Теорема косинусов

Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора и устанавливающая связь между длинами сторон произвольного плоского треугольника и косинусом угла между ними.

Для произвольного плоского треугольника квадрат любой стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Эта зависимость обобщает теорему Пифагора на треугольники без прямого угла.

Теорема косинусов позволяет выразить косинус угла через стороны: cos α = (b² + c² − a²)/(2bc). По знаку выражения b² + c² − a² можно определить остроту, прямой или тупой угол. Из теоремы также выводится формула Герона для площади треугольника: S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)), где p — полупериметр.

Евклид сформулировал утверждения, эквивалентные теореме косинусов, отдельно для острого и тупого угла. Ал-Баттани применил её в сферической геометрии, Региомонтан дал современную формулировку, а Франсуа Виет популяризовал в Европе.

Теорему косинусов можно обобщить на четырёхугольники, связывая длины сторон и диагоналей с косинусом угла между определёнными прямыми. Это обобщение также применимо к тетраэдру, где позволяет вычислить косинус угла между скрещивающимися рёбрами по всем рёбрам фигуры.

Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора на произвольные плоские треугольники.

Для плоского треугольника со сторонами $a,b,c$ и углом $\alpha$ , противолежащим стороне $a$ , справедливо соотношение:

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha .

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними^[1]

Доказательства

Классическое доказательство

Рассмотрим треугольник ABC. Из вершины C на сторону AB опущена высота CD. Из треугольника ADC следует:

AD=b\cos \alpha

,

откуда

DB=c-b\cos \alpha

.

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

h^{2}=b^{2}-(b\cos \alpha )^{2}\qquad \qquad \qquad (1)

h^{2}=a^{2}-(c-b\cos \alpha )^{2}\qquad \qquad (2)

Приравниваем правые части уравнений (1) и (2) и:

b^{2}-(b\cos \alpha )^{2}=a^{2}-(c-b\cos \alpha )^{2}

или

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha

.

Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному.

Выражения для сторон b и c:

b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma

.

Доказательство через координаты

Одним из доказательств является доказательство её в координатной плоскости.

Внесём в координатную плоскость произвольный треугольник ABC так, чтобы точка А совпала с началом координат, а прямая АВ лежала на прямой ОХ. Введём обозначения AB=c, AC=b, CB=a, a угол CAB=α(пока будем считать что α≠90°).
Тогда точка A имеет координаты (0;0), точка B(c;0). Через функцию sin и cos, а также сторону АС=b выведем координаты точки С. С(b×cosα;b×sinα). Координаты точки С остаются неизменными при тупом и остром угле α.
Зная координаты С и B, а также зная, что CB=a, найдя длину отрезка, мы можем составить равенство:
$a^{2}=(b\cos {a}-c)^{2}+b^{2}\sin ^{2}{a}$
$a^{2}=b^{2}\cos ^{2}{a}-2bc\cos {a}+c^{2}+b^{2}\sin ^{2}{a}$
$a^{2}=b^{2}(\cos ^{2}{a}+\sin ^{2}{a})+c^{2}-2bc\cos {a}$
Так как
$\cos ^{2}{a}+\sin ^{2}{a}=1$ (основное тригонометрическое тождество), то
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos {a}$
Теорема доказана.
Для прямого угла α, теорема также работает cos90°=0 и a²=b²+с² - известная всем теорема Пифагора. Но так как в основе координатного метода лежит теорема Пифагора, то доказательство её через теорему косинусов не совсем правильно.

Доказательство через векторы

Ниже подразумеваются операции над векторами, а не длинами отрезков $AC=AB+BC=>BC=AC-AB=>BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}-2\cdot AC\cdot AB$

Так как скалярное произведение векторов равно произведению их модулей (длин) на косинус угла между ними, последнее выражение можно переписать:
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha$
где a, b, c -- длины соответствующих векторов

Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника
$\cos {\alpha }={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$

В частности,

Если $b^{2}+c^{2}-a^{2}>0$ , угол α — острый
Если $b^{2}+c^{2}-a^{2}=0$ , угол α — прямой (если угол α прямой, то теорема косинусов становится теоремой Пифагора)
Если $b^{2}+c^{2}-a^{2}<0$ , угол α — тупой

Теорема косинусов может быть записана также в следующем виде^[2]:

a^{2}=(b+c)^{2}-4\cdot b\cdot c\cdot \cos ^{2}(\alpha /2)

,

a^{2}=(b-c)^{2}+4\cdot b\cdot c\cdot \sin ^{2}(\alpha /2)

.

