Теорема Ролля

Теорема Ролля — теорема математического анализа, утверждающая, что если дифференцируемая функция принимает равные значения на концах отрезка, то внутри этого отрезка найдётся хотя бы одна точка, в которой её производная равна нулю.

Доказательство рассматривает два случая: если функция постоянна на отрезке, то производная равна нулю во всех точках. В противном случае, по теореме Вейерштрасса функция достигает наибольшего или наименьшего значения внутри интервала, что даёт точку локального экстремума, где по лемме Ферма производная обращается в нуль.

Теорема Ролля имеет наглядную геометрическую интерпретацию: если функция принимает равные значения на концах отрезка, то найдётся точка, где касательная параллельна оси абсцисс. Физически это соответствует тому, что тело, вернувшееся в исходную точку, в некоторый момент имело нулевую скорость.

Каждое условие теоремы Ролля — непрерывность на отрезке, дифференцируемость на интервале и равенство значений на концах — существенно. При нарушении любого из них существует контрпример, где заключение теоремы не выполняется.

Между двумя нулями дифференцируемой функции лежит хотя бы один нуль её производной. Если все корни многочлена действительны, то корни всех его производных также действительны. Теорема Лагранжа обобщает теорему Ролля: на отрезке найдётся точка с касательной, параллельной секущей.

Теорема Ро́лля (теорема о нуле производной) — теорема математического анализа, входящая, вместе с теоремами Лагранжа и Коши, в число так называемых «теорем о среднем значении». Теорема утверждает, что

Если вещественная функция, непрерывная на отрезке $[a,b]$ и дифференцируемая на интервале $(a,b)$ , принимает на концах отрезка $[a,b]$ одинаковые значения, то на интервале $(a,b)$ найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.

Если же нет, поскольку функция непрерывна на $[a,b]$ , то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по лемме Ферма производная в этой точке равна 0.

С геометрической точки зрения теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.

Механический смысл теоремы в том, что тело, вернувшееся в исходную точку, в некоторый момент в ходе своего движения имело нулевую скорость.

Все условия теоремы: непрерывность функции на отрезке, дифференцируемость на интервале и равенство значений на концах отрезка - существенны. При исключении каждого из этих условий легко подобрать контрпример, свидетельствующий, что заключение теоремы становится неверным.

1° Если дифференцируемая функция обращается в нуль в $n$ различных точках, то её производная обращается в нуль по крайней мере в $n-1$ различных точках^[1], причем эти нули производной лежат в выпуклой оболочке нулей исходной функции. Это следствие легко проверяется для случая действительных корней, однако имеет место и в комплексном случае.

2° Если все корни многочлена $n$ -ой степени действительные, то и корни всех его производных до $n-1$ включительно — также исключительно действительные.

3° (Теорема Лагранжа) Дифференцируемая функция на отрезке между двумя своими точками имеет касательную, параллельную секущей/хорде, проведённой через эти две точки.

↑ Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. — Численные методы, стр.43

Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. — М.: «Наука», 1962. — Т. 1. — С. 225. — 607 с.

[1] Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. — Численные методы, стр.43

[1]

Теорема Ролля

Доказательство

Геометрический и физический (механический) смысл

Существенность условий теоремы и соответствующие контрпримеры

Следствия

См. также

Примечания

Литература

Категории