Тригонометрические тождества

Тригонометрические тождества — математические выражения для тригонометрических функций, которые выполняются при всех значениях аргумента (из общей области определения). В данной статье приведены только тождества с основными тригонометрическими функциями, но есть тождества и для редко используемых тригонометрических функций.

№	Формула	Допустимые значения аргумента
1.1	$\operatorname {sin} ^{2}\alpha +\operatorname {cos} ^{2}\alpha =1$	$\forall \alpha$ (то есть любое значение α)
1.2	$\operatorname {tg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }}=\operatorname {sec} ^{2}\alpha$	$\alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n$ при $n\in \mathbb {Z}$
1.3	$\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }}=\operatorname {cosec} ^{2}\alpha$	$\alpha \neq \pi n,\quad n\in \mathbb {Z}$
1.4	$\operatorname {tg} \alpha \cdot \operatorname {ctg} \alpha =1$	$\alpha \neq {\frac {\pi n}{2}},\quad n\in \mathbb {Z}$

Формула (1.1) является следствием теоремы Пифагора.
Формулы (1.2) и (1.3) получаются из формулы (1.1) делением на $\cos ^{2}\alpha$ и $\sin ^{2}\alpha$ соответственно.
Формула (1.4) следует из определений тангенса и котангенса.

№	Формулы сложения и вычитания аргументов
2.1	$\sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
2.2	$\cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
2.3	$\operatorname {tg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta }{1\mp \operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta }}$
2.4	$\operatorname {ctg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {ctg} \alpha \operatorname {ctg} \beta \mp 1}{\operatorname {ctg} \beta \pm \operatorname {ctg} \alpha }}$

Формула (2.3) получается при делении (2.1) на (2.2), а формула (2.4) — при делении (2.2) на (2.1).

Формула (2.3) верна при $\alpha$ , $\beta$ , $\alpha \pm \beta$ , отличных от ${\pi \over 2}+\pi n$ , $n\in \mathbb {Z}$ .

Вывод формул для

\sin(\alpha +\beta ),\ \cos(\alpha +\beta )

Рис 1. К доказательству вывода формулы

На Рис. 1 изображены четыре прямоугольных треугольника: ABC, ABD, AOC, BOD.

Принято, что $AB=1,\angle DAC=\alpha ,\angle DAB=\beta ;$

По построению: $\angle ABC=90-\alpha -\beta ;\angle ABD=90-\beta ;$

Тогда: $\angle OBD=\angle ABD-\angle ABO=\alpha ;$

Из треугольника ABD:

BD=\sin \beta ;AD=\cos \beta ;

Из треугольника BOD:

OB={\frac {BD}{\cos \alpha }}={\frac {\sin \beta }{\cos \alpha }};

OD=OB\cdot \sin \alpha ={\frac {\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\cos \alpha }}

Так как O лежит на отрезке AD:

AO=AD-OD=\cos \beta -{\frac {\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\cos \alpha }}={\frac {\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\cos \alpha }}

Тогда сразу:

\cos(\alpha +\beta )=AC=AO\cdot \cos \alpha =\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta

Из треугольника AOC:

OC=AO\cdot \sin \alpha ={\frac {\sin \alpha \cdot (\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta )}{\cos \alpha }}

Следовательно:

\sin(\alpha +\beta )=BC=OB+OC={\frac {\sin \beta }{\cos \alpha }}+{\frac {\sin \alpha \cdot (\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta )}{\cos \alpha }}=

\sin \alpha \cdot \cos \beta +{\frac {\sin \beta \cdot (1-\sin ^{2}\alpha )}{\cos \alpha }}=\sin \alpha \cdot \cos \beta +\cos \alpha \cdot \sin \beta

Что и требовалось доказать.

Формулы двойного угла выводятся из формул (2.1)—(2.4), если β приравнять α:

№	Формулы двойного угла
3.1	$\operatorname {sin} 2\alpha =2{\sin \alpha }\ {\cos \alpha }={\frac {2\operatorname {tg} \alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}$
3.2	$\operatorname {cos} 2\alpha ={\cos ^{2}\alpha }-{\sin ^{2}\alpha }$ $\operatorname {cos} 2\alpha =2{\cos ^{2}\alpha }-1=1-2{\sin ^{2}\alpha }$
3.3	$\operatorname {tg} 2\alpha ={\frac {2\operatorname {tg} \alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}$
3.4	$\operatorname {ctg} 2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\operatorname {ctg} \alpha }}$

Примечания

для формулы $\operatorname {tg} 2\alpha$ :

$\alpha \not ={\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{2}}n,n\in \mathbb {Z} ,$
$\alpha \not ={\frac {\pi }{2}}+\pi n,n\in \mathbb {Z} ,$

для формулы $\operatorname {ctg} 2\alpha$ : $\alpha \not ={\frac {\pi }{2}}+\pi n,n\in \mathbb {Z} .$

