Уравнение Пуассона

Теория потенциала выросла из ньютонова тяготения. Ж. Л. Лагранж ввёл скалярную функцию силы^[7], А. М. Лежандр — разложение по полиномам^[8], П. С. Лаплас в «Небесной механике» показал, что вне притягивающих масс эта функция удовлетворяет уравнению ${\displaystyle \Delta V=0}$^[9].

Внутри сплошного распределения масс уравнение Лапласа неверно. В заметке 1813 года Пуассон получил соотношение для «дифференциального параметра» во внутренней точке: ${\displaystyle \Delta V=-4\pi \rho }$ (при гравитационной постоянной, равной единице)^[6]. Тем самым уравнение Лапласа стало частным случаем неоднородного эллиптического уравнения. В мемуарах 1811—1820-х годов Пуассон перенёс тот же аппарат на электростатику и магнитостатику^[10].

В 1828 году Джордж Грин ввёл функцию влияния (ныне функция Грина) и интегральные тождества^[11]. К. Ф. Гаусс (1839—1840) независимо развил теорию потенциала и закрепил термин potential^[12]. Во второй половине XIX века П. Г. Л. Дирихле сформулировал вариационный принцип (принцип Дирихле)^[13], а Б. Риман активно использовал его в теории функций комплексного переменного^[14]. У. Томсон (лорд Кельвин)^[15] и К. Нейман^[16] развили методы решения краевых задач.

В XX веке теория была переписана на языке интегральных уравнений (Фредгольм), гильбертовых пространств и обобщённых функций (Соболев, Шварц). Были доказаны фундаментальные теоремы о регулярности (Шаудер, Кальдерон — Зигмунд). Численно уравнение решали релаксацией, затем методами конечных разностей и конечных элементов, быстрым преобразованием Фурье и многосеточными схемами.

На области ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ (или, более общо, на римановом многообразии) уравнение имеет вид

${\displaystyle \Delta \varphi =f\qquad {\text{в }}\Omega ,}$

где ${\displaystyle f}$ — заданная вещественная (иногда комплекснозначная) функция. В трёхмерных декартовых координатах

${\displaystyle \Delta \varphi ={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}.}$

В этих координатах ${\displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla }$, поэтому часто пишут ${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =f}$. Знак ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ в криволинейных координатах уже не сводится к простой сумме вторых производных: нужно брать дивергенцию градиента с учётом метрики^[17][18].

В математической литературе обычна запись ${\displaystyle \Delta u=f}$ или ${\displaystyle -\Delta u=f}$ (последняя удобна тем, что оператор ${\displaystyle -\Delta }$ положительно определён). В физике знак правой части зависит от того, как определён потенциал; см. электростатику и гравитацию.

Уравнение линейно: если ${\displaystyle \Delta \varphi _{i}=f_{i}}$, то ${\displaystyle \Delta (c_{1}\varphi _{1}+c_{2}\varphi _{2})=c_{1}f_{1}+c_{2}f_{2}}$. Отсюда принцип суперпозиции: потенциал системы источников есть сумма потенциалов отдельных источников.

Само по себе уравнение не выделяет единственного решения: к ${\displaystyle \varphi }$ можно добавить любую гармоническую функцию. Однозначность восстанавливают краевыми условиями:

• задача Дирихле: задано ${\displaystyle \varphi |_{\partial \Omega }=g}$;
• задача Неймана: задана нормальная производная ${\displaystyle \partial _{n}\varphi |_{\partial \Omega }=h}$;
• смешанная (Робена) задача: линейная комбинация значения и производной.

Для задачи Неймана необходимо условие совместности (следствие формулы Гаусса — Остроградского):

${\displaystyle \int _{\Omega }f\,dV=\int _{\partial \Omega }h\,dS;}$

при его выполнении решение определяется с точностью до аддитивной постоянной. На всём ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ вместо граничных данных задают поведение на бесконечности, обычно ${\displaystyle \varphi \to 0}$ при ${\displaystyle |x|\to \infty }$ (для компактного носителя ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle n\geq 3}$)^[2].

Классическое решение существует при достаточной гладкости ${\displaystyle f}$ и границы (теоремы Шаудера, потенциал-теоретические оценки). В пространствах Соболева рассматривают слабые решения: ${\displaystyle \varphi \in H^{1}(\Omega )}$ удовлетворяет интегральному тождеству

${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla \varphi \cdot \nabla v\,dx=-\int _{\Omega }fv\,dx}$

для всех пробных ${\displaystyle v}$ с нулевым следом (задача Дирихле для ${\displaystyle -\Delta \varphi =f}$)^[19].

• Принцип максимума: если ${\displaystyle f\leq 0}$, то решение достигает своего максимума на границе области ${\displaystyle \partial \Omega }$. Для неоднородного уравнения существуют обобщённые оценки максимума через норму правой части.
• Теоремы единственности: для задачи Дирихле решение единственно. Для задачи Неймана решение единственно с точностью до произвольной аддитивной константы (при выполнении условия совместности).
• Регулярность: если правая часть ${\displaystyle f}$ принадлежит пространству Гёльдера ${\displaystyle C^{k,\alpha }(\Omega )}$, то решение ${\displaystyle \varphi }$ принадлежит ${\displaystyle C^{k+2,\alpha }(\Omega )}$ (внутренняя регулярность). Это следует из теорем Шаудера и теории сингулярных интегралов Кальдерона — Зигмунда.
• Априорные оценки: норма решения в соответствующих пространствах оценивается через норму правой части и граничных данных не зависящим от конкретного решения образом, что является ключом к доказательству существования^[20].

