Несобственный интеграл

Около 1350 г. Николай Орем суммировал бесконечную геометрическую прогрессию и показал, что существуют неограниченно протяжённые фигуры с конечной площадью. Первые несобственные сходящиеся интегралы вычислили Э. Торричелли (1643) и Роберваль (1642), а затем П. Ферма (1644). При этом Торричелли вычислил несобственный интеграл с бесконечным пределом, а Роберваль — вначале интеграл от разрывной функции, а затем и первый интеграл. Работа Торричелли произвела сенсацию. Используя «неделимые», он установил условия, при которых тело вращения имеет конечный объём, то есть в некотором смысле нашёл «условия сходимости» интеграла с бесконечным пределом.

Парадоксы, возникающие при вычислении интегралов от разрывных функций, были отмечены Эйлером и Д’Аламбером (при этом Эйлер обращался с несобственными интегралами, как с обыкновенными). Лагранж посвятил им мемуар (1775). Вопрос приобрёл чёткость и ясность у О. Коши (результаты 1814 г. опубликованы в 1823 г.). Он ввёл понятие главного значения несобственного интеграла, предложив для него это название (Риман и Кронекер оспаривали необходимость введения этого понятия). Признаки равномерной сходимости интегралов доказал Валле-Пуссен (1892). Слово несобственный вошло в математику с работами Штуди (1901). Различать условно и абсолютно сходящиеся несобственные интегралы стали после работ Дж. Стокса и П. Дирихле (1854)^[2].

Определённый интеграл как предел интегральных сумм Римана может существовать (иметь определённое конечное значение) лишь для ограниченных функций, заданных на конечном промежутке. Поэтому, если промежуток интегрирования или интегрируемая функция не ограничены, для определения интеграла требуется ещё один предельный переход, получающиеся при этом интегралы называют несобственными^[3].

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется по крайней мере одно из следующих условий:

• область интегрирования является бесконечной. Например, является бесконечным промежутком ${\displaystyle [a,+\infty )}$;
• функция ${\displaystyle f(x)}$ является неограниченной в окрестности некоторых точек области интегрирования^[3].

Если для некоторого числа ${\displaystyle a}$ функция ${\displaystyle f(x)}$ интегрируема на любом конечном отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, ${\displaystyle b>a}$ и если существует ${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int \limits _{a}^{b}f(x)dx}$, то его называют несобственным интегралом функции ${\displaystyle f(x)}$ на промежутке ${\displaystyle [a,\infty )}$ и обозначают ${\displaystyle \int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx}$.

Понятие несобственного интеграла первого рода является обобщением понятия определённого интеграла на случай, когда область, по которой производится интегрирование, является бесконечной. На прямой ${\displaystyle -\infty <x<+\infty }$ существуют три типа бесконечных связных замкнутых множеств:

1. Полупрямая ${\displaystyle a\leq x<+\infty }$.
2. Полупрямая ${\displaystyle -\infty <x\leq b}$.
3. Вся бесконечная прямая ${\displaystyle -\infty <x<+\infty }$.

Рассмотрим первый случай. Пусть ${\displaystyle f(x)}$ определена на полупрямой ${\displaystyle a\leq x<+\infty }$ и для любого числа ${\displaystyle A\geq a}$ существует определённый интеграл Римана ${\displaystyle F(A)=\int \limits _{a}^{A}f(x)dx}$.

Предел ${\displaystyle \lim _{A\to +\infty }F(A)=\lim _{A\to +\infty }\int \limits _{a}^{A}f(x)dx}$ в случае, если он существует, называется несобственным интегралом Римана первого рода от функции ${\displaystyle f(x)}$ по полупрямой ${\displaystyle [a,+\infty )}$ и обозначается символом ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx}$.

