Равномерная сходимость

Пусть $X$ — произвольное множество, $Y=(Y,d)$ — метрическое пространство, $f_{n}\colon X\to Y,\ n=1,2,\dots$ — последовательность функций. Говорят, что последовательность $f_{n}$ равномерно сходится к функции $f\colon X\to Y$, если для любого $\varepsilon >0$ существует такой номер $N_{\varepsilon }$, что для всех номеров $n>N_{\varepsilon }$ и всех точек $x\in X$ выполняется неравенство

$\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon$

Обычно обозначается $f_{n}\rightrightarrows f$.

Это условие равносильно тому, что

$\lim _{n\to \infty }\sup _{x\in X}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=0.$

Свойства

• Если $Y$ — линейное нормированное пространство и последовательности отображений $f_{n}\colon X\to Y$ и $g_{n}\colon X\to Y$, $n=1,2,\dots$ равномерно сходятся на множестве $X$, то последовательности $\{f_{n}+g_{n}\}$ и $\{\alpha f_{n}\}$ при любых $\alpha \in \mathbb {R}$ также равномерно сходятся на $X$.

• Для вещественнозначных функций (или, более общо, если $Y$ — линейное нормированное кольцо), последовательность отображений $f_{n}\colon X\to \mathbb {R}$, равномерно сходится на множестве $X$ и $g\colon X\to \mathbb {R}$ ограниченное отображение, то последовательность $\{gf_{n}\}$ также равномерно сходится на $X$.

• Если $X$ — топологическое пространство, $Y$ — метрическое пространство и последовательность непрерывных в точке $x_{0}\in X$ отображений $f_{n}\colon X\to Y$ равномерно сходится на множестве $X$ к отображению $f\colon X\to Y$, то это отображение также непрерывно в точке $x_{0}$.

• Если последовательность интегрируемых по Риману (по Лебегу) функций $f_{n}\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ равномерно сходится на отрезке $[a,b]$ к функции $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$, то эта функция также интегрируема по Риману (соответственно по Лебегу), и для любого $x\in [a,b]$ имеет место равенство
      $\lim _{n\to \infty }\int \limits _{a}^{x}f_{n}(t)dt=\int \limits _{a}^{x}f(t)dt$
  и сходимость последовательности функций
      $x\mapsto \int \limits _{a}^{x}f_{n}(t)dt$
  на отрезке $[a,b]$ к функции
      $x\mapsto \int \limits _{a}^{x}f(t)dt$
  равномерна.

• Если последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке $[a,b]$ функций $f_{n}\colon [a,b]\to \mathbb {R}$, сходится в некоторой точке $x_{0}$, a последовательность их производных равномерно сходится на $[a,b]$, то последовательность $\{f_{n}\}$ также равномерно сходится на $[a,b]$, её предел является непрерывно дифференцируемой на этом отрезке функцией.

Литература

• Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977.
• Колмогоров А. Н., Фомин С . В. Элементы теории функций и функционального анализа. 5-е изд., М., 1981.
• Келли Дж. Л. Общая топология. 2-е изд., М., 1951.
• Медведев Ф. А. К истории понятия равномерной сходимости рядов. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1974. — № 19. — С. 75-93.