Уравнение Пуассона с однородными граничными условиями Дирихле (${\displaystyle \varphi |_{\partial \Omega }=0}$) эквивалентно задаче минимизации функционала полной энергии (принцип Дирихле):

${\displaystyle J[\varphi ]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla \varphi |^{2}+f\varphi \right)dV\to \min .}$

Первая вариация этого функционала ${\displaystyle \delta J=0}$ даёт слабую формулировку уравнения. Положительная определённость квадратичной части ${\displaystyle \int |\nabla \varphi |^{2}dV}$ (в силу неравенства Пуанкаре) гарантирует существование и единственность минимума в пространстве Соболева ${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$^[21].

Фундаментальное решение оператора Лапласа удовлетворяет ${\displaystyle \Delta {\mathcal {E}}=\delta }$ в смысле обобщённых функций. Оно определено с точностью до добавления произвольной гармонической функции и имеет вид^[22]:

• для ${\displaystyle n=2}$: ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\mathbf {r} )={\frac {1}{2\pi }}\ln |\mathbf {r} |}$;
• для ${\displaystyle n=3}$: ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\mathbf {r} )=-{\frac {1}{4\pi |\mathbf {r} |}}}$;
• для ${\displaystyle n\geq 3}$: ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\mathbf {r} )=-{\frac {\Gamma (n/2)}{2\pi ^{n/2}(n-2)}}{\frac {1}{|\mathbf {r} |^{n-2}}}}$.

Поэтому решение ${\displaystyle \Delta \varphi =f}$ во всём пространстве, убывающее на бесконечности, есть ньютонов потенциал (свёртка с фундаментальным решением). В трёхмерном случае:

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {f(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,dV'}$^[23].

В ограниченной области ту же роль играет функция Грина ${\displaystyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}$, построенная так, чтобы учесть граничные условия: к фундаментальному решению добавляют регулярную гармоническую поправку. Экранированное уравнение ${\displaystyle (\Delta -k^{2})\varphi =f}$ (уравнение Юкавы или Гельмгольца) — уже другое уравнение; его функция Грина экспоненциально затухает и не заменяет функцию Грина обычного лапласиана^[5].

Аналитическое решение доступно лишь в простейших геометриях. На практике используют:

• метод конечных разностей (МКР): исторический «релаксационный метод» с итерациями Якоби, Гаусса — Зейделя или верхней релаксации (SOR);
• метод конечных элементов (МКЭ): основан на вариационной формулировке, использует кусочно-полиномиальные базисные функции на нерегулярных сетках, что позволяет работать со сложными геометриями;
• спектральные методы и БПФ: разложение Фурье / быстрое преобразование Фурье эффективно в прямоугольных и периодических ячейках, обеспечивая спектральную точность;
• многосеточные методы (Multigrid): используют иерархию сеток для устранения как высокочастотных (на мелких сетках), так и низкочастотных (на грубых сетках) компонент ошибки. Обеспечивают оптимальную вычислительную сложность ${\displaystyle O(N)}$, где ${\displaystyle N}$ — число неизвестных;
• методы Крылова с предобуславливанием: метод сопряжённых градиентов (CG) или GMRES с неполным разложением Холецкого (ICC) или многосеточным предобуславливателем;
• параллельные алгоритмы: декомпозиция области (domain decomposition), позволяющая решать задачи с миллиардами узлов на суперкомпьютерах.

• Уравнение теплопроводности: уравнение Пуассона представляет собой стационарный (не зависящий от времени) предельный случай нестационарного уравнения теплопроводности ${\displaystyle \partial _{t}u=\Delta u+f}$.
• Волновое уравнение: стационарные решения волнового уравнения ${\displaystyle \partial _{tt}u=c^{2}\Delta u+F}$ при гармонической зависимости от времени сводятся к уравнению Гельмгольца, а при нулевой частоте — к уравнению Пуассона.
• Уравнения Максвелла: уравнение Пуассона является прямым следствием стационарных уравнений Максвелла для электрического поля.
• Уравнение Шрёдингера: в многоэлектронных атомах и молекулах электростатический потенциал, входящий в гамильтониан, является решением уравнения Пуассона для ядер и электронной плотности.

• На римановых многообразиях: оператор Лапласа заменяется на оператор Лапласа — Бельтрами ${\displaystyle \Delta _{g}}$, учитывающий метрический тензор ${\displaystyle g_{ij}}$ многообразия.
• p-Лапласиан: нелинейное обобщение вида ${\displaystyle \nabla \cdot (|\nabla \varphi |^{p-2}\nabla \varphi )=f}$, возникающее в задачах нелинейной фильтрации и пластичности.
• Дробный лапласиан: оператор ${\displaystyle (-\Delta )^{s}}$ (где ${\displaystyle 0<s<1}$), описывающий процессы с длиннохвостыми прыжками (леви-полёты) и аномальную диффузию.
• Уравнение Пуассона — Больцмана: нелинейное обобщение ${\displaystyle \Delta \varphi =-{\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }}+{\frac {2n_{0}q}{\varepsilon }}\operatorname {sh} \left({\frac {q\varphi }{k_{B}T}}\right)}$, описывающее распределение потенциала в растворах электролитов с учётом теплового движения ионов (модель Гуи — Чепмена).