При этом говорят, что несобственный интеграл сходится и записывают: ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx=\lim _{A\to +\infty }\int \limits _{a}^{A}f(x)dx}$. Если же указанного выше предела не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Аналогично определяются несобственные интегралы по полупрямой ${\displaystyle -\infty <x\leq b}$, обозначается ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{b}f(x)dx,}$и по всей бесконечной прямой ${\displaystyle -\infty <x<+\infty }$, обозначается ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx.}$

Из этих определений следует, что если для некоторого вещественного числа ${\displaystyle a}$ сходится каждый из несобственных интегралов ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{a}f(x)dx}$ и ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx}$, то сходится и несобственный интеграл ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx}$, причём справедливо равенство

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=\int \limits _{-\infty }^{a}f(x)dx+\int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx}$^[4].

Сходимость несобственного интеграла ${\displaystyle \int \limits _{0}^{+\infty }{dx \over 1+x^{2}}}$ обусловлена тем, что функция ${\displaystyle f(x)={1 \over 1+x^{2}}}$ при любом ${\displaystyle A>0}$ интегрируема на сегменте ${\displaystyle [0,A]}$. Причём для неё ${\displaystyle F(A)=\int \limits _{0}^{A}{dx \over 1+x^{2}}=\operatorname {arctg} x{\Bigr |}_{0}^{A}=\operatorname {arctg} A}$. Тогда

${\displaystyle \lim _{A\to +\infty }F(A)=\lim _{A\to +\infty }\operatorname {arctg} A=\pi /2}$. Поэтому несобственный интеграл ${\displaystyle \int \limits _{0}^{+\infty }{dx \over 1+x^{2}}}$ сходится и для него справедливо равенство ${\displaystyle \int \limits _{0}^{+\infty }{dx \over 1+x^{2}}=\pi /2}$.

Для сходимости несобственного интеграла первого рода необходимо и достаточно, чтобы для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ можно было указать такое ${\displaystyle B>a}$, что для любых ${\displaystyle A_{1}}$ и ${\displaystyle A_{2}}$, превосходящих ${\displaystyle B}$, выполняется условие ${\displaystyle \left|\,\int \limits _{A_{1}}^{A_{2}}f(x)dx\right|<\varepsilon }$.

Поскольку критерий Коши мало удобен для практических применений, указывают различные достаточные признаки сходимости несобственных интегралов. В дальнейшем допускается, что функция ${\displaystyle f(x)}$ задана на полупрямой ${\displaystyle a\leq x<+\infty }$ и для любого ${\displaystyle A\geq a}$ существует обычный интеграл ${\displaystyle \int \limits _{a}^{A}f(x)dx}$.

Пусть на полупрямой ${\displaystyle a\leq x<+\infty }$ выполняется условие ${\displaystyle |f(x)|\leq {\text{g}}(x)}$. Тогда из сходимости интеграла ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }{\text{g}}(x)dx}$ вытекает сходимость интеграла ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx}$.

Пусть на полупрямой ${\displaystyle 0<a\leq x<+\infty }$ функция ${\displaystyle f(x)}$ удовлетворяет соотношению ${\displaystyle |f(x)|\leq c/x^{\lambda }}$, где ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle \lambda }$ — постоянные, ${\displaystyle \lambda >1}$. Тогда интеграл ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx}$ сходится. Если же существует такая постоянная ${\displaystyle c>0}$, что на полупрямой ${\displaystyle 0<a\leq x<+\infty }$ справедливо соотношение ${\displaystyle f(x)\geq c/x^{\lambda }}$, в котором ${\displaystyle \lambda \leq 1}$, то интеграл ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx}$ расходится.

Если при ${\displaystyle \lambda >1}$ существует конечный предел ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }|f(x)|x^{\lambda }=c}$ , то интеграл сходится. Если же при ${\displaystyle \lambda \leq 1}$ существует положительный предел ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)x^{\lambda }=c>0}$, интеграл ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx}$ расходится^[5].

