Правило Лопиталя

Теорема Лопиталя:

Если: ${\displaystyle f(x),\,g(x)}$ — действительнозначные функции, дифференцируемые в проколотой окрестности ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle a}$, где ${\displaystyle a}$ — действительное число или один из символов ${\displaystyle +\infty ,-\infty ,\infty }$, причём:

1. ${\displaystyle \lim _{x\to a}{f(x)}=\lim _{x\to a}{g(x)}=0}$ или ${\displaystyle \infty }$;
2. ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ в ${\displaystyle U}$;
3. существует ${\displaystyle \lim \limits _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$;

тогда существует ${\displaystyle \lim \limits _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim \limits _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$.

Пределы также могут быть односторонними.

Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован в учебнике «Analyse des Infiniment Petits» 1696 года за авторством Гийома Лопиталя. Метод был сообщён Лопиталю в письме его первооткрывателем Иоганном Бернулли^[2].

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}+5x}{3x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2x+5}{3}}={\frac {5}{3}}}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{3}+4x^{2}+7x+9}{x^{3}+3x^{2}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {3x^{2}+8x+7}{3x^{2}+6x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {6x+8}{6x+6}}={\frac {6}{6}}=1}$
  Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, но можно поступить иначе. Необходимо разделить и числитель, и знаменатель на ${\displaystyle x}$ в наибольшей степени(в нашем случае ${\displaystyle x^{3}}$). В этом примере получается:

  ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {1+4/x+7/x^{2}+9/x^{3}}{1+3/x}}={\frac {1}{1}}=1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x^{a}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{a\cdot x^{a-1}}}=\ldots =\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{a!}}=+\infty }$ — применение правила ${\displaystyle a}$ раз;
• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{a}}{\ln {x}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {ax^{a-1}}{\frac {1}{x}}}=a\cdot \lim _{x\to +\infty }{x^{a}}=+\infty }$ при ${\displaystyle a>0}$;
• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {\int \limits _{x}^{+\infty }e^{-t^{2}}dt}{x^{-1}e^{-x^{2}}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {-e^{-x^{2}}}{-x^{-2}e^{-x^{2}}(1+2x^{2})}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}}{1+2x^{2}}}={\frac {1}{2}}}$.

В некоторых ситуациях правило Лопиталя может не дать ожидаемого результата, так как существование предела отношения производных ${\displaystyle \lim \limits _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$ не вытекает из существования предела отношения самих функций. Пример:

отношение ${\displaystyle {\frac {x+\sin(x)}{x}}}$ имеет предел в бесконечности (единица), но у отношения производных предела нет.

Простое, но полезное следствие правила Лопиталя — признак дифференцируемости функций, состоит в следующем:

Пусть функция ${\displaystyle f(x)}$ дифференцируема в проколотой окрестности точки ${\displaystyle a}$, а в самой этой точке она непрерывна и имеет предел производной ${\displaystyle \lim _{x\to a}f'(x)=A}$. Тогда функция ${\displaystyle f(x)}$ дифференцируема и в самой точке ${\displaystyle a}$, и ${\displaystyle f'(a)=A}$ (то есть, производная ${\displaystyle f'(x)}$ непрерывна в точке ${\displaystyle a}$).

Для доказательства достаточно применить правило Лопиталя к отношению ${\displaystyle {\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}}$.