Уравнение Пуассона

Уравне́ние Пуассо́на — эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое описывает

• электростатическое поле,
• стационарное поле температуры,
• поле давления,
• поле потенциала скорости в гидродинамике.

Оно названо в честь французского физика и математика Симеона Дени Пуассона.

Это уравнение имеет вид:

$\Delta \varphi =f,$

где $\Delta$ — оператор Лапласа, или лапласиан, а $f$ — вещественная или комплексная функция на некотором многообразии.

В трёхмерной декартовой системе координат уравнение принимает форму:

$\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).$

В декартовой системе координат оператор Лапласа записывается в форме $\nabla ^{2}$ и уравнение Пуассона принимает вид:

${\nabla }^{2}\varphi =f.$

Если $f$ стремится к нулю, то уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа (уравнение Лапласа — частный случай уравнения Пуассона):

$\Delta \varphi =0.$

Уравнение Пуассона может быть решено с использованием функции Грина; см., например, статью экранированное уравнение Пуассона. Есть различные методы для получения численных решений. Например, используется итерационный алгоритм — «релаксационный метод».

Электростатика

Уравнение Пуассона является одним из важнейших уравнений электростатики. Нахождение $\Phi (r)$ для данного $f$ — важная практическая задача, поскольку это обычный путь для нахождения электростатического потенциала для данного распределения заряда. В единицах системы СИ:

${\nabla }^{2}\phi =-{\rho \over \varepsilon _{0}},$

где $\phi$ — электростатический потенциал (в вольтах), $\rho$ — объёмная плотность заряда (в кулонах на кубический метр), а $\varepsilon _{0}$ — диэлектрическая проницаемость вакуума (в фарадах на метр).

Оно выводится из закона Гаусса ($\mathrm {div} \,\mathbf {E} \equiv \nabla \cdot \mathbf {E} ={\rho \over \varepsilon _{0}})$ и определения статического потенциала ($\mathbf {E} =-\nabla \phi$):

${\rho \over \varepsilon _{0}}=\nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot (-\nabla \phi )=-\nabla \cdot \nabla \phi =-\nabla ^{2}\phi .$

В единицах системы СГС:

${\nabla }^{2}\phi =-{4\pi \rho }.$

В области пространства, где нет непарной плотности заряда:

$\rho =0,$

и уравнение для потенциала превращается в уравнение Лапласа:

${\nabla }^{2}\phi =0.$

Потенциал точечного заряда

Потенциал, источником которого служит точечный заряд,

$\Phi _{q}={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{q \over r}$

— то есть кулоновский потенциал — есть по сути (а строго говоря при $q=1$) функция Грина

$\Phi _{1}(x,y,z)={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{1 \over r}$

для уравнения Пуассона,

то есть решение уравнения

$\Delta \Phi =-{1 \over \varepsilon _{0}}\delta (x)\delta (y)\delta (z)\ ,$

где $\delta (x)$ — обозначение дельта-функции Дирака, а произведение трех дельта-функций есть трехмерная дельта-функция, а $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.$

В связи с этим ясно, что решение уравнения Пуассона с произвольной правой частью может быть записано как

$\Phi (x,y,z)=\int \rho (\xi ,\eta ,\zeta )\Phi _{1}(x-\xi ,y-\eta ,z-\zeta )d\xi d\eta d\zeta =$

$=\int {1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{\rho (\xi ,\eta ,\zeta ) \over {\sqrt {(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}}}}d\xi d\eta d\zeta .$

• Здесь имеется в виду наиболее простой случай «без граничных условий», когда принимается, что на бесконечности решение должно стремиться к нулю. Рассмотрение более общего случая произвольных граничных условий и вообще более подробное изложение — см. в статье Функция Грина.
• Физический смысл последней формулы — применение принципа суперпозиции (что возможно, поскольку уравнение Пуассона линейно) и нахождение потенциала как суммы потенциалов точечных зарядов $\rho dV$.

Потенциал гауссовой объёмной плотности заряда

Если мы имеем объёмную сферически симметричную плотность гауссового распределения заряда $\rho (r)$:

$\rho (r)={\frac {Q}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}^{3}}}\,e^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})},$

где $Q$ — общий заряд, тогда решение $\Phi (r)$ уравнения Пуассона:

${\nabla }^{2}\Phi =-{\rho \over \varepsilon _{0}}$

даётся:

$\Phi (r)={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{\frac {Q}{r}}\,{\mbox{erf}}\left({\frac {r}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right),$

где $\mathrm {erf} (x)$ — функция ошибок. Это решение может быть проверено напрямую вычислением ${\nabla }^{2}\Phi$. Заметьте, что для $r$, много больших, чем $\sigma$, $\mathrm {erf} (x)$ приближается к единице, и потенциал $\Phi (r)$ приближается к потенциалу точечного заряда ${1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{Q \over r}$, как и можно было ожидать.

См. также

• Дискретное уравнение Пуассона
• Экранированное уравнение Пуассона

Ссылки

• Poisson Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9