Теорема Коши о среднем значении

Пусть даны две функции ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ такие, что:

1. ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ определены и непрерывны на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$;
2. производные ${\displaystyle f'(x)}$ и ${\displaystyle g'(x)}$ определены и конечны на интервале ${\displaystyle (a,b)}$;
3. производная ${\displaystyle g'(x)}$ не обращается в нуль на интервале ${\displaystyle (a,b)}$ (значит, по теореме Ролля, ${\displaystyle g(a)\neq g(b)}$).

Тогда существует ${\displaystyle \xi \in (a,b)}$, для которой верно:

${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}.}$

Для доказательства введём функцию

${\displaystyle \varphi (x)={\big (}f(b)-f(a){\big )}{\big (}g(x)-g(a){\big )}-{\big (}g(b)-g(a){\big )}{\big (}f(x)-f(a){\big )}.}$

Легко видеть, что для неё выполнены условия теоремы Ролля. Воспользовавшись этой теоремой, получим, что существует точка ${\displaystyle \xi \in (a,b)}$, в которой производная функции ${\displaystyle \varphi }$ равна нулю:

${\displaystyle \varphi '(\xi )={\big (}f(b)-f(a){\big )}g'(\xi )-{\big (}g(b)-g(a){\big )}f'(\xi )=0.}$

Перенеся в этом равенстве второе слагаемое вправо мы получим формулу из наиболее общей формулировки теоремы.

В оригинальной формулировке остаётся разделить равенство на ${\displaystyle g'(\xi )}$ и ${\displaystyle g(b)-g(a)}$. Оба эти числа будут ненулевыми и при ослаблении требования 3 до отсутствия общих нулей у ${\displaystyle f'(x)}$ и ${\displaystyle g'(x)}$: для ${\displaystyle g(b)-g(a)}$ это требуется явно, а если ${\displaystyle g'(\xi )=0}$, то

${\displaystyle {\big (}g(b)-g(a){\big )}f'(\xi )=0}$.

Но, так как ${\displaystyle g(a)\neq g(b)}$, отсюда следует, что ${\displaystyle f'(\xi )=0}$ — противоречие с условием.