Пусть выполнены следующие три условия:

1. Функция ${\displaystyle f(x)}$ непрерывна на полупрямой ${\displaystyle a\leq x<+\infty }$ и имеет на этой полупрямой ограниченную первообразную ${\displaystyle F(x)}$, которая определена как ${\displaystyle \int \limits _{a}^{x}f(t)dt}$ и удовлетворяет для всех ${\displaystyle x\geq a}$ неравенству ${\displaystyle |F(x)|\leq K}$, где ${\displaystyle K}$ — постоянная.
2. Функция ${\displaystyle {\text{g}}(x)}$ определена и монотонно не возрастает на полупрямой ${\displaystyle a\leq x<+\infty }$ и имеет равный нулю предел при ${\displaystyle x\to +\infty }$.
3. Производная ${\displaystyle {\text{g}}'(x)}$ функции ${\displaystyle {\text{g}}(x)}$ существует и непрерывна в каждой точке полупрямой ${\displaystyle a\leq x<+\infty }$.

При выполнении этих условий несобственный интеграл ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx}$ сходится^[5].

Пусть ${\displaystyle f(x)}$ интегрируема по любому сегменту ${\displaystyle [a,A]}$.

Несобственный интеграл ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx}$ называется абсолютно сходящимся, если сходится ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }|f(x)|dx}$.

Несобственный интеграл ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx\ \ }$называется условно сходящимся, если ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx\ \ }$сходится, а интеграл ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }|f(x)|dx\ \ }$расходится.

Пусть выполнены следующие условия:

1. Функция ${\displaystyle f(x)}$ непрерывна на полуоси ${\displaystyle a\leq x<+\infty }$.
2. Полуось ${\displaystyle a\leq x<+\infty }$ является множеством значений некоторой строго монотонной функции ${\displaystyle x={\text{g}}(t)}$, заданной на полуоси ${\displaystyle \alpha \leq t<+\infty }$ (или ${\displaystyle -\infty <t\leq \alpha }$) и имеющей на этой полуоси непрерывную производную.
3. ${\displaystyle {\text{g}}(\alpha )=a}$.

При этих условиях из сходимости одного из следующих несобственных интегралов ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx}$ и ${\displaystyle \int \limits _{\alpha }^{+\infty }f({\text{g}}(t)){\text{g}}'(t)dt}$ (или ${\displaystyle -\int \limits _{-\infty }^{\alpha }f({\text{g}}(t)){\text{g}}'(t)dt}$) вытекает сходимость другого и равенство этих интегралов.

Пусть функции ${\displaystyle u(x)}$ и ${\displaystyle v(x)}$ имеют непрерывные производные на полупрямой ${\displaystyle a\leq x<+\infty }$ и, кроме того, существует предельное значение ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }[u(x)v(x)]=L}$. При этих условиях из сходимости одного из интегралов ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }u(x)v'(x)dx}$ и ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }v(x)u'(x)dx}$ вытекает сходимость другого из этих интегралов и справедливость формулы ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }u(x)v'(x)dx=L-u(a)v(a)-\int \limits _{a}^{+\infty }v(x)u'(x)dx}$^[6].

Понятие несобственного интеграла второго рода является обобщением понятия определённого интеграла на случай неограниченных функций.

Пусть ${\displaystyle f(x)}$ задана на полусегменте ${\displaystyle [a,b)}$. Точку ${\displaystyle b}$ называют особой, если функция не ограничена на полусегменте ${\displaystyle [a,b)}$, но ограничена на любом сегменте ${\displaystyle [a,b-\alpha ]}$, где ${\displaystyle \alpha >0}$, заключённом в полусегменте ${\displaystyle [a,b)}$. Также предполагается, что на любом таком сегменте функция ${\displaystyle f(x)}$ интегрируема. При данных допущениях на полусегменте ${\displaystyle (0,b-a)}$ задана функция аргумента ${\displaystyle \alpha }$: ${\displaystyle F(\alpha )=\int \limits _{a}^{b-\alpha }f(x)dx}$.

Правый предел ${\displaystyle \lim _{\alpha \to +0}\int \limits _{a}^{b-\alpha }f(x)dx}$ в случае, если он существует, называется несобственным интегралом второго рода от функции ${\displaystyle f(x)}$ по сегменту ${\displaystyle [a;b]}$ и обозначается символом ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx}$.