Доказательство

Последние две формулы мгновенно следуют из основной формулы теоремы косинусов (см. в рамке выше), если в правой её части воспользоваться формулами разложения квадрата суммы (для второй формулы - квадрата разности) двух членов на квадратный трехчлен, являющийся полным квадратом. Для получения окончательного результата (двух формул выше) в правой части надо еще воспользоваться известными тригонометрическими формулами:

1+\cos \alpha =2\cdot \cos ^{2}(\alpha /2)

,

1-\cos \alpha =2\cdot \sin ^{2}(\alpha /2)

.

Кстати, вторая формула формально не содержит косинусов, но её все равно именуют теоремой косинусов.

Находя из двух последних формул в явном виде $\cos(\alpha /2)$ и $\sin(\alpha /2)$ , получим известные формулы геометрии^[2]:
$\cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {p(p-a)}{bc}}}$ , $\sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {(p-b)(p-c)}{bc}}}$ , $\operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}}$ , где p — полупериметр.
Наконец, используя правые части формул для $\cos(\alpha /2)$ и $\sin(\alpha /2)$ и известную формулу площади треугольника: $S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha$ , а также известную формулу синуса двойного угла $\sin \alpha =2\sin(\alpha /2)\cos(\alpha /2)$ после небольших преобразований получим известную формулу Герона для площади треугольника: $S_{\triangle ABC}={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$ , где p — полупериметр.

Для других углов

Теорема косинусов для двух других углов имеет вид:

c^{2}\ =a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma

b^{2}\ =a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta

Из этих и из основной формулы могут быть выражены углы:

\alpha =\arccos \left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)

\beta =\arccos \left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}\right)

\gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)

Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги «Начал» Евклида.

Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях ал-Баттани.^[3]^:105 Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал Региомонтан, назвав её «теоремой Альбатегния» по имени ал-Баттани.

В Европе теорему косинусов популяризовал Франсуа Виет в XVI столетии. В начале XIX столетия её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.

Теоремы косинусов (сферическая геометрия) или Теорема косинусов для трёхгранного угла.
Теоремы косинусов (геометрия Лобачевского)
Тождество параллелограмма. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон (см. также Теорема Птолемея):
$AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}.$

Для евклидовых нормированных пространств

Пусть в евклидовом пространстве $E$ задана норма, ассоциированная со скалярным произведением, то есть $\left\Vert {\vec {a}}\right\Vert ={\sqrt {({\vec {a}},{\vec {a}})}}$ . Тогда теорема косинусов формулируется следующим образом:

Теорема.
$\left\Vert {\vec {a}}-{\vec {b}}\right\Vert ^{2}=\left\Vert {\vec {a}}\right\Vert ^{2}+\left\Vert {\vec {b}}\right\Vert ^{2}-2({\vec {a}},{\vec {b}})$

Для четырёхугольников

Возводя в квадрат тождество ${\overline {AD}}={\overline {AB}}+{\overline {BC}}+{\overline {CD}}$ можно получить утверждение, иногда называемое теоремой косинусов для четырёхугольников:

d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab\cos \angle B-2ac\cos \omega -2bc\cos \angle C

, где

\omega

— угол между прямыми AB и CD.

Или иначе:

d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab\cos \angle B+2ac\cos(\angle A+\angle D)-2bc\cos \angle C

Формула справедлива и для тетраэдра, под

w

подразумевается угол между скрещивающимися ребрами.

С помощью неё можно найти косинус угла между скрещивающимися ребрами

a

и

c

зная все ребра тетраэдра:

\cos w=(b^{2}+d^{2}-e^{2}-f^{2})/2ac

Где

b

и

d

,

e

и

f

пары скрещивающихся ребер тетраэдра.

