают знаки в формулах суммы и разности;

неверно используют формулы приведения;

забывают, что $|\sin x|\leq 1$ и $|\cos x|\leq 1$ .

Древняя Греция

Древнегреческие математики использовали технику хорд для измерения дуг круга. Перпендикуляр к хорде, опущенный из центра окружности, делит пополам дугу и хорду; половина разделённой хорды — это синус половинного угла, поэтому синус известен как «половина хорды». Многие тригонометрические тождества были известны грекам в эквивалентной хордовой форме.

Хотя у Евклида и Архимеда нет тригонометрии в строгом смысле, их теоремы эквивалентны специфическим тригонометрическим формулам. Теорема Архимеда для деления хорд эквивалентна формулам для синусов суммы и разности углов. Математики времён Аристарха иногда использовали теорему: ${\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}<{\frac {\alpha }{\beta }}<{\frac {\operatorname {tg} \alpha }{\operatorname {tg} \beta }},$ где $0^{\circ }<\beta <\alpha <90^{\circ }$ .

Первые тригонометрические таблицы составил Гиппарх Никейский (180—125 гг. до н. э.). Он свёл в таблицы величины дуг и хорд для серии углов. Систематическое использование окружности в 360° установилось благодаря Гиппарху.

Менелай Александрийский (ок. 100 г. н. э.) написал «Сферику» в трёх книгах. В первой книге он представил основы для сферических треугольников, аналогично «Началам» Евклида. Он представил теорему о конгруэнтности сферических треугольников при равенстве углов и теорему о том, что сумма углов сферического треугольника всегда больше 180°. Вторая книга применяет сферическую геометрию к астрономии. Третья книга содержит «теорему Менелая», известную также как «правило шести величин».

Клавдий Птолемей (90—168 гг. н. э.) в «Альмагесте» расширил гиппарховы «Хорды в окружности». Тринадцать книг «Альмагеста» — самая значимая тригонометрическая работа античности. Центральная теорема в вычислении хорд Птолемея известна как теорема Птолемея. Она влечёт эквивалентность четырёх формул суммы и разности для синуса и косинуса. Позднее Птолемей вывел формулу половинного угла^[3].

Средневековая Индия

Замена хорд синусами стала главным достижением средневековой Индии. Индийские учёные пользовались соотношениями: $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1,$ $\sin \alpha =\cos(90^{\circ }-\alpha ),$ $\sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta .$ Индийцы также знали формулы для кратных углов $\sin n\alpha$ и $\cos n\alpha$ , где $n=2,3,4,5$ .

Первая таблица синусов имеется в «Сурья-сиддханте» и у Ариабхаты. Позднее Бхаскара приводит таблицу синусов через 1°.

Южноиндийские математики, начиная с XIV века, добились больших успехов в суммировании бесконечных рядов. Нилаканта приводит правила разложения арктангенса в бесконечный степенной ряд. В трактате «Каранападдхати» даны правила разложения синуса и косинуса в бесконечные степенные ряды. В Европе к подобным результатам подошли лишь в XVII—XVIII вв.: ряды для синуса и косинуса вывел Исаак Ньютон около 1666 г., а ряд арктангенса был найден Дж. Грегори в 1671 г. и Г. В. Лейбницем в 1673 г.^[4].

Арабский мир

С VIII века учёные Ближнего и Среднего Востока развили тригонометрию предшественников. В середине IX века аль-Хорезми написал сочинение «Зидж ас-Синдхинд», содержавшее первые в исламском мире тригонометрические таблицы синусов и тангенсов. После перевода трактатов мусульманских учёных на латынь многие идеи стали достоянием европейской науки^[5].

Первоначально тригонометрические функции были связаны с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике. Их единственным аргументом является угол (один из острых углов этого треугольника)^[6]^[7]^[8]^[9]

Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс — отношение прилежащего катета к противолежащему.

Секанс — отношение гипотенузы к прилежащему катету.