Из формулы двойного угла для косинуса (3.2) выводятся формулы половинного угла, в частности тангенса половинного угла:

№	Формулы половинного угла
3.5	$\sin {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1-\cos \alpha \over 2}}$
3.6	$\cos {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1+\cos \alpha \over 2}}$
3.7	$\operatorname {tg} {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1-\cos \alpha \over 1+\cos \alpha }}={\sin \alpha \over 1+\cos \alpha }={1-\cos \alpha \over \sin \alpha }={-1\pm {\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }} \over \operatorname {tg} \alpha }$
3.8	$\operatorname {ctg} {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1+\cos \alpha \over 1-\cos \alpha }}={\sin \alpha \over 1-\cos \alpha }={1+\cos \alpha \over \sin \alpha }=\operatorname {ctg} {\alpha }\pm {\sqrt {1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}$

В формулах половинного угла знаки перед радикалами следует брать в зависимости от знака тригонометрической функции, стоящей в левой части равенства.

В формуле $\operatorname {tg} {\alpha \over 2}={1-\cos \alpha \over \sin \alpha }$ и аналогичной для котангенса, левая и правая части имеют разные области определения и, следовательно, их неосторожное использование может приводить к приобретению корней!

Формулы тройного угла выводятся из формул (2.1)—(2.4), если β приравнять 2α:

№	Формулы тройного угла
4.1	$\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha$
4.2	$\cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha$
4.3	$\operatorname {tg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}$
4.4	$\operatorname {ctg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {ctg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}$

Примечания

для формулы $\operatorname {tg} 3\alpha$ : $\alpha \not ={\frac {\pi }{6}}+{\frac {\pi }{3}}n,n\in \mathbb {Z}$
для формулы $\operatorname {ctg} 3\alpha$ : $\alpha \not ={\frac {\pi }{3}}n+\pi n,n\in \mathbb {Z}$ ;

Формулы понижения степени выводятся из формул (3.2):

№	Синус	№	Косинус
5.1	$\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}$	5.5	$\cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}$
5.2	$\sin ^{3}\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\alpha }{4}}$	5.6	$\cos ^{3}\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\alpha }{4}}$
5.3	$\sin ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}}$	5.7	$\cos ^{4}\alpha ={\frac {3+4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}}$
5.4	$\sin ^{5}\alpha ={\frac {10\sin \alpha -5\sin 3\alpha +\sin 5\alpha }{16}}$	5.8	$\cos ^{5}\alpha ={\frac {10\cos \alpha +5\cos 3\alpha +\cos 5\alpha }{16}}$

№	Произведение
5.9	$\sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 4\alpha }{8}}$
5.10	$\sin ^{3}\alpha \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\sin 2\alpha -\sin 6\alpha }{32}}$
5.11	$\sin ^{4}\alpha \cos ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 4\alpha +\cos 8\alpha }{128}}$
5.12	$\sin ^{5}\alpha \cos ^{5}\alpha ={\frac {10\sin 2\alpha -5\sin 6\alpha +\sin 10\alpha }{512}}$

№	Формулы преобразования произведений функций
6.1	$\sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}}$
6.2	$\sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{2}}$
6.3	$\cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{2}}$

Вывод формул преобразования произведений функций

Формулы преобразования произведения функций выводятся из формул сложения аргументов (2.1) и (2.2). Например, из формулы (2.1) следует:

\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta =

=2\sin \alpha \cos \beta

.

То есть:

\sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )}{2}}

— формула (6.2).

Остальные формулы преобразования произведений функций выводятся аналогично.

№	Формулы преобразования суммы функций
7.1	$\sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}}$
7.2	$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$
7.3	$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$
7.4	$\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}$
7.5	$\operatorname {ctg} \alpha \pm \operatorname {ctg} \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }}$

Вывод формул преобразования суммы функций

Формулы преобразования суммы функций выводятся из формул преобразования произведений функций (6.1)—(6.3) с помощью подстановки:

\alpha ={\frac {\alpha '+\beta '}{2}}

и

\beta ={\frac {\alpha '-\beta '}{2}}

.

Подставим эти выражения в формулу (6.1):

\sin {\frac {\alpha '+\beta '}{2}}\sin {\frac {\alpha '-\beta '}{2}}={\frac {\cos \beta '-\cos \alpha '}{2}}

, то есть

\cos \alpha '-\cos \beta '=-2\sin {\frac {\alpha '+\beta '}{2}}\sin {\frac {\alpha '-\beta '}{2}}

— опуская штрихи, получаем формулу (7.3).

Остальные формулы преобразования суммы синуса и косинуса выводятся аналогично. Из формулы (2.3) следует:

\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} \beta =\operatorname {tg} (\alpha +\beta )(1-\operatorname {tg} (\alpha )\operatorname {tg} (\beta ))=

={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}\cdot {\frac {\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}

={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}\cdot {\frac {\cos(\alpha +\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}

, то есть

\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}\qquad \qquad

— формула (7.4).

