Асимптота

Прямая вида ${\displaystyle x=a}$ является вертикальной асимптотой при выполнении хотя бы одного из равенств:

1. ${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)=\pm \infty }$
2. ${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty }$.

Вертикальных асимптот может быть любое количество.

Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке ${\displaystyle a}$. Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

Наклонная асимптота — прямая вида ${\displaystyle y=kx+b}$, если выполняется хотя бы одно из равенств:

1. ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }(f(x)-kx)=b}$
2. ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }(f(x)-kx)=b}$.

При этом, если выполняется первое условие, то говорят, что эта прямая является асимптотой при ${\displaystyle x\to +\infty }$, а если второе, то асимптотой при ${\displaystyle x\to -\infty }$^[4].

Если ${\displaystyle k=0}$, то асимптота также называется горизонтальной.

Замечание 1: Число наклонных асимптот у функции не может быть больше двух: одна при ${\displaystyle x\to +\infty }$ и одна при ${\displaystyle x\to -\infty }$, но она может быть одна или их вовсе может не быть.

Замечание 2: В некоторых случаях, таких как алгебраическая геометрия, асимптота определена, как прямая, которая является «касательной» к кривой на бесконечности^[5].

1. Нахождение точек разрыва, выбор точек, в которых есть вертикальная асимптота (прямой проверкой, что предел в этой точке есть бесконечность).
2. Проверка, не являются ли конечными пределы ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=b}$ и${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=b}$. Если да, то существует горизонтальная асимптота ${\displaystyle y=b}$ при ${\displaystyle +\infty }$ и ${\displaystyle -\infty }$ соответственно.
3. Нахождение двух пределов ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }{\frac {f(x)}{x}}=k}$
4. Нахождение двух пределов ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }(f(x)-kx)=b}$, если хотя бы один из пределов в пункте 3 или 4 не существует (или равен ${\displaystyle \pm \infty }$), то наклонной асимптоты при ${\displaystyle x\to +\infty }$ (или ${\displaystyle x\to -\infty }$) не существует.

Также наклонную асимптоту можно найти, выделив целую часть. Например:

Дана функция ${\displaystyle f(x)={\frac {2x^{3}+5x^{2}+1}{x^{2}+1}}}$.

Разделив нацело числитель на знаменатель, получим: ${\displaystyle f(x)=2x+5+{\frac {-2x-4}{x^{2}+1}}=2x+5+(-2)\cdot {\frac {x+2}{x^{2}+1}}}$.

При ${\displaystyle x\to \pm \infty }$, ${\displaystyle {\frac {x+2}{x^{2}+1}}\to 0}$,

и ${\displaystyle y=2x+5}$ является искомым уравнением наклонной асимптоты, причём с обеих сторон.

• Среди конических сечений асимптоты имеют только гиперболы. Асимптоты гиперболы как конического сечения параллельны образующим конуса, лежащим в плоскости, проходящей через вершину конуса параллельно секущей плоскости^[6]. Максимальный угол между асимптотами гиперболы для данного конуса равен углу раствора конуса и достигается при секущей плоскости, параллельной оси конуса.