Косеканс — отношение гипотенузы к противолежащему катету^[10].

Данные определения позволяют вычислить значения функций для острых углов, то есть в интервале от 0° до 90° (от 0 до ${\frac {\pi }{2}}$ радиан). В XVIII веке Эйлер дал современные, более общие определения, расширив область определения этих функций на всю числовую ось^[11].

Рассмотрим в прямоугольной системе координат окружность единичного радиуса (см. рисунок) и отложим от горизонтальной оси угол $\theta$ (если величина угла положительна, то откладываем против часовой стрелки, иначе по часовой стрелке). Точку пересечения построенной стороны угла с окружностью обозначим A. Тогда:

Синус угла $\theta$ определяется как ордината точки A.

Косинус — абсцисса точки A.

Тангенс — отношение синуса к косинусу.

Котангенс — отношение косинуса к синусу (то есть величина, обратная тангенсу).

Секанс — величина, обратная косинусу.

Косеканс — величина, обратная синусу^[10].

Для острых углов новые определения совпадают с прежними. Возможно также чисто аналитическое определение этих функций, которое не связано с геометрией и представляет каждую функцию её разложением в бесконечный ряд^[12].

Свойства функции синус

Область определения функции — множество всех действительных чисел: $D(y)=\mathbb {R}$ . Множество значений — промежуток [−1; 1]: $E(y)=[-1;1]$ . Функция $y=\sin \alpha$ является нечётной: $\sin(-\alpha )=-\sin \alpha$ . Функция периодическая, наименьший положительный период равен $2\pi$ : $\sin(\alpha +2\pi )=\sin \alpha$ .

График функции пересекает ось Ox при $\alpha =\pi n$ , где $n\in \mathbb {Z}$ . Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $\alpha \in (2\pi n;\pi +2\pi n)$ и $y<0$ при $\alpha \in (\pi +2\pi n;2\pi +2\pi n)$ , где $n\in \mathbb {Z}$ . Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента: $(\sin \alpha )'=\cos \alpha$ . Функция $y=\sin \alpha$ возрастает при $\alpha \in \left(-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n;{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)$ и убывает при $\alpha \in \left({\frac {\pi }{2}}+2\pi n;{\frac {3\pi }{2}}+2\pi n\right)$ , где $n\in \mathbb {Z}$ . Функция имеет минимум при $\alpha =-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n$ и максимум при $\alpha ={\frac {\pi }{2}}+2\pi n$ , где $n\in \mathbb {Z}$ ^[13]^[7]^[14]^[15].

Свойства функции косинус

Область определения функции — множество всех действительных чисел: $D(y)=\mathbb {R}$ . Множество значений — промежуток [−1; 1]: $E(y)=[-1;1]$ . Функция $y=\cos \alpha$ является чётной: $\cos(-\alpha )=\cos \alpha$ . Функция периодическая, наименьший положительный период равен $2\pi$ : $\cos(\alpha +2\pi )=\cos \alpha$ .

График функции пересекает ось Ox при $\alpha ={\frac {\pi }{2}}+\pi n$ , где $n\in \mathbb {Z}$ . Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $\alpha \in \left(-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n;{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)$ и $y<0$ при $\alpha \in \left({\frac {\pi }{2}}+2\pi n;{\frac {3\pi }{2}}+2\pi n\right)$ , где $n\in \mathbb {Z}$ . Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента: $(\cos \alpha )'=-\sin \alpha$ . Функция $y=\cos \alpha$ возрастает при $\alpha \in (-\pi +2\pi n;2\pi n)$ и убывает при $\alpha \in (2\pi n;\pi +2\pi n)$ , где $n\in \mathbb {Z}$ . Функция имеет минимум при $\alpha =\pi +2\pi n$ и максимум при $\alpha =2\pi n$ , где $n\in \mathbb {Z}$ ^[16]^[7]^[14]^[15].

