Метод разделения переменных

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение, правая часть которого есть произведение функции только от ${\displaystyle x}$ на функцию только от ${\displaystyle y}$ (при этом функция ${\displaystyle y}$ является функцией от ${\displaystyle x}$)^[4]:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=g(x)h(y).\qquad (1)}$

При ${\displaystyle h(y)\neq 0}$ это уравнение можно переписать в виде

${\displaystyle {\frac {dy}{h(y)}}=g(x)dx}$.

Пусть ${\displaystyle y(x)}$ — некоторое решение уравнения (1). Из равенства дифференциалов следует, что их неопределённые интегралы отличаются лишь произвольным постоянным слагаемым:

${\displaystyle \int {\frac {dy}{h(y)}}=\int g(x)dx+C}$.

Вычисляя интегралы, получим общий интеграл уравнения (1).

Если уравнение задано в виде^[5]:

${\displaystyle M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy=0,}$

то для разделения переменных не нужно приводить его к виду (1). Достаточно разделить обе части на ${\displaystyle N(y)P(x)}$:

${\displaystyle {\frac {M(x)dx}{P(x)}}+{\frac {Q(y)dy}{N(y)}}=0,}$

откуда получится общий интеграл:

${\displaystyle \int {\frac {M(x)dx}{P(x)}}+\int {\frac {Q(y)dy}{N(y)}}=C.}$

Пусть:

${\displaystyle xdy-ydx=0}$^[6].

Разделяя переменные, получим:

${\displaystyle {\frac {dy}{y}}={\frac {dx}{x}}.}$

Интегрируя обе части последнего равенства, будем иметь:

${\displaystyle \ln |y|=\ln |x|+\ln C_{1},}$

где ${\displaystyle C_{1}}$ — положительная постоянная. Отсюда:

${\displaystyle |y|=C_{1}|x|}$

или

${\displaystyle y=Cx,}$

где ${\displaystyle C=\pm C_{1}}$ — произвольная постоянная, которая может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Решениями данного дифференциального уравнения являются также функции ${\displaystyle x=0}$ и ${\displaystyle y=0}$. Последнее решение получается из общего решения ${\displaystyle y=Cx}$ при ${\displaystyle C=0}$.

Метод разделения переменных применяется для решения краевых задач для линейных уравнений второго порядка гиперболического, параболического и эллиптического типов, а также для некоторых классов нелинейных уравнений и уравнений высших порядков^[7].

Приведём схему метода для задачи о колебаниях струны, закреплённой на концах^[8]:

${\displaystyle u_{tt}=a^{2}u_{xx},\qquad (2)}$

${\displaystyle u(0,t)=0,\quad u(l,t)=0,\qquad (3)}$

${\displaystyle u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x).\qquad (4)}$

Будем искать тождественно не равные нулю решения уравнения (2), удовлетворяющие краевым условиям (3) в виде произведения:

${\displaystyle u(x,t)=X(x)T(t).\quad (5)}$

Подставим предполагаемый вид решения в уравнение (2) и поделим на ${\displaystyle a^{2}X(x)T(t)}$:

${\displaystyle {\frac {X''(x)}{X(x)}}={\frac {T''(t)}{a^{2}T(t)}}.\qquad (6)}$

Левая часть равенства (6) является функцией только переменного ${\displaystyle x}$, правая — только ${\displaystyle t}$. Следовательно, обе части не зависят ни от ${\displaystyle x}$, ни от ${\displaystyle t}$ и равны некоторой константе ${\displaystyle -\lambda }$. Получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций ${\displaystyle X(x)}$ и ${\displaystyle T(t)}$:

${\displaystyle X''(x)+\lambda X(x)=0,\quad X(x)\not \equiv 0,\qquad (7)}$

${\displaystyle T''(t)+a^{2}\lambda T(t)=0,\quad T(t)\not \equiv 0,\qquad (8)}$

Подставляя (5) в краевые условия (3), получаем:

