Непрерывная функция

Представим, что мы наблюдаем за температурой воздуха в течение дня. Температура меняется плавно: она не может мгновенно «перепрыгнуть» с +10°C до +25°C, не пройдя через все промежуточные значения. Это и есть пример непрерывного процесса. Функция, описывающая такой процесс, является непрерывной.

Напротив, если рассмотреть стоимость проезда в зависимости от расстояния, где цена меняется скачкообразно (например, при переходе из одной тарифной зоны в другую), то такая функция непрерывной не является — она имеет разрывы.

Функция ${\displaystyle f}$ называется непрерывной в точке ${\displaystyle x_{0}}$, если:

1. Функция ${\displaystyle f}$ определена в точке ${\displaystyle x_{0}}$ и в некоторой её окрестности.
2. Существует предел функции ${\displaystyle f(x)}$ при ${\displaystyle x\to x_{0}}$.
3. Этот предел равен значению функции в данной точке:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0}).}$

Определение по Гейне (или определение на «языке последовательностей»): функция ${\displaystyle f}$ непрерывна в точке ${\displaystyle x_{0}}$, если для любой последовательности ${\displaystyle \{x_{n}\}}$, сходящейся к ${\displaystyle x_{0}}$, соответствующая последовательность значений ${\displaystyle \{f(x_{n})\}}$ сходится к ${\displaystyle f(x_{0})}$:

${\displaystyle x_{n}\to x_{0}\implies f(x_{n})\to f(x_{0}).}$ ^[3][4]

Функция ${\displaystyle f}$ называется непрерывной в точке ${\displaystyle x_{0}}$, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует такое ${\displaystyle \delta >0}$, что для всех ${\displaystyle x}$ из области определения, удовлетворяющих условию ${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta }$, выполняется неравенство:

${\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .}$

Формально:

${\displaystyle \forall \,\varepsilon >0\ \ \exists \,\delta >0\colon \ \forall \,x\ {\bigl (}|x-x_{0}|<\delta \implies |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon {\bigr )}.}$

Смысл этого определения таков: как бы мала ни была допустимая «погрешность» ${\displaystyle \varepsilon }$ по значениям функции, всегда можно найти достаточно малую окрестность точки ${\displaystyle x_{0}}$ (радиуса ${\displaystyle \delta }$), в которой значения функции отличаются от ${\displaystyle f(x_{0})}$ менее чем на ${\displaystyle \varepsilon }$^[5][6].

'Определения непрерывности по Коши и по Гейне эквивалентны. Если выполняется определение по Коши, то выполняется и определение по Гейне. Итак, ${\displaystyle f}$ определена в некоторой окрестности точки ${\displaystyle a}$ и

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x,\ \rho _{M}(x,a)<\delta :\quad \rho (f(x),f(a))<\varepsilon .}$

Возьмём последовательность ${\displaystyle x_{n}\to a}$, тогда ${\displaystyle \forall \delta >0\ \exists N\ \forall n>N:\quad \rho (x_{n},a)<\delta }$. Но тогда в силу написанного выше ${\displaystyle \forall n>N:\quad \rho (f(x_{n}),f(a))<\varepsilon }$ и, значит, ${\displaystyle f(x_{n})\to f(a)}$. Определение по Гейне выполняется.

Покажем теперь, что если выполняется определение по Гейне, то выполняется и определение по Коши. В силу замечания к определению по Коши при этом можно ограничиться случаем, когда ${\displaystyle a}$ — предельная точка ${\displaystyle M}$. Так как для любой последовательности ${\displaystyle x_{n}\neq a}$, ${\displaystyle x_{n}\to a}$, последовательность ${\displaystyle f(x_{n})\to f(a)}$, то ${\displaystyle \lim \limits _{x\to a}f(x)=f(a)}$, а значит, ${\displaystyle f}$ непрерывна в точке ${\displaystyle a}$ и по Коши. ${\displaystyle \blacksquare }$ ^[7]

Пусть ${\displaystyle \Delta x=x-x_{0}}$ — приращение аргумента, а ${\displaystyle \Delta f=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}$ — приращение функции. Тогда функция ${\displaystyle f}$ непрерывна в точке ${\displaystyle x_{0}}$, если:

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}\Delta f=0,}$

то есть бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции^[8][9].