Свойства функции тангенса

Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме $\alpha ={\frac {\pi }{2}}+\pi n$ , где $n\in \mathbb {Z}$ : $D(y)=\mathbb {R} \setminus \left\{{\frac {\pi }{2}}+\pi n\mid n\in \mathbb {Z} \right\}$ .

Множество значений — множество всех действительных чисел: $E(y)=\mathbb {R}$ . Функция $y=\operatorname {tg} \alpha$ является нечётной: $\operatorname {tg} (-\alpha )=-\operatorname {tg} \alpha$ .

Функция периодическая, наименьший положительный период равен $\pi$ : $\operatorname {tg} (\alpha +\pi )=\operatorname {tg} \alpha$ .

График функции пересекает ось Ox при $\alpha =\pi n$ , где $n\in \mathbb {Z}$ . Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $\alpha \in (\pi n;{\frac {\pi }{2}}+\pi n)$ и $y<0$ при $\alpha \in (-{\frac {\pi }{2}}+\pi n;\pi n)$ , где $n\in \mathbb {Z}$ . Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента из области определения: $(\operatorname {tg} x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}$ . Функция $y=\operatorname {tg} \alpha$ возрастает при $\alpha \in \left(-{\frac {\pi }{2}}+\pi n;{\frac {\pi }{2}}+\pi n\right)$ , где $n\in \mathbb {Z}$ ^[17]^[7]^[14]^[15].

Свойства функции котангенса

Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме $\alpha =\pi n$ , где $n\in \mathbb {Z}$ : $D(y)=\mathbb {R} \setminus {\pi n\mid n\in \mathbb {Z} }$ . Множество значений — множество всех действительных чисел: $E(y)=\mathbb {R}$ . Функция $y=\operatorname {ctg} \alpha$ является нечётной: $\operatorname {ctg} (-\alpha )=-\operatorname {ctg} \alpha$ . Функция периодическая, наименьший положительный период равен $\pi$ : $\operatorname {ctg} (\alpha +\pi )=\operatorname {ctg} \alpha$ .

График функции пересекает ось Ox при $\alpha ={\frac {\pi }{2}}+\pi n$ , где $n\in \mathbb {Z}$ . Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $\alpha \in (\pi n;{\frac {\pi }{2}}+\pi n)$ и $y<0$ при $\alpha \in ({\frac {\pi }{2}}+\pi n;\pi +\pi n)$ , где $n\in \mathbb {Z}$ . Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента из области определения: $(\operatorname {ctg} x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}$ . Функция $y=\operatorname {ctg} \alpha$ убывает при $\alpha \in (\pi n;\pi +\pi n)$ , где $n\in \mathbb {Z}$ ^[18]^[7]^[14]^[15].

Существует множество областей, в которых применяются тригонометрия и тригонометрические функции. Например, метод триангуляции используется в астрономии для измерения расстояния до ближайших звёзд, в географии для измерения расстояний между объектами, а также в спутниковых навигационных системах. Синус и косинус имеют фундаментальное значение как примеры периодических функций и применяются, например, при описании звуковых и световых волн^[19].

Тригонометрия и тригонометрические функции используются в: астрономии (особенно для расчётов положения небесных объектов, когда требуется сферическая тригонометрия); морской и воздушной навигации; теории музыки и акустике; оптике; анализе финансовых рынков; электронике и электротехнике; теории вероятностей и статистике; биологии и медицинской визуализации (например, компьютерная томография и ультразвук); фармакологии (анализ периодических процессов); химии; теории чисел (следовательно, и в криптологии); сейсмологии; метеорологии; океанографии; физических науках; межевании и геодезии; архитектуре; фонетике; экономике; машиностроении и гражданском строительстве; компьютерной графике; картографии; кристаллографии; разработке игр и многих других областях^[20].

Тождества — это равенства, справедливые при любых значениях входящих в них переменных^[21]^[22]^[23].