${\displaystyle X(0)=X(l)=0.\qquad (9)}$

Приходим к задаче Штурма-Лиувилля (7), (9). Эта задача имеет нетривиальные решения (собственные функции)

${\displaystyle X_{n}(x)=\sin {\frac {\pi n}{l}}x,}$

определяемые с точностью до произвольного множителя только при значениях ${\displaystyle \lambda }$, равных собственным значениям:

${\displaystyle \lambda _{n}=\left({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2},\quad n=1,2,3,\dots }$

Этим же значениям ${\displaystyle \lambda _{n}}$ соответствуют решения уравнения (8):

${\displaystyle T_{n}(t)=A_{n}\cos {\frac {\pi n}{l}}at+B_{n}\sin {\frac {\pi n}{l}}at,}$

где ${\displaystyle A_{n}}$ и ${\displaystyle B_{n}}$ — произвольные постоянные.

Таким образом, функции:

${\displaystyle u_{n}(x,t)=X_{n}(x)T_{n}(t)}$

являются частными решениями уравнения (2), удовлетворяющими условиям (3). Решение задачи (2)-(4) получается в виде бесконечной суммы частных решений:

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cos {\frac {\pi n}{l}}at+B_{n}\sin {\frac {\pi n}{l}}at\right)\sin {\frac {\pi n}{l}}x,}$

где константы ${\displaystyle A_{n}}$ и ${\displaystyle B_{n}}$ могут быть найдены из начальных условий (4) как коэффициенты Фурье функций ${\displaystyle \varphi (x)}$ и ${\displaystyle \psi (x)}$:

${\displaystyle A_{n}={\frac {2}{l}}\int _{0}^{l}\varphi (x)\sin {\frac {\pi n}{l}}xdx,\quad B_{n}={\frac {2}{\pi na}}\int _{0}^{l}\psi (x)\sin {\frac {\pi n}{l}}xdx.}$

Метод разделения переменных также применим к уравнению колебаний струны общего вида:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left[k(x){\frac {\partial u}{\partial x}}\right]-q(x)u=\rho (x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}},}$

где ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle q}$ и ${\displaystyle \rho }$ — непрерывные положительные на отрезке ${\displaystyle 0<x<l}$ функции^[9]. В этом случае решение строится в виде ряда по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[k(x){\frac {dX}{dx}}\right]-q(x)X+\lambda \rho (x)X=0,\quad X(0)=X(l)=0.\qquad (10)}$

Основополагающие работы по обоснованию метода Фурье принадлежат В. А. Стеклову^[10]. Теорема Стеклова утверждает, что при определённых условиях любая функция единственным образом разлагается в ряд Фурье по собственным функциями краевой задачи (10).

Метод разделения переменных для неоднородных уравнений иногда называют методом Крылова в честь А. Н. Крылова^[2].

При решении краевой задачи для уравнения неоднородного уравнения колебаний струны:

${\displaystyle u_{tt}=a^{2}u_{xx}+f(x,t)\quad (11)}$

функции ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle f}$ разлагаются в ряды Фурье по системе собственных функций задачи Штурма-Лиувилля для соответствующего однородного уравнения (2):

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }T_{n}(t)\sin {\frac {\pi n}{l}}x,}$

${\displaystyle f(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(t)\sin {\frac {\pi n}{l}}x.}$

Подстановка полученных рядов в уравнение (11) с учётом ортогональности системы ${\displaystyle \left\{\sin {\frac {\pi n}{l}}x\right\}}$ даёт уравнение относительно ${\displaystyle T_{n}(t)}$:

${\displaystyle T''_{n}(t)+a^{2}\lambda _{n}T_{n}(t)=f_{n}(t).\qquad (12)}$

Функции ${\displaystyle T_{n}(t)}$ могут быть найдены как решения задач Коши для уравнений (12) с начальными условиями, полученными из начальных условий исходной краевой задачи.

Xcas:^[11] split((x+1)*(y-2), [x, y]) = [x+1,y-2]