Формула Герона

Фо́рмула Герона — формула для вычисления площади треугольника $S$ по длинам его сторон $a,b,c$ :

S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}

,

где $p$ — полупериметр треугольника: $p={\tfrac {1}{2}}\cdot (a+b+c)$ .

Формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I век н. э.) и названа в его честь (хотя она была известна ещё Архимеду). Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми, такие треугольники носят название героновых, простейшим героновым треугольником является египетский треугольник.

Доказательство 1 (тригонометрическое):

S={1 \over 2}ab\cdot \sin {\gamma }

,

где $\ \gamma$ — угол треугольника, противолежащий стороне $c$ . По теореме косинусов:

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma .

Отсюда:

\cos \gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} \over 2ab}.

Значит,

\ \sin ^{2}\gamma =1-\cos ^{2}\gamma =(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )=

={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} \over 2ab}\cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}} \over 2ab}=

={{c^{2}-(a-b)^{2}} \over 2ab}\cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} \over 2ab}={1 \over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)

.

Замечая, что: $a+b+c=2p$ , $a+b-c=2p-2c$ , $a+c-b=2p-2b$ , $c-a+b=2p-2a$ , получаем:

\sin \gamma ={2 \over ab}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.

Таким образом,

S={1 \over 2}ab\sin \gamma ={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},

ч.т.д.

Доказательство 2 (на основе теоремы Пифагора):

Треугольник со сторонами a, b, c и высотой h, разделяющей основание c на d и (c − d)

По теореме Пифагора имеем следующие равенства для гипотенуз: a² = h² + (c − d)² и b² = h² + d² — см. рисунок справа. Вычитая из первого равенства второе, получаем: a² − b² = c² − 2cd. Это уравнение позволяет нам выразить d через стороны треугольника:

d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}.

Для высоты h у нас было равенство: h² = b² − d², в которое можно подставить полученное выражение для d и применить формулы для квадратов:

{\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {((b+c)^{2}-a^{2})(a^{2}-(b-c)^{2})}{4c^{2}}}={\frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\\\end{aligned}}.

Замечая, что: $b+c-a=2p-2a$ , $a+b+c=2p$ , $a+b-c=2p-2c$ , $a-b+c=2p-2b$ , получаем:

{\begin{aligned}h^{2}&={\frac {2(p-a)\cdot 2p\cdot 2(p-c)\cdot 2(p-b)}{4c^{2}}}={\frac {4p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^{2}}}\end{aligned}}.

Используя основное равенство для площади треугольника: $S={\frac {ch}{2}}$ и подставляя в него полученное выражение для h, в итоге имеем:

{\begin{aligned}S={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^{2}}}}}={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}\end{aligned}}

ч.т.д.

Выразив полупериметр через полусумму всех сторон данного треугольника, можно получить четыре эквивалентные формулы Герона:
$S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$ ,

$S={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$ ,

$S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}$ ,

$S={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}.$

Формулу Герона можно записать с помощью определителя в виде^[1]:
$-16S^{2}={\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a&b&c&0\\b&a&0&c\\c&0&a&b\\0&c&b&a\end{vmatrix}}$ .

Первый определитель последней формулы является частным случаем определителя Кэли — Менгера для вычисления гиперобъёма симплекса.

Ряд формул для площади треугольника сходен по структуре формуле Герона, но выражается через другие параметры треугольника. Например, через длины медиан $m_{a}$ , $m_{b}$ и $m_{c}$ и их полусумму $\sigma =(m_{a}+m_{b}+m_{c})/2$ ^[2]:
$S={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}$ ;

через длины высот

h_{a}

,

h_{b}

и

h_{c}

и полусумму их обратных величин

H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2

^[3]:

S^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}

;

через углы треугольника

\alpha

,

\beta

и

\gamma

, полусумму их синусов

s=(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma )/2

и диаметр описанной окружности

D={\tfrac {a}{\sin \alpha }}={\tfrac {b}{\sin \beta }}={\tfrac {c}{\sin \gamma }}

^[4]:

S=D^{2}{\sqrt {s(s-\sin \alpha )(s-\sin \beta )(s-\sin \gamma )}}.

Площадь вписанного в окружность четырёхугольника вычисляется по формуле Брахмагупты:
$S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}$ ,

где

p={\frac {a+b+c+d}{2}}

— полупериметр четырёхугольника; в данном случае треугольник оказывается предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю. Та же формула Брахмагупты через определитель^[5]:

S={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatrix}}}}

.