Основные тождества

\sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1

1+\operatorname {tg} ^{2}A={\frac {1}{\cos ^{2}A}}=\sec ^{2}A

1+\operatorname {ctg} ^{2}A={\frac {1}{\sin ^{2}A}}=\operatorname {cosec} ^{2}A

^[10].

Формулы приведения

Основные формулы приведения позволяют выразить тригонометрические функции углов вида ${\frac {\pi }{2}}\pm \alpha$ , $\pi \pm \alpha$ , ${\frac {3\pi }{2}}\pm \alpha$ , $2\pi -\alpha$ через функции угла $\alpha$ ^[24]^[7].

Формулы суммы и разности углов

\sin(A\pm B)=\sin A\cos B\pm \cos A\sin B

\cos(A\pm B)=\cos A\cos B\mp \sin A\sin B

\operatorname {tg} (A\pm B)={\frac {\operatorname {tg} A\pm \operatorname {tg} B}{1\mp \operatorname {tg} A\operatorname {tg} B}}

\operatorname {ctg} (A\pm B)={\frac {\operatorname {ctg} A\operatorname {ctg} B\mp 1}{\operatorname {ctg} B\pm \operatorname {ctg} A}}

^[25]^[7].

Формулы двойного угла

\sin 2A=2\sin A\cos A

\cos 2A=\cos ^{2}A-\sin ^{2}A=2\cos ^{2}A-1=1-2\sin ^{2}A

\operatorname {tg} 2A={\frac {2\operatorname {tg} A}{1-\operatorname {tg} ^{2}A}}

^[10].

Формулы половинного угла

\sin ^{2}{\frac {A}{2}}={\frac {1-\cos A}{2}}

\cos ^{2}{\frac {A}{2}}={\frac {1+\cos A}{2}}

\operatorname {tg} {\frac {A}{2}}={\frac {1-\cos A}{\sin A}}={\frac {\sin A}{1+\cos A}}

^[26]^[7].

В следующих тождествах A, B и C являются углами треугольника; a, b, c — длины сторон треугольника, лежащие напротив соответствующих углов^[27].

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Для произвольного треугольника:

{\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R,

где $R$ — радиус окружности, описанной вокруг треугольника^[28]^[7]^[14].

Радиус описанной окружности

Радиус описанной окружности может быть вычислен по формуле:

R={\frac {abc}{4S}},

где $S$ — площадь треугольника. Используя формулу Герона для площади, получаем:

R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}}.

^[10].

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,

или:

\cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.

^[29]^[7].

Теорема тангенсов

{\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\operatorname {tg} \left[{\frac {1}{2}}(A-B)\right]}{\operatorname {tg} \left[{\frac {1}{2}}(A+B)\right]}}

^[10].

Формула Эйлера утверждает, что для любого действительного числа $x$ выполнено следующее равенство:

e^{ix}=\cos x+i\sin x,

где $e$ — основание натурального логарифма, $i$ — мнимая единица^[30]^[31]. Формула Эйлера устанавливает связь между тригонометрическими функциями и показательной функцией комплексного переменного. Она позволяет интерпретировать функции синуса и косинуса как взвешенные суммы экспоненциальной функции:

\cos x=\operatorname {Re} {e^{ix}}={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},

\sin x=\operatorname {Im} {e^{ix}}={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},

где: $\operatorname {Re} z$ — вещественная часть комплексного числа $z$ ; $\operatorname {Im} z$ — мнимая часть комплексного числа $z$ ^[32].

Вышеуказанные уравнения могут быть получены путём сложения или вычитания формул Эйлера:

e^{ix}=\cos x+i\sin x,

e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x,

с последующим решением относительно синуса или косинуса^[33].