Косвенный аналог для четырёхугольника

Соотношение Бретшнайдера — соотношение в четырёхугольнике, косвенный аналог теоремы косинусов:

Между сторонами a, b, c, d и противоположными углами $\alpha ,\gamma$ и диагоналями e, f простого (несамопересекающегося) четырёхугольника выполняется соотношение:

$e^{2}f^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma )$

Если четырёхугольник вырождается в треугольник, и одна вершина попадает на сторону, то получается теорема Стюарта.
Теорема косинусов для треугольника является частным случаем соотношения Бретшнайдера, если в качестве четвёртой вершины выбрать центр описанной окружности треугольника.

Симплексы

S_{i}S_{j}\cos \angle A={\frac {(-1)^{(n-1+i+j)}}{2^{n-1}((n-1)!)^{2}}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&\dots &1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&\dots &d_{1(n+1)}^{2}\\1&d_{21}^{2}&0&d_{23}^{2}&\dots &d_{2(n+1)}^{2}\\1&d_{31}^{2}&d_{32}^{2}&0&\dots &d_{3(n+1)}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&d_{(n+1)1}^{2}&d_{(n+1)2}^{2}&d_{(n+1)3}^{2}&\dots &0\\\end{vmatrix}}

при этом мы должны зачеркнуть строку и столбец, где находится $d_{ij}$ или $d_{ji}$ .

A — угол между гранями $S_{i}$ и $S_{j}$ , $S_{i}$ -грань, находящаяся против вершины i, $d_{ij}$ - расстояние между вершинами i и j.

↑ Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 7—9: учеб. для общеобразоват. учреждений — 15-е изд. — М.: Просвещение, 2005. — С. 257. — 384 с.: ил. — ISBN 5-09-014398-6
↑ ¹ ² Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — С. 51. — 832 с.
↑ Florian Cajori. A History of Mathematics — 5th edition 1991

Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 84—85. — ISBN 5-94057-170-0.

[1] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 7—9: учеб. для общеобразоват. учреждений — 15-е изд. — М.: Просвещение, 2005. — С. 257. — 384 с.: ил. — ISBN 5-09-014398-6

[Корн-2] ¹ ² Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — С. 51. — 832 с.

[cajori-3] Florian Cajori. A History of Mathematics — 5th edition 1991

[1]

[2]

[3]

Треугольник
Виды треугольников	Прямоугольный Равнобедренный Равносторонний Равнобедренный прямоугольный
Замечательные линии в треугольнике	Медиана Высота Биссектриса Серединный перпендикуляр Средняя линия Описанная и вписанная окружности Прямая Симсона Прямая Эйлера Симедиана Чевиана
Замечательные точки треугольника	Ортоцентр Центроид Инцентр Точка Брокара Точка Вектена Точка Жергонна Точка Лемуана Точка Микеля Точка Нагеля Точки Наполеона Точки Торричелли Центр окружности девяти точек Центр Шпикера Энциклопедия центров треугольника
Основные теоремы	Неравенство треугольника Признаки подобия треугольников Решение треугольников Теорема о внешнем угле треугольника Теорема о сумме углов треугольника Теорема Пифагора Теорема косинусов Теорема синусов Теорема о проекциях Формула Герона
Дополнительные теоремы	Теорема Ван-Обеля Теорема Менелая Теорема Ройшле (Теркема) Теорема Стюарта Теорема тангенсов Теорема котангенсов Теорема Чевы Формулы Мольвейде
Обобщения	Сферический треугольник Гиперболический треугольник Симплекс

Тригонометрия
Общее	Обзор тригонометрии История Использование Функции Обратные Редко используемые Обобщённая тригонометрия
Справочник	Тождества Точные константы Таблицы Единичная окружность
Законы и теоремы	Теорема синусов Теорема Пифагора Теорема косинусов Теорема тангенсов Теорема котангенсов Решение треугольников
Математический анализ	Тригонометрическая подстановка Интегралы (обратные функции) Производные

Теорема косинусов

Формулировка

Доказательства

Следствия

Для других углов

История

Вариации и обобщения

Для евклидовых нормированных пространств

Для четырёхугольников

Косвенный аналог для четырёхугольника

Симплексы

См. также

Примечания

Литература

Дополнительно по теме

Категории