При этом говорят, что несобственный интеграл сходится, и записывают равенство ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{\alpha \to +0}\int \limits _{a}^{b-\alpha }f(x)dx}$. Если указанного выше предела не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится^[7].

Рассмотрим на полусегменте ${\displaystyle [a,b)}$ функцию ${\displaystyle f(x)={1 \over (b-x)^{\lambda }}}$ (${\displaystyle \lambda >0}$), точка ${\displaystyle b}$ является особой точкой. Эта функция интегрируема на любом сегменте ${\displaystyle [a,b-\alpha ]}$, где ${\displaystyle \alpha >0}$, причём ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b-\alpha }{dx \over (b-x)^{\lambda }}={\begin{cases}-{(b-x)^{1-\lambda } \over 1-\lambda }{\Big \vert }_{a}^{b-\alpha }={(b-a)^{1-\lambda }-\alpha ^{1-\lambda } \over 1-\lambda },&{\text{при}}\lambda \neq 1,\\-\ln(b-x){\Big \vert }_{a}^{b-\alpha }=\ln(b-a)-\ln \alpha ,&{\text{при}}\lambda =1.\end{cases}}}$

Предел ${\displaystyle \lim _{\alpha \to +0}\int \limits _{a}^{b-\alpha }{dx \over (b-x)^{\lambda }}}$ существует и равен ${\displaystyle (b-a)^{1-\lambda } \over 1-\lambda }$ при ${\displaystyle \lambda <1}$ и не существует при ${\displaystyle \lambda \geq 1}$. Следовательно, рассматриваемый несобственный интеграл сходится при ${\displaystyle \lambda <1}$ и расходится при ${\displaystyle \lambda \geq 1}$^[7].

Для сходимости несобственного интеграла второго рода необходимо и достаточно, чтобы для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ можно было указать такое ${\displaystyle \delta >0}$, что для любых ${\displaystyle \alpha '}$ и ${\displaystyle \alpha ''}$, удовлетворяющих условию ${\displaystyle 0<\alpha ''<\alpha '<\delta }$, справедливо неравенство${\displaystyle \left|\,\int \limits _{b-\alpha '}^{b-\alpha ''}f(x)dx\right|<\varepsilon }$.

Основные выводы и теоремы, относящиеся к интегралам первого рода, переносятся и на случай интегралов второго рода с некоторыми замечаниями:

• при некоторых ограничениях на подынтегральные функции интегралы второго рода сводятся к интегралам первого рода;
• признаки сравнения формулируются для функции ${\displaystyle f(x)}$, заданной на полусегменте ${\displaystyle [a,b)}$, где ${\displaystyle b}$ — особая точка;
• частный признак сравнения:

Если ${\displaystyle |f(x)|\leq c(b-x)^{-\lambda }}$, где ${\displaystyle \lambda <1}$, то несобственный интеграл ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx}$ сходится. Если же ${\displaystyle f(x)\geq c(b-x)^{-\lambda }}$, где ${\displaystyle c>0}$ и ${\displaystyle \lambda \geq 1}$, то несобственный интеграл расходится;

• правила интегрирования путём замены переменной и интегрирования по частям формулируются аналогично интегралам первого рода^[8].

Пусть функция ${\displaystyle f(x)}$ определена на прямой ${\displaystyle -\infty <x<+\infty }$ и интегрируема на каждом сегменте, принадлежащем этой прямой. Говорят, что функция ${\displaystyle f(x)}$ интегрируема по Коши, если существует предел ${\displaystyle \lim _{A\to +\infty }\,\int \limits _{-A}^{A}f(x)dx}$. Этот предел называют главным значением несобственного интеграла от функции ${\displaystyle f(x)}$ (в смысле Коши).

Главное значение несобственного интеграла обозначают ${\displaystyle {\mathsf {V.p.}}}$ — по начальным буквам французских слов «Valeur principalе» (главное значение). ${\displaystyle {\mathsf {V.p.}}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=\lim _{A\to +\infty }\,\int \limits _{-A}^{A}f(x)dx}$^[9].