Теорема синусов

Теорема синусов — математическая теорема, устанавливающая пропорциональную зависимость между длинами сторон треугольника и синусами противолежащих им углов.

Для произвольного треугольника отношение каждой стороны к синусу противолежащего угла равно 2R, где R — радиус окружности, описанной около треугольника.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, и наоборот, против большей стороны лежит больший угол. Отношения сторон равны отношениям синусов противолежащих углов, а площадь может быть выражена через теорему синусов.

Для треугольника на сфере единичного радиуса со сторонами, измеренными в радианах как центральные углы, отношение синуса стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех трёх сторон. Теорема применяется в астрономии, навигации и геодезии.

Второй угол находят по теореме синусов, после чего вычисляют третий угол и третью сторону. Возможны два решения — так называемый неоднозначный случай, наблюдаемый при остром противолежащем угле.

В геодезии и картографии теорема синусов служит для построения триангуляционных сетей и измерения расстояний до недоступных точек. Она также используется в астрономии, навигации, строительстве и физике для вычисления координат, нагрузки на конструкции и сложения сил.

Теоре́ма си́нусов — математическая теорема, устанавливающая зависимость между длинами сторон треугольника и синусами противолежащих им углов. В классическом виде она формулируется для плоского треугольника в евклидовой геометрии, но имеет фундаментальные обобщения для сферической геометрии и геометрии Лобачевского.

Теорема является одним из фундаментальных результатов тригонометрии и находит широкое применение при решении треугольников, в астрономии, геодезии и других областях науки^[1].

⚠️Подсказка для ОГЭ/ЕГЭ
Теорема синусов — одна из двух главных теорем для решения треугольников (вторая — теорема косинусов). На экзамене она применяется в задачах по планиметрии и стереометрии.

1. Формулировка
Для любого треугольника со сторонами $a$ , $b$ , $c$ и противолежащими углами $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ :

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$

Расширенная (обобщённая) теорема синусов:

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R$

где $R$ — радиус описанной окружности.
Это равенство нужно уметь использовать в обе стороны:

зная сторону и угол, найти $R$ ;

зная $R$ и угол, найти сторону;

зная сторону и $R$ , найти угол.

2. Когда применять
Теорема синусов работает в двух случаях:

даны два угла и сторона — всегда однозначное решение;

даны две стороны и угол, не заключённый между ними — возможно одно, два или ноль решений.

Теорема косинусов применяется в остальных случаях (две стороны и угол между ними, или три стороны).

3. Как решать
Случай 1: даны два угла и сторона

Найти третий угол: $\gamma =180^{\circ }-\alpha -\beta$

Записать пропорцию:

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$

Выразить неизвестные стороны:

$b={\frac {a\sin \beta }{\sin \alpha }},\qquad c={\frac {a\sin \gamma }{\sin \alpha }}$

Случай 2: даны две стороны и угол, не заключённый между ними
Известны $a$ , $b$ , $\alpha$ . Найти $\beta$ :

$\sin \beta ={\frac {b\sin \alpha }{a}}$

Далее нужно проверить:

если $\sin \beta >1$ — треугольника не существует;

если $\sin \beta =1$ — один прямоугольный треугольник;

если $\sin \beta <1$ и $\alpha$ острый — возможны два треугольника (при $b>a$ ) или один (при $b\leq a$ или $\beta$ тупой).

4. Следствия, которые используются на экзамене

Площадь треугольника:

$S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma ={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha ={\frac {1}{2}}ac\sin \beta$

Радиус описанной окружности:

$R={\frac {a}{2\sin \alpha }}={\frac {b}{2\sin \beta }}={\frac {c}{2\sin \gamma }}$

Из теоремы следует, что в треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

5. Пример задачи
В треугольнике $ABC$ : $a=10$ , $\alpha =30^{\circ }$ , $\beta =45^{\circ }$ . Найти $b$ .
Решение:

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}$

$b={\frac {a\sin \beta }{\sin \alpha }}={\frac {10\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}}{\frac {1}{2}}}=10{\sqrt {2}}\approx 14{,}1$

6. Частые ошибки на экзамене

Применяют теорему синусов, когда нужна теорема косинусов (например, даны три стороны).