Функция называется непрерывной на множестве ${\displaystyle D}$, если она непрерывна в каждой точке этого множества. В частности:

• Непрерывная на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ — функция, непрерывная во всех внутренних точках интервала ${\displaystyle (a,b)}$, непрерывная справа в точке ${\displaystyle a}$ и непрерывная слева в точке ${\displaystyle b}$.
• Непрерывная на интервале ${\displaystyle (a,b)}$ — функция, непрерывная в каждой точке этого интервала^[10].

Функция ${\displaystyle f}$ называется непрерывной справа в точке ${\displaystyle x_{0}}$, если:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}+}f(x)=f(x_{0}),}$

и непрерывной слева в точке ${\displaystyle x_{0}}$, если:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}-}f(x)=f(x_{0}).}$

Функция непрерывна в точке ${\displaystyle x_{0}}$ тогда и только тогда, когда она одновременно непрерывна справа и слева в этой точке^[11].

В общей топологии понятие непрерывности обобщается на произвольные топологические пространства.

Пусть ${\displaystyle (X,\tau _{X})}$ и ${\displaystyle (Y,\tau _{Y})}$ — топологические пространства. Отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ называется непрерывным, если прообраз любого открытого множества в ${\displaystyle Y}$ является открытым множеством в ${\displaystyle X}$:

${\displaystyle \forall \,U\in \tau _{Y}\colon \ f^{-1}(U)\in \tau _{X}.}$

Эквивалентно: прообраз любого замкнутого множества замкнут^[12].

Для метрических пространств это определение сводится к обобщённому определению через ${\displaystyle \varepsilon }$-${\displaystyle \delta }$:

${\displaystyle \forall \,\varepsilon >0\ \ \exists \,\delta >0\colon \ d_{X}(x,x_{0})<\delta \implies d_{Y}{\bigl (}f(x),\,f(x_{0}){\bigr )}<\varepsilon .}$

• Постоянная функция: ${\displaystyle f(x)=c}$ непрерывна на всей числовой прямой, так как ${\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|=|c-c|=0<\varepsilon }$ для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$.
• Линейная функция: ${\displaystyle f(x)=kx+b}$ непрерывна на ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Для заданного ${\displaystyle \varepsilon >0}$ достаточно взять ${\displaystyle \delta =\varepsilon /|k|}$ (при ${\displaystyle k\neq 0}$; при ${\displaystyle k=0}$ подходит любое ${\displaystyle \delta }$).
• Многочлены: любой многочлен ${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}$ непрерывен на ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• Тригонометрические функции: ${\displaystyle \sin x}$, ${\displaystyle \cos x}$ непрерывны на ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• Показательная функция: ${\displaystyle f(x)=a^{x}}$ (при ${\displaystyle a>0}$) непрерывна на ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• Логарифмическая функция: ${\displaystyle f(x)=\log _{a}x}$ (при ${\displaystyle a>0}$, ${\displaystyle a\neq 1}$) непрерывна на ${\displaystyle (0,+\infty )}$^[13][14].

• Функция знака (сигнум):

${\displaystyle \operatorname {sgn} (x)={\begin{cases}-1,&x<0,\\0,&x=0,\\1,&x>0.\end{cases}}}$

Эта функция имеет разрыв первого рода в точке ${\displaystyle x=0}$.

• Функция Дирихле:

${\displaystyle D(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} ,\\0,&x\notin \mathbb {Q} .\end{cases}}}$

Разрывна в каждой точке числовой прямой.

• Функция целой части ${\displaystyle f(x)=\lfloor x\rfloor }$: имеет разрывы первого рода во всех целых точках.

• Функция ${\displaystyle f(x)=\sin {\frac {1}{x}}}$ при ${\displaystyle x\neq 0}$: непрерывна при всех ${\displaystyle x\neq 0}$, но не может быть непрерывно доопределена в точке ${\displaystyle x=0}$ (предел при ${\displaystyle x\to 0}$ не существует, разрыв второго рода)^[15].

