Монотонная функция

Пусть дана функция ${\displaystyle f:M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .}$ Тогда

• функция ${\displaystyle f}$ называется возраста́ющей на ${\displaystyle M}$, если

${\displaystyle \forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)\geq f(y)}$.

• функция ${\displaystyle f}$ называется стро́го возраста́ющей на ${\displaystyle M}$, если

${\displaystyle \forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)>f(y)}$.

• функция ${\displaystyle f}$ называется убыва́ющей на ${\displaystyle M}$, если

${\displaystyle \forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)\leq f(y)}$.

• функция ${\displaystyle f}$ называется стро́го убыва́ющей на ${\displaystyle M}$, если

${\displaystyle \forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)<f(y)}$.

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

Иногда под терминами возрастающая (убывающая) функция подразумевается строго возрастающая (убывающая) функция. Тогда про нестрого возрастающую (убывающую) функцию говорят, неубывающая (невозрастающая)^[2]:

• Функция ${\displaystyle f(x)}$ называется возрастающей на некотором интервале, если для любых двух точек ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ этого интервала, таких что ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$, справедливо ${\displaystyle f(x_{1})<f(x_{2})}$. Другими словами, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
• Функция ${\displaystyle f(x)}$ называется убывающей на некотором интервале, если для любых двух точек ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ этого интервала, таких что ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$, справедливо ${\displaystyle f(x_{1})>f(x_{2})}$. Другими словами, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
• Функция ${\displaystyle f(x)}$ называется неубывающей на некотором интервале, если для любых двух точек ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ этого интервала, таких что ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$, справедливо ${\displaystyle f(x_{1})\leq f(x_{2})}$.
• Функция ${\displaystyle f(x)}$ называется невозрастающей на некотором интервале, если для любых двух точек ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ этого интервала, таких что ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$, справедливо ${\displaystyle f(x_{1})\geq f(x_{2})}$.
• Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными, неубывающие и невозрастающие функции — монотонными.

• Монотонная функция, определённая на интервале, измерима относительно борелевских сигма-алгебр.
• Монотонная функция, ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} ,}$ определённая на замкнутом интервале, ограничена. В частности, она интегрируема по Лебегу.
• Монотонная функция может иметь разрывы только первого рода. В частности, множество точек разрыва не более чем счётно.
• Монотонная функция ${\displaystyle f:(a,b)\to \mathbb {R} }$ дифференцируема почти всюду относительно меры Лебега.

• (Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция ${\displaystyle f\in C{\bigl (}(a,b){\bigr )}}$ непрерывна на ${\displaystyle (a,b),}$ и имеет в каждой точке ${\displaystyle x\in (a,b)}$ производную ${\displaystyle f'(x).}$ Тогда

  ${\displaystyle f}$ не убывает на ${\displaystyle (a,b)}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \forall x\in (a,b)\;f'(x)\geq 0;}$

  ${\displaystyle f}$ не возрастает на ${\displaystyle (a,b)}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \forall x\in (a,b)\;f'(x)\leq 0.}$

• (Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция ${\displaystyle f\in C{\bigl (}(a,b){\bigr )}}$ непрерывна на ${\displaystyle (a,b),}$ и имеет в каждой точке ${\displaystyle x\in (a,b)}$ производную ${\displaystyle f'(x).}$ Тогда

  если ${\displaystyle \forall x\in (a,b)\;f'(x)>0,}$ то ${\displaystyle f}$ строго возрастает на ${\displaystyle (a,b);}$

  если ${\displaystyle \forall x\in (a,b)\;f'(x)<0,}$ то ${\displaystyle f}$ строго убывает на ${\displaystyle (a,b).}$

Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале ${\displaystyle (a,b).}$ Точнее имеет место

• (Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть ${\displaystyle f\in C{\bigl (}(a,b){\bigr )},}$ и всюду на интервале определена производная ${\displaystyle f'(x).}$ Тогда ${\displaystyle f}$ строго возрастает на интервале ${\displaystyle (a,b)}$ тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1. ${\displaystyle \forall x\in (a,b)\;f'(x)\geq 0;}$
2. ${\displaystyle \forall (c,d)\subset (a,b)\;\exists x\in (c,d)\;f'(x)>0.}$

Аналогично, ${\displaystyle f}$ строго убывает на интервале ${\displaystyle (a,b)}$ тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1. ${\displaystyle \forall x\in (a,b)\;f'(x)\leq 0;}$
2. ${\displaystyle \forall (c,d)\subset (a,b)\;\exists x\in (c,d)\;f'(x)<0.}$

• Функция ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ строго возрастает на всей числовой прямой, несмотря на то, что точка ${\displaystyle x=0}$ является стационарной, то есть в этой точке ${\displaystyle f'(x)=0}$.
• Функция ${\displaystyle f(x)=\sin x}$ является строго возрастающей не только на открытом интервале ${\displaystyle (-\pi /2;\pi /2)}$, но и на замкнутом интервале ${\displaystyle [-\pi /2;\pi /2]}$.
• Экспонента ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ строго возрастает на всей числовой прямой.
• Константа ${\displaystyle f(x)\equiv a,\;a\in \mathbb {R} }$ одновременно не возрастает и не убывает на всей числовой прямой.
• Канторова лестница — пример непрерывной монотонной функции, которая не является константой, но при этом имеет производную равную нулю в почти всех точках.
• Функция Минковского — пример сингулярной строго возрастающей функции.

• Отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ между топологическими пространствами называется монотонным если каждая точка ${\displaystyle y\in Y}$ имеет связный прообраз ${\displaystyle f^{-1}(y)}$.^[3]