Забывают про второй возможный угол: если $\sin \beta =0{,}7$ , то $\beta \approx 44^{\circ }$ или $\beta \approx 136^{\circ }$ — оба надо проверить.

Не проверяют, что сумма углов не превышает $180^{\circ }$ .

Путают формулу площади: в ней стоит синус угла между двумя сторонами, не противолежащего.

7. Что нужно знать наизусть

Основная пропорция:

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R$

Формула площади:

$S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma$

Формула радиуса описанной окружности:

$R={\frac {a}{2\sin \alpha }}$

Вот итоговый сокращённый и викифицированный вариант текста с возвращёнными на свои места оригинальными сносками (тегами `Ошибка в сносках^?: Отсутствует закрывающий тег </ref>. Вместо современных синусов он использовал хорды, однако его методы опирались на те же геометрические принципы.

Средневековый Восток

Становление тригонометрии как самостоятельной науки произошло в средневековом исламском мире. В X веке математики Абу Махмуд аль-Худжанди и Абу аль-Вафа доказали теорему синусов для сферического треугольника и применяли её в астрономических расчётах^[2]. В XI веке Абу Абдаллах аль-Джайяни в труде «Книга о неизвестных дугах сферы» привёл общее доказательство для сферического случая.

Первое из сохранившихся доказательств теоремы синусов для плоского треугольника принадлежит Насир ад-Дину ат-Туси (XIII век) и содержится в его «Трактате о полном четырёхстороннике», где тригонометрия была систематизирована как отдельная математическая дисциплина^[3]^[4].

Эпоха Возрождения

В Европе теорема синусов получила широкое распространение благодаря Региомонтану (Иоганн Мюллер). В труде «De triangulis omnimodis libri quinque» (1464, опубликован в 1533 году) она была изложена систематически и применена к решению различных задач^[5]. Региомонтан окончательно выделил тригонометрию из астрономии, утвердив её как самостоятельную область математики^[6].

Современный период

К XVII—XVIII векам теорема синусов вошла в стандартные учебные курсы и стала неотъемлемой частью школьного и университетского образования. С развитием математического анализа и дифференциальной геометрии она получила современную формулировку и сохранила фундаментальное значение в геометрии, физике и инженерном деле^[7].

Существуют два варианта теоремы^[8].

Теорема. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}

где $a$ , $b$ , $c$ — стороны треугольника, а $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ — противолежащие им углы соответственно^[9].

Теорема. Для произвольного треугольника справедливо равенство:

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R,

где:

$a$ , $b$ , $c$ — стороны треугольника;
$\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ — соответственно противолежащие им углы;
$R$ — радиус окружности, описанной около треугольника^[10].

Из теоремы синусов вытекают важные следствия:

В треугольнике против большего угла лежит бо́льшая сторона, и наоборот, против большей стороны лежит больший угол^[11].
Отношение сторон треугольника равно отношению синусов противолежащих углов:

{\frac {a}{b}}={\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }},\quad {\frac {b}{c}}={\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }},\quad {\frac {a}{c}}={\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma }}

Площадь треугольника может быть выражена через теорему синусов:

S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma ={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha ={\frac {1}{2}}ac\sin \beta

^[12].

Доказательство обычной теоремы синусов

Геометрическое доказательство

Файл:Law of sines proof.svg

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ . Проведём высоту $h_{b}$ , опущенную на сторону $b$ (или её продолжение).

Из определения синуса в прямоугольных треугольниках получаем:

h_{b}=a\sin \gamma =c\sin \alpha

Отсюда следует:

a\sin \gamma =c\sin \alpha \Rightarrow {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {c}{\sin \gamma }}

Аналогично, проводя высоты к другим сторонам, получаем:

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}

Объединяя полученные равенства, имеем:

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}

Что и требовалось доказать. ∎

Доказательство расширенной теоремы синусов

Доказательство через описанную окружность

Достаточно доказать, что ${\frac {a}{\sin \alpha }}=2R$ .

Проведём диаметр $BG$ (где $B$ — вершина треугольника, а $G$ — точка на окружности, диаметрально противоположная $B$ ) описанной окружности треугольника $ABC$ .