Если функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ непрерывны в точке ${\displaystyle x_{0}}$, то:

1. Сумма: ${\displaystyle f(x)+g(x)}$ непрерывна в ${\displaystyle x_{0}}$.
2. Разность: ${\displaystyle f(x)-g(x)}$ непрерывна в ${\displaystyle x_{0}}$.
3. Произведение: ${\displaystyle f(x)\cdot g(x)}$ непрерывно в ${\displaystyle x_{0}}$.
4. Частное: ${\displaystyle {\dfrac {f(x)}{g(x)}}}$ непрерывно в ${\displaystyle x_{0}}$, при условии ${\displaystyle g(x_{0})\neq 0}$.
5. Умножение на константу: ${\displaystyle c\cdot f(x)}$ непрерывно в ${\displaystyle x_{0}}$ для любой константы ${\displaystyle c}$.

Отсюда следует, что множество непрерывных функций на данном множестве образует алгебру над полем действительных (или комплексных) чисел, а относительно сложения и умножения — коммутативное кольцо^[16].

Если функция ${\displaystyle g}$ непрерывна в точке ${\displaystyle x_{0}}$, а функция ${\displaystyle f}$ непрерывна в точке ${\displaystyle g(x_{0})}$, то композиция ${\displaystyle f\circ g}$ (то есть ${\displaystyle f(g(x))}$) непрерывна в точке ${\displaystyle x_{0}}$.

Это свойство позволяет строить сложные непрерывные функции из простых. Например, функция ${\displaystyle e^{\sin x}}$ непрерывна как композиция непрерывных функций ${\displaystyle e^{t}}$ и ${\displaystyle \sin x}$ ^[17].

Если функция ${\displaystyle f}$ непрерывна в точке ${\displaystyle x_{0}}$ и ${\displaystyle f(x_{0})\neq 0}$, то:

• Существует окрестность точки ${\displaystyle x_{0}}$, в которой ${\displaystyle f}$ сохраняет знак, то есть ${\displaystyle f(x)}$ имеет тот же знак, что и ${\displaystyle f(x_{0})}$ (теорема о сохранении знака).
• Функция ограничена в некоторой окрестности точки ${\displaystyle x_{0}}$, то есть существуют ${\displaystyle M>0}$ и ${\displaystyle \delta >0}$ такие, что ${\displaystyle |f(x)|\leq M}$ при ${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta }$^[18].

Особое значение имеют свойства функций, непрерывных на замкнутом отрезке ${\displaystyle [a,b]}$. Для таких функций справедлив ряд фундаментальных теорем.

Первая теорема Вейерштрасса. Если функция ${\displaystyle f}$ непрерывна на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, то она ограничена на этом отрезке, то есть существует число ${\displaystyle M>0}$ такое, что ${\displaystyle |f(x)|\leq M}$ для всех ${\displaystyle x\in [a,b]}$.

Вторая теорема Вейерштрасса. Если функция ${\displaystyle f}$ непрерывна на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, то она достигает своих наибольшего и наименьшего значений, то есть существуют точки ${\displaystyle x_{\min },x_{\max }\in [a,b]}$ такие, что:

${\displaystyle f(x_{\min })\leq f(x)\leq f(x_{\max })}$

для всех ${\displaystyle x\in [a,b]}$^[19].

На открытом интервале или на неограниченном множестве теорема Вейерштрасса, вообще говоря, неверна. Например, ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ непрерывна на ${\displaystyle (0,1)}$, но не ограничена и не достигает максимума.

Если функция ${\displaystyle f}$ непрерывна на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ и принимает в его концах значения разных знаков (то есть ${\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0}$), то существует хотя бы одна точка ${\displaystyle c\in (a,b)}$, в которой ${\displaystyle f(c)=0}$.

Более общая формулировка: если ${\displaystyle f}$ непрерывна на ${\displaystyle [a,b]}$ и ${\displaystyle C}$ — любое число между ${\displaystyle f(a)}$ и ${\displaystyle f(b)}$, то существует точка ${\displaystyle c\in [a,b]}$ такая, что ${\displaystyle f(c)=C}$.

Геометрический смысл: график непрерывной функции, соединяющий точки по разные стороны от оси ${\displaystyle Ox}$, обязательно пересекает эту ось.

