Единичная окружность

В прямоугольной (декартовой) системе координат на плоскости единичная окружность задаётся уравнением

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.}$

Оно получается непосредственно из теоремы Пифагора: расстояние от начала координат до точки ${\displaystyle (x,y)}$ равно ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$, и условие равенства этого расстояния единице равносильно приведённому равенству. Это и есть уравнение единичной окружности в декартовых координатах, а не просто следствие из её свойств^[16].

В полярной системе координат с полюсом в начале координат уравнение принимает наиболее простой вид:

${\displaystyle r=1,}$

то есть полярный радиус постоянен, а полярный угол ${\displaystyle \varphi }$ пробегает промежуток ${\displaystyle [0,2\pi )}$. Связь с декартовыми координатами даётся формулами ${\displaystyle x=r\cos \varphi }$, ${\displaystyle y=r\sin \varphi }$^[17].

Стандартная (тригонометрическая) параметризация:

${\displaystyle x=\cos t,\qquad y=\sin t,\qquad t\in [0,2\pi ).}$

Наряду с ней используется рациональная параметризация, не содержащая тригонометрических функций:

${\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\qquad y={\frac {2t}{1+t^{2}}},\qquad t\in \mathbb {R} .}$

Она получается пересечением окружности с прямой, проходящей через точку ${\displaystyle A(-1,0)}$ с угловым коэффициентом ${\displaystyle t}$, и покрывает всю окружность, кроме самой точки ${\displaystyle A}$. Подстановка ${\displaystyle t=\operatorname {tg} (\varphi /2)}$ показывает связь обеих параметризаций^[18].

Если плоскость отождествить с комплексной плоскостью, уравнение записывается как ${\displaystyle |z|=1}$, или равносильно ${\displaystyle z{\bar {z}}=1}$^[19].

Пусть ${\displaystyle P}$ — точка единичной окружности, а ${\displaystyle \alpha }$ — угол, на который нужно повернуть луч, идущий из начала координат вдоль положительной полуоси абсцисс, чтобы он прошёл через ${\displaystyle P}$. Угол считается положительным, если поворот выполняется против часовой стрелки, и отрицательным при повороте по часовой стрелке; это соглашение принято повсеместно и существенно, поскольку от него зависит знак синуса^[22]. Тогда по определению

${\displaystyle \cos \alpha =x_{P},\qquad \sin \alpha =y_{P},}$

где ${\displaystyle (x_{P},y_{P})}$ — координаты точки ${\displaystyle P}$. Такое определение распространяет синус и косинус с острых углов прямоугольного треугольника на углы любой величины и любого знака^[23].

Подстановка координат точки в уравнение окружности сразу даёт

${\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1}$

(здесь ${\displaystyle \cos ^{2}\alpha }$ означает ${\displaystyle (\cos \alpha )^{2}}$). Таким образом, основное тригонометрическое тождество — это уравнение единичной окружности, записанное через угол.

Остальные функции также изображаются отрезками. Луч, задающий угол ${\displaystyle \alpha }$, пересекает касательную ${\displaystyle x=1}$ в точке с ординатой ${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha }$, а касательную ${\displaystyle y=1}$ — в точке с абсциссой ${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha }$; отрезки от начала координат до этих точек равны ${\displaystyle \sec \alpha }$ и ${\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha }$ соответственно. Отсюда наглядны формулы

${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }},\qquad \operatorname {ctg} \alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }},\qquad \sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }},\qquad \operatorname {cosec} \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }},}$

а также условия существования: тангенс не определён при ${\displaystyle \cos \alpha =0}$, когда луч параллелен касательной ${\displaystyle x=1}$^[24][25].

Полный оборот возвращает точку на прежнее место, поэтому для всех целых ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \sin(\alpha +2\pi k)=\sin \alpha ,\qquad \cos(\alpha +2\pi k)=\cos \alpha .}$

Знаки функций в каждой из четвертей определяются знаками координат: в первой четверти положительны и синус, и косинус, во второй косинус отрицателен, в третьей отрицательны оба, в четвёртой отрицателен синус. Формулы приведения также получают наглядное истолкование: например, симметрия относительно оси ординат даёт ${\displaystyle \sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha }$ и ${\displaystyle \cos(\pi -\alpha )=-\cos \alpha }$^[26].

Множество ${\displaystyle \mathbb {T} }$ замкнуто относительно умножения и взятия обратного элемента: если ${\displaystyle |z|=|w|=1}$, то ${\displaystyle |zw|=1}$ и ${\displaystyle z^{-1}={\bar {z}}}$ также лежит на окружности. Поэтому ${\displaystyle \mathbb {T} }$ — подгруппа мультипликативной группы ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}=\mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ненулевых комплексных чисел. Отметим, что говорить о «группе комплексных чисел по умножению» без исключения нуля нельзя: у нуля нет обратного элемента^[30].

Умножение на число ${\displaystyle e^{i\beta }}$ геометрически означает поворот плоскости на угол ${\displaystyle \beta }$, поэтому ${\displaystyle \mathbb {T} }$ изоморфна группе вращений плоскости ${\displaystyle SO(2)}$. Как топологическая группа и группа Ли она обозначается ${\displaystyle U(1)}$ и играет основную роль в калибровочной теории электромагнитного взаимодействия^[31].

Группа ${\displaystyle \mathbb {T} }$ содержит конечные подгруппы корней ${\displaystyle n}$-й степени из единицы

${\displaystyle \mu _{n}=\left\{e^{2\pi ik/n}:k=0,1,\ldots ,n-1\right\},}$

образующие вершины правильного ${\displaystyle n}$-угольника, вписанного в окружность. Каждая такая подгруппа циклическая порядка ${\displaystyle n}$, а сумма всех корней при ${\displaystyle n\geqslant 2}$ равна нулю. Эти группы существенны в теории Галуа и при решении задачи о делении круга.