Для тетраэдров верна формула Герона — Тартальи, которая обобщена также на случай других многогранников (изгибаемые многогранники): если у тетраэдра длины рёбер равны $l_{1},l_{2},l_{3},l_{4},l_{5},l_{6}$ , то для его объёма $V$ верно выражение:
${\begin{aligned}144V^{2}=\;\;&l_{1}^{2}l_{5}^{2}(l_{2}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{6}^{2}-l_{1}^{2}-l_{5}^{2})\\+&l_{2}^{2}l_{6}^{2}(l_{1}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{5}^{2}-l_{2}^{2}-l_{6}^{2})\\+&l_{3}^{2}l_{4}^{2}(l_{1}^{2}+l_{2}^{2}+l_{5}^{2}+l_{6}^{2}-l_{3}^{2}-l_{4}^{2})\\-&l_{1}^{2}l_{2}^{2}l_{4}^{2}-l_{2}^{2}l_{3}^{2}l_{5}^{2}-l_{1}^{2}l_{3}^{2}l_{6}^{2}-l_{4}^{2}l_{5}^{2}l_{6}^{2}\end{aligned}}$ .

Формула Герона — Тартальи может быть выписана для тетраэдра в явном виде: если $U$ , $V$ , $W$ , $u$ , $v$ , $w$ являются длинами рёбер тетраэдра (первые три из них образуют треугольник; и, например, ребро $u$ противоположно ребру $U$ и так далее), тогда справедливы формулы^[6]^[7]:
${\text{V}}={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+d)\,(a+b+c-d)}}{192\,u\,v\,w}}$ ,

где:

{\begin{aligned}a&={\sqrt {xYZ}}\\b&={\sqrt {yZX}}\\c&={\sqrt {zXY}}\\d&={\sqrt {xyz}}\\X&=(w-U+v)\,(U+v+w)\\x&=(U-v+w)\,(v-w+U)\\Y&=(u-V+w)\,(V+w+u)\\y&=(V-w+u)\,(w-u+V)\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v)\\z&=(W-u+v)\,(u-v+W)\end{aligned}}

По теореме Люилье площадь сферического треугольника выражается через его стороны $\theta _{a}={\frac {a}{R}},\theta _{b}={\frac {b}{R}},\theta _{c}={\frac {c}{R}}$ как:
$S=4R^{2}\,\operatorname {arctg} {\sqrt {\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}}$ ,

где

\theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}

— полупериметр.

§ 258 в А. П. Киселёв, Геометрия по Киселёву, arΧiv:1806.06942 [math.HO].
Николаев Н. О площади треугольника (рус.) // В.О.Ф.Э.М.. — 1890. — № 108. — С. 227—228.
Raifaizen, Claude H. A Simpler Proof of Heron's Formula (англ.) // Mathematics Magazine : magazine. — 1971. — Vol. 44. — P. 27—28. — доказательство формулы Герона на основе теоремы Пифагора

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Треугольник
Виды треугольников	Прямоугольный Равнобедренный Равносторонний Равнобедренный прямоугольный
Замечательные линии в треугольнике	Медиана Высота Биссектриса Серединный перпендикуляр Средняя линия Описанная и вписанная окружности Прямая Симсона Прямая Эйлера Симедиана Чевиана
Замечательные точки треугольника	Ортоцентр Центроид Инцентр Точка Брокара Точка Вектена Точка Жергонна Точка Лемуана Точка Микеля Точка Нагеля Точки Наполеона Точки Торричелли Центр окружности девяти точек Центр Шпикера Энциклопедия центров треугольника
Основные теоремы	Неравенство треугольника Признаки подобия треугольников Решение треугольников Теорема о внешнем угле треугольника Теорема о сумме углов треугольника Теорема Пифагора Теорема косинусов Теорема синусов Теорема о проекциях Формула Герона
Дополнительные теоремы	Теорема Ван-Обеля Теорема Менелая Теорема Ройшле (Теркема) Теорема Стюарта Теорема тангенсов Теорема котангенсов Теорема Чевы Формулы Мольвейде
Обобщения	Сферический треугольник Гиперболический треугольник Симплекс

Формула Герона

Вариации и обобщения

Примечания

Литература