Дифференциальная геометрия

Дифференциальная геометрия возникла и развивалась в тесной связи с математическим анализом, который сам в значительной степени вырос из задач геометрии. Многие геометрические понятия предшествовали соответствующим понятиям анализа. Так, например, понятие касательной предшествовало понятию производной, понятие площади и объёма — понятию интеграла.

Возникновение дифференциальной геометрии относится к XVIII веку и связано с именами Эйлера и Монжа. Первое сводное сочинение по теории поверхностей написано Монжем («Приложение анализа к геометрии», 1795). В 1827 году Гаусс опубликовал работу «Общее исследование о кривых поверхностях», в которой заложил основы теории поверхностей в её современном виде. С тех пор дифференциальная геометрия перестала быть только приложением анализа и заняла самостоятельное место в математике.

Огромную роль в развитии всей геометрии, в том числе и дифференциальной геометрии, сыграло открытие неевклидовой геометрии. Риман в своей лекции «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» (1854) заложил основы римановой геометрии, наиболее развитой части современной дифференциальной геометрии.

Теоретико-групповая точка зрения Клейна, изложенная в его «Эрлангенской программе» (1872), то есть: геометрия — учение об инвариантах групп преобразований, в применении к дифференциальной геометрии была развита Картаном, который построил теорию пространств проективной связности и аффинной связности.

В отличие от дифференциальной геометрии, дифференциальная топология как самостоятельный раздел оформилась лишь в начале XX века.

Во второй половине XX века оформился отдельный круг исследований по финслеровой геометрии — обобщению римановой, где метрическая функция зависит от направления в касательных пространствах^[1][2]. Финслеровы методы находят применения и в физике^[3]. В рамках этого направления в СССР и России развивались физические приложения финслеровой геометрии; в частности, Г. С. Асанов ввёл «финслероидные» метрики и исследовал их использование в релятивистской физике. Общее изложение он представил в монографии 1985 года^[4], а дальнейшее развитие и отклики представлены в последующих публикациях^[5][6], включая космологические модели.