Также эти формулы могут служить определением тригонометрических функций комплексной переменной. Например, выполняя подстановку $x=iy$ , получаем:

\cos iy={\frac {e^{-y}+e^{y}}{2}}=\operatorname {ch} y,

\sin iy={\frac {e^{-y}-e^{y}}{2i}}=-{\frac {1}{i}}\cdot {\frac {e^{y}-e^{-y}}{2}}=i\operatorname {sh} y,

где: $\operatorname {ch} y$ (гиперболический косинус) определяется формулой: $\operatorname {ch} y={\frac {e^{y}+e^{-y}}{2}}$ ; $\operatorname {sh} y$ (гиперболический синус) определяется формулой: $\operatorname {sh} y={\frac {e^{y}-e^{-y}}{2}}$ ^[34]^[35]. Комплексные экспоненты позволяют упростить тригонометрические расчёты, поскольку ими проще манипулировать, нежели тригонометрическими функциями. Один из подходов предусматривает преобразование тригонометрических функций в соответствующие экспоненциальные выражения. После упрощения результат выражения остаётся вещественным. Суть другого подхода в представлении тригонометрических функций в качестве вещественных или мнимых частей комплексного выражения и проведении манипуляций непосредственно с комплексным выражением^[32].

$\sin x=a$

Если $|a|>1$ — вещественных решений нет.

Если $|a|\leqslant 1$ — решением является число вида $x=(-1)^{n}\arcsin a+\pi n$ , где $n\in \mathbb {Z}$ .

$\cos x=a$

Если $|a|>1$ — вещественных решений нет.

Если $|a|\leqslant 1$ — решением является число вида $x=\pm \arccos a+2\pi n$ , где $n\in \mathbb {Z}$ .

$\operatorname {tg} x=a$

Решением является число вида $x=\operatorname {arctg} a+\pi n$ , где $n\in \mathbb {Z}$ .

$\operatorname {ctg} x=a$

Решением является число вида $x=\operatorname {arcctg} a+\pi n$ , где $n\in \mathbb {Z}$ ^[36]^[7].

Важным разделом тригонометрии, используемым в астрономии, геодезии, навигации и других отраслях, является сферическая тригонометрия, рассматривающая свойства углов между большими кругами на сфере и дуг этих больших кругов. Геометрия сферы существенно отличается от евклидовой планиметрии; так, сумма углов сферического треугольника, вообще говоря, отличается от 180°, треугольник может состоять из трёх прямых углов. В сферической тригонометрии длины сторон треугольника (дуги больших кругов сферы) выражаются посредством центральных углов, соответствующих этим дугам. Поэтому, например, сферическая теорема синусов выражается в виде:

{\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}},

и существуют две теоремы косинусов, двойственные друг другу^[37].

↑ Советский энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1982.
↑ Boyer, Carl B. A History of Mathematics. — 3nd ed. — N. Y.: John Wiley & Sons, 2011. — С. 162.
↑ Матвиевская Г. П. Становление плоской и сферической тригонометрии. — М. : Знание, 1982. С.5-23
↑ Володарский А. И. Очерки истории индийской математики. — М.: Наука, 1977. — С. 146—172.
↑ Юшкевич А. П. История математики в Средние века. — М.: Физматгиз, 1961. — С. 281—317.
↑ Гельфанд, Тригонометрия, 2002, 15–20.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ¹⁰ ¹¹ Алимов, Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы, 2012.
↑ Шахмейстер, Тригонометрия, 2006, 7-21.
↑ Бермант, Тригонометрия, 1960, 23-33.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Гельфанд, Тригонометрия, 2002.
↑ Гельфанд, Тригонометрия, 2002, 25–30.
↑ Гельфанд, Тригонометрия, 2002, 80–85.
↑ Гельфанд, Тригонометрия, 2002, 35–45.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Шахмейстер, Тригонометрия, 2006.
↑ ¹ ² ³ ⁴ Бермант, Тригонометрия, 1960.
↑ Гельфанд, Тригонометрия, 2002, 45–50.
↑ Гельфанд, Тригонометрия, 2002, 50–55.
↑ Гельфанд, Тригонометрия, 2002, 55–60.
↑ Гельфанд, Тригонометрия, 2002, 120–125.
↑ Гельфанд, Тригонометрия, 2002, 120–130.
↑ Гельфанд, Тригонометрия, 2002, 60–70.
↑ Шахмейстер, Тригонометрия, 2006, 89-35.
↑ Бермант, Тригонометрия, 1960, 33-39.
↑ Гельфанд, Тригонометрия, 2002, 70–75.
↑ Гельфанд, Тригонометрия, 2002, 75–80.
↑ Гельфанд, Тригонометрия, 2002, 85–90.
↑ Бермант, Тригонометрия, 1960, 137-160.
↑ Гельфанд, Тригонометрия, 2002, 90–95.
↑ Гельфанд, Тригонометрия, 2002, 95–100.
↑ Дубровин, Теория функций комплексного переменного (теория и практика), 2010, 45–50.
↑ Волковыский, Сборник задач по теории функций комплексного переменного, 2002, 25–30.
↑ ¹ ² Дубровин, Теория функций комплексного переменного (теория и практика), 2010.
↑ Дубровин, Теория функций комплексного переменного (теория и практика), 2010, 50–55.
↑ Дубровин, Теория функций комплексного переменного (теория и практика), 2010, 55–60.
↑ Волковыский, Сборник задач по теории функций комплексного переменного, 2002, 30–35.
↑ Гельфанд, Тригонометрия, 2002, 100–110.
↑ Вентцель, Сферическая тригонометрия, 1948, 15–25.

