Теорема синусов

Теоре́ма си́нусов — теорема, устанавливающая зависимость между длинами сторон треугольника и величиной противолежащих им углов. Существуют два варианта теоремы; обычная теорема синусов:

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}

и расширенная теорема синусов:

Для произвольного треугольника

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R,

где $a$ , $b$ , $c$ — стороны треугольника, $\alpha ,\beta ,\gamma$ — соответственно противолежащие им углы, а $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника.

Доказательство обычной теоремы синусов

Воспользуемся только определением высоты $h_{b}$ треугольника, опущенной на сторону b, и синуса для двух углов:

h_{b}=a\sin \gamma =c\sin \alpha

. Следовательно,

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {c}{\sin \gamma }}

, что и требовалось доказать. Повторив те же рассуждения для двух других сторон треугольника, получаем окончательный вариант обычной теоремы синусов. ∎

Доказательство расширенной теоремы синусов

Доказательство

Достаточно доказать, что

{\frac {a}{\sin \alpha }}=2R.

Проведем диаметр $|BG|$ для описанной окружности. По свойству углов, вписанных в окружность, угол $GCB$ прямой, а угол $CGB$ равен либо $\alpha$ , если точки $A$ и $G$ лежат по одну сторону от прямой $BC$ , либо $\pi -\alpha$ в противном случае. Поскольку $\sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha$ , в обоих случаях получаем

a=2R\sin \alpha

.

Повторив то же рассуждение для двух других сторон треугольника, получаем:

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R.

∎

Доказательство через формулы нахождения площади треугольника

Возьмем две формулы для нахождения площади треугольника $S={\frac {abc}{4R}}$ и $S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma .$

${\begin{cases}{\frac {abc}{4R}}={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma \\{\frac {abc}{4R}}={\frac {1}{2}}ac\sin \beta \\{\frac {abc}{4R}}={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha \end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}{\frac {c}{2R}}=\sin \gamma \\{\frac {b}{2R}}=\sin \beta \\{\frac {a}{2R}}=\sin \alpha \end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}2R={\frac {c}{\sin \gamma }}\\2R={\frac {b}{\sin \beta }}\\2R={\frac {a}{\sin \alpha }}\end{cases}}\Leftrightarrow 2R={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}.$ ∎

В треугольнике против большего угла лежит бо́льшая сторона, против большей стороны лежит больший угол.

В симплексе

V_{n}={\frac {n-1}{n}}\cdot {\frac {{V_{n-1}^{i}}{V_{n-1}^{j}}}{V_{n-2}^{i,j}}}\cdot \sin {A_{i,j}},

где $A_{i,j}$ — угол между гранями $V_{n-1}^{i}$ и $V_{n-1}^{j}$ ; $V_{n-2}^{i,j}$ — общая грань $V_{n-1}^{i}$ и $V_{n-1}^{j}$ ; $V_{n}$ — объём симплекса.

В первой главе Альмагеста (около 140 года н. э.) теорема синусов используется, но явно не формулируется^[1].
Древнейшее из дошедших до нас доказательств теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике» написанной в XIII веке^[2].
Теорема синусов для сферического треугольника была доказана математиками средневекового Востока ещё в X веке^[3]. В труде Ал-Джайяни XI века «Книга о неизвестных дугах сферы» приводилось общее доказательство теоремы синусов на сфере^[4].

Сферическая теорема синусов
На плоскости Лобачевского с кривизной $-1$ теорема синусов принимает следующую форму:
${\frac {\sin A}{\mathrm {sh} \,a}}={\frac {\sin B}{\mathrm {sh} \,b}}={\frac {\sin C}{\mathrm {sh} \,c}}.$

[1]

[2]

[3]

[4]

Треугольник
Виды треугольников	Прямоугольный Равнобедренный Равносторонний Равнобедренный прямоугольный
Замечательные линии в треугольнике	Медиана Высота Биссектриса Серединный перпендикуляр Средняя линия Описанная и вписанная окружности Прямая Симсона Прямая Эйлера Симедиана Чевиана
Замечательные точки треугольника	Ортоцентр Центроид Инцентр Точка Брокара Точка Вектена Точка Жергонна Точка Лемуана Точка Микеля Точка Нагеля Точки Наполеона Точки Торричелли Центр окружности девяти точек Центр Шпикера Энциклопедия центров треугольника
Основные теоремы	Неравенство треугольника Признаки подобия треугольников Решение треугольников Теорема о внешнем угле треугольника Теорема о сумме углов треугольника Теорема Пифагора Теорема косинусов Теорема синусов Теорема о проекциях Формула Герона
Дополнительные теоремы	Теорема Ван-Обеля Теорема Менелая Теорема Ройшле (Теркема) Теорема Стюарта Теорема тангенсов Теорема котангенсов Теорема Чевы Формулы Мольвейде
Обобщения	Сферический треугольник Гиперболический треугольник Симплекс

Тригонометрия
Общее	Обзор тригонометрии История Использование Функции Обратные Редко используемые Обобщённая тригонометрия
Справочник	Тождества Точные константы Таблицы Единичная окружность
Законы и теоремы	Теорема синусов Теорема Пифагора Теорема косинусов Теорема тангенсов Теорема котангенсов Решение треугольников
Математический анализ	Тригонометрическая подстановка Интегралы (обратные функции) Производные

Теорема синусов

Доказательства

Доказательство обычной теоремы синусов

Доказательство расширенной теоремы синусов

Вариации и обобщения

История

Вариации и обобщения

Примечания