По свойству углов, вписанных в окружность:

Угол $GCB$ опирается на диаметр, следовательно, он прямой: $\angle GCB=90^{\circ }$ .
Угол $CGB$ равен либо $\alpha$ (если точки $A$ и $G$ лежат по одну сторону от прямой $BC$ ), либо $180^{\circ }-\alpha$ (если точки лежат по разные стороны).

Поскольку $\sin(180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ , в обоих случаях получаем:

\sin \angle CGB=\sin \alpha

Из прямоугольного треугольника $GCB$ :

\sin \angle CGB={\frac {BC}{BG}}={\frac {a}{2R}}

Следовательно:

\sin \alpha ={\frac {a}{2R}}\Rightarrow a=2R\sin \alpha \Rightarrow {\frac {a}{\sin \alpha }}=2R

Аналогично доказывается для остальных сторон, откуда:

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R

∎

Доказательство через площадь треугольника

Воспользуемся двумя формулами для нахождения площади треугольника:

$S={\frac {abc}{4R}}$ (формула через радиус описанной окружности)
$S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma$ (формула через две стороны и угол между ними)

Приравнивая правые части, получаем систему:

{\begin{cases}{\frac {abc}{4R}}={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma \\{\frac {abc}{4R}}={\frac {1}{2}}ac\sin \beta \\{\frac {abc}{4R}}={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha \end{cases}}

После сокращения на общие множители:

{\begin{cases}{\frac {c}{2R}}=\sin \gamma \\{\frac {b}{2R}}=\sin \beta \\{\frac {a}{2R}}=\sin \alpha \end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}2R={\frac {c}{\sin \gamma }}\\2R={\frac {b}{\sin \beta }}\\2R={\frac {a}{\sin \alpha }}\end{cases}}

Отсюда получаем искомое равенство:

2R={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}

∎

Теорема синусов применяется для решения треугольников в следующих случаях.

Случай 1: даны две стороны и угол не между ними

Если известны стороны $a$ , $b$ и угол $\alpha$ , противолежащий стороне $a$ , то:

\sin \beta ={\frac {b\sin \alpha }{a}}

Затем находим третий угол: $\gamma =180^{\circ }-\alpha -\beta$ и третью сторону по теореме синусов.

Замечание. В этом случае возможно два решения, если $a<b$ и $\alpha$ — острый угол (неоднозначный случай).

Случай 2: даны два угла и сторона

Если известны углы $\alpha$ , $\beta$ и сторона $a$ , то:

Находим третий угол: $\gamma =180^{\circ }-\alpha -\beta$
Находим остальные стороны:

b={\frac {a\sin \beta }{\sin \alpha }},\quad c={\frac {a\sin \gamma }{\sin \alpha }}

Пример решения задачи

Задача. В треугольнике $ABC$ сторона $a=10$ см, угол $\alpha =30^{\circ }$ , угол $\beta =45^{\circ }$ . Найти стороны $b$ и $c$ .

Пример решения задачи на применение теоремы синусов

Решение.

1. Находим третий угол: $\gamma =180^{\circ }-30^{\circ }-45^{\circ }=105^{\circ }$

2. По теореме синусов:

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}

3. Находим сторону $b$ :

b={\frac {a\sin \beta }{\sin \alpha }}={\frac {10\cdot \sin 45^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}}={\frac {10\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}}{\frac {1}{2}}}=10{\sqrt {2}}\approx 14.14

см

4. Находим сторону $c$ :

c={\frac {a\sin \gamma }{\sin \alpha }}={\frac {10\cdot \sin 105^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}}={\frac {10\cdot 0.9659}{0.5}}\approx 19.32

см

Ответ: $b\approx 14.14$ см, $c\approx 19.32$ см.

Сферическая теорема синусов

Для треугольника на сфере единичного радиуса со сторонами $a$ , $b$ , $c$ (измеренными в радианах как центральные углы) и противолежащими углами $A$ , $B$ , $C$ справедлива сферическая теорема синусов^[13]:

{\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}

Эта теорема находит применение в астрономии, навигация и геодезия^[14].