Следствие: множество значений непрерывной функции на отрезке является отрезком ${\displaystyle [m,M]}$, где ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle M}$ — наименьшее и наибольшее значения функции (свойство связности образа)^[20][21].

Если функция ${\displaystyle f}$ непрерывна и строго монотонна на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, то:

1. Существует обратная функция ${\displaystyle f^{-1}}$, определённая на отрезке ${\displaystyle [f(a),f(b)]}$ (или ${\displaystyle [f(b),f(a)]}$, если ${\displaystyle f}$ убывает).
2. Обратная функция ${\displaystyle f^{-1}}$ также непрерывна и строго монотонна^[22].

Если функция ${\displaystyle f}$ непрерывна на замкнутом отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, то она равномерно непрерывна на этом отрезке (см. ниже)^[23].

Функция ${\displaystyle f}$ называется равномерно непрерывной на множестве ${\displaystyle D}$, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует ${\displaystyle \delta >0}$ (зависящее только от ${\displaystyle \varepsilon }$, но не от выбора точки) такое, что для любых ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in D}$:

${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta \implies |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon .}$^[24].

В определении обычной (поточечной) непрерывности величина ${\displaystyle \delta }$ может зависеть как от ${\displaystyle \varepsilon }$, так и от точки ${\displaystyle x_{0}}$. При равномерной непрерывности одно и то же ${\displaystyle \delta }$ «работает» для всех точек множества одновременно.

Пример. Функция ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ непрерывна на интервале ${\displaystyle (0,1)}$, но не равномерно непрерывна на нём. Вблизи нуля для поддержания заданной точности ${\displaystyle \varepsilon }$ требуются всё меньшие и меньшие значения ${\displaystyle \delta }$, и единого ${\displaystyle \delta }$ подобрать невозможно.

Напротив, функция ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ равномерно непрерывна на ${\displaystyle [0,+\infty )}$.

По теореме Кантора любая функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве (в частности, на отрезке), автоматически равномерно непрерывна на нём^[25].

Если функция не является непрерывной в некоторой точке, говорят, что она имеет разрыв в этой точке. Разрывы классифицируются следующим образом.

В точке ${\displaystyle x_{0}}$ существуют конечные односторонние пределы:

${\displaystyle f(x_{0}-)=\lim _{x\to x_{0}-}f(x),\qquad f(x_{0}+)=\lim _{x\to x_{0}+}f(x).}$

Возможны два случая:

• Устранимый разрыв: ${\displaystyle f(x_{0}-)=f(x_{0}+)}$, но это общее значение пределов не равно ${\displaystyle f(x_{0})}$ (или функция не определена в ${\displaystyle x_{0}}$). Разрыв можно «устранить», переопределив функцию в точке ${\displaystyle x_{0}}$.

Пример: ${\displaystyle f(x)={\frac {\sin x}{x}}}$ при ${\displaystyle x\neq 0}$. Предел при ${\displaystyle x\to 0}$ равен 1, поэтому, доопределив ${\displaystyle f(0)=1}$, получим непрерывную функцию.

• Скачок (неустранимый разрыв первого рода): ${\displaystyle f(x_{0}-)\neq f(x_{0}+)}$. Величина ${\displaystyle |f(x_{0}+)-f(x_{0}-)|}$ называется скачком функции.

Пример: функция ${\displaystyle \operatorname {sgn} (x)}$ в точке ${\displaystyle x=0}$ имеет скачок величины 2.

Хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Пример: ${\displaystyle f(x)=\sin {\frac {1}{x}}}$ в точке ${\displaystyle x=0}$ — ни один из односторонних пределов не существует.

Пример: ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ в точке ${\displaystyle x=0}$ — односторонние пределы бесконечны^[26].

• Полюс (бесконечный разрыв): функция стремится к бесконечности (например, ${\displaystyle 1/x}$ в нуле).
• Существенный разрыв: функция осциллирует без предела (например, ${\displaystyle \sin(1/x)}$ в нуле).