На русском языке

Алимов Ш. А. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Просвещение, 2012. — ISBN 978-5-09-026651-2.
Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Тригонометрия. — М.: МЦНМО, 2002. — 199 с. — ISBN 5-94057-050-X.
Бермант А. Ф., Люстерник Л. А. Тригонометрия. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960.
Волковыский Л. И., Лунц Г. Л., Араманович И. Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. — 4-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 312 с. — ISBN 5-9221-0264-8.
Вентцель М. К. Сферическая тригонометрия. — М.: Издательство геодезической литературы, 1948. — 156 с.
Дубровин В. Т. Теория функций комплексного переменного (теория и практика). — Казань: Казанский университет, 2010. — 102 с.
Шахмейстер А. Х. Тригонометрия : пособие для школьников, абитуриентов и учителей / под ред. Б. Г. Зива. — СПб. ; М.: ЧеРо-на-Неве ; Изд-во Моск. ун-та, 2006. — 667 с. — ISBN 5-98712-003-9.

На других языках

Boyer, Carl B. A History of Mathematics (англ.). — 3nd ed. — N. Y.: John Wiley & Sons, 2011.
Eves, Howard. An Introduction to the History of Mathematics (англ.). — 2th ed. — Belmont: Brooks/Cole, 1969.

[1] Советский энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1982.

[2] Boyer, Carl B. A History of Mathematics. — 3nd ed. — N. Y.: John Wiley & Sons, 2011. — С. 162.

[3] Матвиевская Г. П. Становление плоской и сферической тригонометрии. — М. : Знание, 1982. С.5-23

[4] Володарский А. И. Очерки истории индийской математики. — М.: Наука, 1977. — С. 146—172.

[5] Юшкевич А. П. История математики в Средние века. — М.: Физматгиз, 1961. — С. 281—317.

[_8741693c7a1ce066-6] Гельфанд, Тригонометрия, 2002, 15–20.

[_6f5f65718938188b-7] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ¹⁰ ¹¹ Алимов, Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы, 2012.

[_f7b22e3dc0146b77-8] Шахмейстер, Тригонометрия, 2006, 7-21.

[_668ee98c2b3d491c-9] Бермант, Тригонометрия, 1960, 23-33.

[_596800a59185b0c5-10] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Гельфанд, Тригонометрия, 2002.

[_cf63ec8e62ae424e-11] Гельфанд, Тригонометрия, 2002, 25–30.

[_152688055e811c4b-12] Гельфанд, Тригонометрия, 2002, 80–85.

[_91882b4ebae6c17b-13] Гельфанд, Тригонометрия, 2002, 35–45.