Преобразование суммы синусов 3-x разных углов в произведение при $\alpha +\beta +\gamma =360^{\circ }\colon$

\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}

(7.6).

$\sin x=a.$

Если

|a|>1

— вещественных решений нет.

Если

|a|\leqslant 1

— решением является число вида

x=(-1)^{n}\arcsin a+\pi n,

где

n\in \mathbb {Z} .

$\cos x=a.$

Если

|a|>1

— вещественных решений нет.

Если

|a|\leqslant 1

— решением является число вида

x=\pm \arccos a+2\pi n,~n\in \mathbb {Z} .

$\operatorname {tg} \,x=a.$

Решением является число вида

x={\text{arctg}}~a+\pi n,~n\in \mathbb {Z} .

$\operatorname {ctg} \,x=a.$

Решением является число вида

x={\text{arcctg}}~a+\pi n,~n\in \mathbb {Z} .

Нижеприведённые тождества имеют смысл, только когда тангенс имеет смысл (то есть при $\alpha \neq \pi +2\pi n$ ).

$\sin \alpha ={\frac {2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$	$\cos \alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$
$\operatorname {tg} \,\alpha ={\frac {2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$	$\operatorname {ctg} \,\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}}}}$
$\sec \alpha ={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$	$\operatorname {cosec} \alpha ={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}}}}$

Аналогичные соотношения имеют место и для котангенса ( $\alpha \neq 2\pi n$ ):

$\sin \alpha ={\frac {2~{\text{ctg}}~{\frac {\alpha }{2}}}{1+{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$	$\cos \alpha ={\frac {{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}-1}{{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}+1}}$
${\text{tg}}~\alpha ={\frac {2~{\text{ctg}}~{\frac {\alpha }{2}}}{{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}-1}}$	${\text{ctg}}~\alpha ={\frac {{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}-1}{2~{\text{ctg}}~{\frac {\alpha }{2}}}}$
$\sec \alpha ={\frac {{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}+1}{{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}-1}}$	$\operatorname {cosec} \alpha ={\frac {1+{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2~{\text{ctg}}~{\frac {\alpha }{2}}}}$

Сумма двух гармонических колебаний с одинаковой частотой будет вновь гармоническим колебанием. В частности,

a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(x+\varphi ),

где $a,b\in \mathbb {R} ,$ $a$ и $b$ не равны нулю одновременно, $\varphi$ — это угол, называемый вспомогательным аргументом, который может быть найден из системы уравнений:

\left\{{\begin{matrix}\sin \varphi ={\dfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},\\\cos \varphi ={\dfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.\end{matrix}}\right.

Примечание. Из вышеприведённой системы при $a\neq 0$ следует, что $\mathrm {tg} \,\varphi \,=\,{\tfrac {b}{a}}$ , однако нельзя всегда считать, что $\varphi ={\text{arctg}}~{\tfrac {b}{a}}$ , так как арктангенс определяет угол от $-\pi /2$ до $\pi /2$ , а угол может быть, вообще говоря, любым. Нужно учитывать знаки $a$ и $b,$ чтобы определить, к какой четверти принадлежит угол $\varphi$ , в результате чего добавлять или убавлять $\pi$ при необходимости.

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа $x$ выполнено следующее равенство:

e^{ix}=\cos x+i\sin x,

где $e$ — основание натурального логарифма,

i

— мнимая единица.

При помощи формулы Эйлера можно определить функции $\sin x$ и $\cos x$ следующим образом:

\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.

Отсюда следует, что

\operatorname {tg} \,x=-i{\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}},\qquad \qquad \operatorname {ctg} \,x=i{\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{e^{ix}-e^{-ix}}},

\sec x={\frac {2}{e^{ix}+e^{-ix}}},\qquad \qquad \operatorname {cosec} \,x={\frac {2i}{e^{ix}-e^{-ix}}}.

Все эти тождества аналитически обобщаются на любые комплексные значения.

Тригонометрия
Общее	Обзор тригонометрии История Использование Функции Обратные Редко используемые Обобщённая тригонометрия
Справочник	Тождества Точные константы Таблицы Единичная окружность
Законы и теоремы	Теорема синусов Теорема Пифагора Теорема косинусов Теорема тангенсов Теорема котангенсов Решение треугольников
Математический анализ	Тригонометрическая подстановка Интегралы (обратные функции) Производные

Тригонометрические тождества

Основные тригонометрические формулы

Формулы сложения и вычитания аргументов

Формулы двойного угла и половинного угла

Формулы тройного угла

Формулы понижения степени

Формулы преобразования произведения функций

Формулы преобразования суммы функций

Решение простых тригонометрических уравнений

Универсальная тригонометрическая подстановка

Вспомогательный аргумент (формулы сложения гармонических колебаний)

Представление тригонометрических функций в комплексной форме

См. также