Все элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения. К элементарным функциям относятся:

Функция	Область определения	Область непрерывности
${\displaystyle x^{n}}$ (натуральная степень)	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \mathbb {R} }$
${\displaystyle x^{\alpha }}$ (действительная степень)	${\displaystyle (0,+\infty )}$ 1	${\displaystyle (0,+\infty )}$
${\displaystyle a^{x}}$, ${\displaystyle a>0}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \mathbb {R} }$
${\displaystyle \log _{a}x}$, ${\displaystyle a>0,a\neq 1}$	${\displaystyle (0,+\infty )}$	${\displaystyle (0,+\infty )}$
${\displaystyle \sin x}$, ${\displaystyle \cos x}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \mathbb {R} }$
${\displaystyle \operatorname {tg} x}$	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \left\{{\frac {\pi }{2}}+\pi n\right\}}$	вся область определения
${\displaystyle \arcsin x}$, ${\displaystyle \arccos x}$	${\displaystyle [-1,1]}$	${\displaystyle [-1,1]}$
${\displaystyle \operatorname {arctg} x}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \mathbb {R} }$

¹ Для произвольного действительного ${\displaystyle \alpha }$ функция ${\displaystyle x^{\alpha }}$ корректно определена только при ${\displaystyle x>0}$. Для рациональных ${\displaystyle \alpha }$ с нечётным знаменателем область определения может расширяться.

Поскольку суперпозиция, сумма, произведение и частное непрерывных функций (при ненулевом знаменателе) дают непрерывную функцию, любая элементарная функция непрерывна на своей естественной области определения^[27].

Если функция дифференцируема в точке ${\displaystyle x_{0}}$, то она непрерывна в этой точке. Обратное, вообще говоря, неверно:

• Функция ${\displaystyle f(x)=|x|}$ непрерывна при ${\displaystyle x=0}$, но не дифференцируема в этой точке (график имеет «излом»).
• Функция Вейерштрасса — пример непрерывной на всей числовой прямой функции, которая не имеет производной ни в одной точке.

Таким образом, класс непрерывных функций строго шире класса дифференцируемых^[28].

Всякая функция, непрерывная на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, является интегрируемой по Риману на этом отрезке. Обратное неверно: существуют интегрируемые по Риману функции, которые не являются непрерывными (например, функции с конечным числом точек разрыва или функция Дирихле, интегрируемая по Лебегу, но не по Риману)^[29].

Каждая непрерывная функция является измеримой (по Борелю и по Лебегу). Обратное неверно: класс измеримых функций значительно шире^[30].

Помимо обычной (поточечной) и равномерной непрерывности, в математике рассматриваются и другие виды:

Функция ${\displaystyle f}$ удовлетворяет условию Липшица на множестве ${\displaystyle D}$, если существует константа ${\displaystyle L\geq 0}$ такая, что:

${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|\leq L\cdot |x_{1}-x_{2}|}$

для всех ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in D}$. Такая функция автоматически равномерно непрерывна.

Пример: ${\displaystyle f(x)=\sin x}$ удовлетворяет условию Липшица с константой ${\displaystyle L=1}$^[31].

Обобщение условия Липшица: функция удовлетворяет условию Гёльдера с показателем ${\displaystyle \alpha \in (0,1]}$, если:

${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|\leq C\cdot |x_{1}-x_{2}|^{\alpha }.}$

При ${\displaystyle \alpha =1}$ это совпадает с условием Липшица.

Пример: ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ на ${\displaystyle [0,1]}$ удовлетворяет условию Гёльдера с показателем ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}}$, но не удовлетворяет условию Липшица^[32].

Функция ${\displaystyle f}$ называется абсолютно непрерывной на ${\displaystyle [a,b]}$, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует ${\displaystyle \delta >0}$ такое, что для любого конечного набора попарно непересекающихся интервалов ${\displaystyle (a_{k},b_{k})\subset [a,b]}$:

${\displaystyle \sum _{k}(b_{k}-a_{k})<\delta \implies \sum _{k}|f(b_{k})-f(a_{k})|<\varepsilon .}$

Абсолютная непрерывность — более сильное свойство, чем равномерная непрерывность. Именно этот класс функций полностью совпадает с классом первообразных интегрируемых по Лебегу функций (формула Ньютона — Лейбница в обобщённом виде)^[33].