[_cc55c49ce1b59da4-14] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Шахмейстер, Тригонометрия, 2006.

[_b4ad866d852f97a0-15] ¹ ² ³ ⁴ Бермант, Тригонометрия, 1960.

[_322ff64fabc2d712-16] Гельфанд, Тригонометрия, 2002, 45–50.

[_618205504a5c3e89-17] Гельфанд, Тригонометрия, 2002, 50–55.

[_5d2316597d1184b6-18] Гельфанд, Тригонометрия, 2002, 55–60.

[_c10455712522ba81-19] Гельфанд, Тригонометрия, 2002, 120–125.

[_b8554827dd28dfa7-20] Гельфанд, Тригонометрия, 2002, 120–130.

[_35b9cf93a4fbbafd-21] Гельфанд, Тригонометрия, 2002, 60–70.

[_5662a166fb38a8f2-22] Шахмейстер, Тригонометрия, 2006, 89-35.

[_70af2b36d55a4dfb-23] Бермант, Тригонометрия, 1960, 33-39.

[_0c26a6da87910d31-24] Гельфанд, Тригонометрия, 2002, 70–75.

[_a7724c1899d5db32-25] Гельфанд, Тригонометрия, 2002, 75–80.

[_e9e70fe5087c69da-26] Гельфанд, Тригонометрия, 2002, 85–90.

[_4f6a2f6313a02fbb-27] Бермант, Тригонометрия, 1960, 137-160.

[_36c38a32ed822b31-28] Гельфанд, Тригонометрия, 2002, 90–95.

[_bdc501908835f08d-29] Гельфанд, Тригонометрия, 2002, 95–100.

[_cf16fde7240b0170-30] Дубровин, Теория функций комплексного переменного (теория и практика), 2010, 45–50.

[_03e4fabad3a1def4-31] Волковыский, Сборник задач по теории функций комплексного переменного, 2002, 25–30.

[_ce099f5af878d7d7-32] ¹ ² Дубровин, Теория функций комплексного переменного (теория и практика), 2010.

[_5f0d199ff8f693e7-33] Дубровин, Теория функций комплексного переменного (теория и практика), 2010, 50–55.

[_f4185cab0bc3aa78-34] Дубровин, Теория функций комплексного переменного (теория и практика), 2010, 55–60.

[_d2a3482402e68c0f-35] Волковыский, Сборник задач по теории функций комплексного переменного, 2002, 30–35.

[_bd20cccf3ee7d473-36] Гельфанд, Тригонометрия, 2002, 100–110.

[_e3c011bc5d12974e-37] Вентцель, Сферическая тригонометрия, 1948, 15–25.

[1]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

Ссылки на внешние ресурсы
Словари и энциклопедии	Большая датская Большая каталанская Большая российская (старая версия) Большая российская (научно-образовательный портал) Брокгауза и Ефрона Кругосвет Малый Брокгауза и Ефрона Britannica (онлайн) Treccani
В библиографических каталогах	BNF: 119384742 J9U: 987007548881205171 LCCN: sh85137519 NDL: 00570153 NKC: ph126744

Тригонометрия
Общее	Обзор тригонометрии История Использование Функции Обратные Редко используемые Обобщённая тригонометрия
Справочник	Тождества Точные константы Таблицы Единичная окружность
Законы и теоремы	Теорема синусов Теорема Пифагора Теорема косинусов Теорема тангенсов Теорема котангенсов Решение треугольников
Математический анализ	Тригонометрическая подстановка Интегралы (обратные функции) Производные

Тригонометрия

История

Древняя Греция

Средневековая Индия

Арабский мир

Определение тригонометрических функций

Свойства тригонометрических функций

Свойства функции синус

Свойства функции косинус

Свойства функции тангенса

Свойства функции котангенса

Применение тригонометрии

Основные тригонометрические тождества

Основные тождества

Формулы приведения

Формулы суммы и разности углов

Формулы двойного угла

Формулы половинного угла