Для функций, заданных на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, справедливы следующие строгие импликации:

${\displaystyle {\text{Липшицева}}\implies {\text{Абсолютная}}\implies {\text{Равномерная}}\implies {\text{(Поточечная) непрерывность}}.}$

Обратные импликации, вообще говоря, не выполняются.

Понятие непрерывности естественно обобщается на функции нескольких переменных. Функция ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ называется непрерывной в точке ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$, если:

${\displaystyle \forall \,\varepsilon >0\ \ \exists \,\delta >0\colon \ \|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}\|<\delta \implies |f(\mathbf {x} )-f(\mathbf {x} _{0})|<\varepsilon ,}$

где ${\displaystyle \|\cdot \|}$ — любая норма в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (например, евклидова: ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\sqrt {x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}}}}$). В конечномерных пространствах выбор нормы не влияет на понятие непрерывности (все нормы эквивалентны).

Важное замечание: непрерывность функции нескольких переменных по совокупности переменных — более сильное требование, чем непрерывность по каждой переменной в отдельности.

Пример. Функция

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\dfrac {xy}{x^{2}+y^{2}}},&(x,y)\neq (0,0),\\0,&(x,y)=(0,0),\end{cases}}}$

непрерывна по ${\displaystyle x}$ при фиксированном ${\displaystyle y}$ и по ${\displaystyle y}$ при фиксированном ${\displaystyle x}$, но не является непрерывной в точке ${\displaystyle (0,0)}$ по совокупности переменных (предел зависит от направления приближения, например, вдоль ${\displaystyle y=x}$ предел равен ${\displaystyle 1/2}$, а вдоль осей — ${\displaystyle 0}$)^[34].

Множество всех функций, непрерывных на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, обозначается ${\displaystyle C[a,b]}$. Это множество является линейным пространством (можно складывать непрерывные функции и умножать их на числа, получая снова непрерывные функции).

На ${\displaystyle C[a,b]}$ вводится норма:

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\max _{x\in [a,b]}|f(x)|,}$

которая называется равномерной нормой (или нормой Чебышёва, или sup-нормой). Эта норма порождает метрику:

${\displaystyle d(f,g)=\max _{x\in [a,b]}|f(x)-g(x)|,}$

и сходимость в этой метрике — это равномерная сходимость.

Пространство ${\displaystyle C[a,b]}$ с равномерной нормой является банаховым пространством (полным нормированным пространством)^[35].

Для любой непрерывной функции ${\displaystyle f}$ на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ и любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует многочлен ${\displaystyle P(x)}$ такой, что:

${\displaystyle |f(x)-P(x)|<\varepsilon }$

для всех ${\displaystyle x\in [a,b]}$. Иными словами, множество многочленов плотно в пространстве ${\displaystyle C[a,b]}$ относительно равномерной нормы^[36].

Функция ${\displaystyle f}$ называется:

• Полунепрерывной снизу в точке ${\displaystyle x_{0}}$, если ${\displaystyle \displaystyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)\geq f(x_{0})}$.
• Полунепрерывной сверху в точке ${\displaystyle x_{0}}$, если ${\displaystyle \displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq f(x_{0})}$.

Функция непрерывна тогда и только тогда, когда она одновременно полунепрерывна снизу и сверху^[37].

Понятие непрерывности распространяется на отображения между:

• метрическими пространствами — через ${\displaystyle \varepsilon }$-${\displaystyle \delta }$.
• топологическими пространствами — через прообразы открытых множеств.
• нормированными пространствами — непрерывные линейные операторы (в бесконечномерных пространствах непрерывность линейного оператора эквивалентна его ограниченности) ^[38].

Для удобства сведём основные критерии непрерывности в следующую таблицу:

Условие	Тип
${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})}$	необходимое и достаточное
Для любой последовательности ${\displaystyle x_{n}\to x_{0}}$ выполнено ${\displaystyle f(x_{n})\to f(x_{0})}$	необходимое и достаточное
${\displaystyle \forall \,\varepsilon >0\ \exists \,\delta >0\colon |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon }$	необходимое и достаточное
Прообраз любого открытого множества открыт	необходимое и достаточное (в топологии)
${\displaystyle f}$ дифференцируема в ${\displaystyle x_{0}}$	достаточное (но не необходимое)