Несобственный интеграл

Около 1350 г. Николай Орем суммировал бесконечную геометрическую прогрессию и показал, что существуют неограниченно протяжённые фигуры с конечной площадью. Первые несобственные сходящиеся интегралы вычислили Э. Торричелли (1643) и Роберваль (1642), а затем П. Ферма (1644). При этом Торричелли вычислил несобственный интеграл с бесконечным пределом, а Роберваль — вначале интеграл от разрывной функции, а затем и первый интеграл. Работа Торричелли произвела сенсацию. Используя «неделимые», он установил условия, при которых тело вращения имеет конечный объём, то есть в некотором смысле нашёл «условия сходимости» интеграла с бесконечным пределом.

Парадоксы, возникающие при вычислении интегралов от разрывных функций, были отмечены Эйлером и Д’Аламбером (при этом Эйлер обращался с несобственными интегралами, как с обыкновенными). Лагранж посвятил им мемуар (1775). Вопрос приобрёл чёткость и ясность у О. Коши (результаты 1814 г. опубликованы в 1823 г.). Он ввёл понятие главного значения несобственного интеграла, предложив для него это название (Риман и Кронекер оспаривали необходимость введения этого понятия). Признаки равномерной сходимости интегралов доказал Валле-Пуссен (1892). Слово несобственный вошло в математику с работами Штуди (1901). Различать условно и абсолютно сходящиеся несобственные интегралы стали после работ Дж. Стокса и П. Дирихле (1854)^[2].

Определённый интеграл как предел интегральных сумм Римана может существовать (иметь определённое конечное значение) лишь для ограниченных функций, заданных на конечном промежутке. Поэтому, если промежуток интегрирования или интегрируемая функция не ограничены, для определения интеграла требуется ещё один предельный переход, получающиеся при этом интегралы называют несобственными^[3].

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется по крайней мере одно из следующих условий:

• область интегрирования является бесконечной. Например, является бесконечным промежутком ${\displaystyle [a,+\infty )}$;
• функция ${\displaystyle f(x)}$ является неограниченной в окрестности некоторых точек области интегрирования^[3].

Если для некоторого числа ${\displaystyle a}$ функция ${\displaystyle f(x)}$ интегрируема на любом конечном отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle b> a} и если существует Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \lim_{b \to \infty}\int\limits_{a}^{b} f(x)dx} , то его называют несобственным интегралом функции ${\displaystyle f(x)}$ на промежутке Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle [a,\infty)} и обозначают Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \int\limits_{a}^{\infty} f(x)dx} .

Понятие несобственного интеграла первого рода является обобщением понятия определённого интеграла на случай, когда область, по которой производится интегрирование, является бесконечной. На прямой Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle -\infty<x<+\infty} существуют три типа бесконечных связных замкнутых множеств:

1. Полупрямая Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle a\leq x<+\infty} .
2. Полупрямая Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle -\infty<x\leq b } .
3. Вся бесконечная прямая Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle -\infty<x<+\infty} .

Рассмотрим первый случай. Пусть ${\displaystyle f(x)}$ определена на полупрямой Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle a\leq x<+\infty} и для любого числа Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle A \geq a } существует определённый интеграл Римана Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle F(A)=\int\limits_{a}^{A} f(x)dx } .

Предел Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \lim_{A \to +\infty}F(A)=\lim_{A \to +\infty}\int\limits_{a}^{A} f(x)dx} в случае, если он существует, называется несобственным интегралом Римана первого рода от функции ${\displaystyle f(x)}$ по полупрямой ${\displaystyle [a,+\infty )}$ и обозначается символом ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx}$.

При этом говорят, что несобственный интеграл сходится и записывают: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx=\lim_{A \to +\infty}\int\limits_{a}^{A} f(x)dx} . Если же указанного выше предела не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Аналогично определяются несобственные интегралы по полупрямой Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle -\infty<x\leq b } , обозначается Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{b} f(x)dx,} и по всей бесконечной прямой Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle -\infty<x<+\infty} , обозначается Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx.}

Из этих определений следует, что если для некоторого вещественного числа ${\displaystyle a}$ сходится каждый из несобственных интегралов Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{a} f(x)dx} и ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx}$, то сходится и несобственный интеграл Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx} , причём справедливо равенство

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = \int\limits_{-\infty}^{a} f(x)dx + \int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx} ^[4].

Сходимость несобственного интеграла Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \int\limits_{0}^{+\infty} { dx\over 1+x^2}} обусловлена тем, что функция Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle f(x)= {1 \over 1+x^2}} при любом Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle A >0 } интегрируема на сегменте Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle [0,A] } . Причём для неё Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle F(A)=\int\limits_{0}^{A} { dx\over 1+x^2}=\operatorname{arctg} x\Bigr|_0^{A}=\operatorname{arctg} A } . Тогда

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \lim_{A \to +\infty}F(A)= \lim_{A \to +\infty}\operatorname{arctg} A=\pi/2} . Поэтому несобственный интеграл Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \int\limits_{0}^{+\infty} { dx\over 1+x^2}} сходится и для него справедливо равенство Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \int\limits_{0}^{+\infty} { dx\over 1+x^2}=\pi/2} .

Для сходимости несобственного интеграла первого рода необходимо и достаточно, чтобы для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ можно было указать такое Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle B>a }
, что для любых Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle A_1 }
 и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle A_2 }
, превосходящих ${\displaystyle B}$, выполняется условие Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \left|\,\int\limits_{A_1}^{A_2} f(x)dx\right| < \varepsilon}
.

Поскольку критерий Коши мало удобен для практических применений, указывают различные достаточные признаки сходимости несобственных интегралов. В дальнейшем допускается, что функция ${\displaystyle f(x)}$ задана на полупрямой Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle a\leq x<+\infty} и для любого Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle A \geq a } существует обычный интеграл Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \int\limits_{a}^{A} f(x)dx } .

Пусть на полупрямой Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle a\leq x<+\infty} выполняется условие Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle |f(x)|\leq \text{g}(x)} . Тогда из сходимости интеграла Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \int\limits_{a}^{+\infty} \text{g}(x)dx} вытекает сходимость интеграла ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx}$.

Пусть на полупрямой Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle 0<a\leq x<+\infty} функция ${\displaystyle f(x)}$ удовлетворяет соотношению Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle |f(x)|\leq c/x^\lambda} , где ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle \lambda }$ — постоянные, ${\displaystyle \lambda >1}$. Тогда интеграл ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx}$ сходится. Если же существует такая постоянная ${\displaystyle c>0}$, что на полупрямой Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle 0<a\leq x<+\infty} справедливо соотношение Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle f(x)\geq c/x^\lambda} , в котором Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \lambda \leq 1 } , то интеграл ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx}$ расходится.

Если при ${\displaystyle \lambda >1}$ существует конечный предел Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \lim_{x \to +\infty} |f(x)|x^{\lambda} = c} , то интеграл сходится. Если же при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \lambda \leq 1 } существует положительный предел Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)x^{\lambda} = c>0} , интеграл ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx}$ расходится^[5].

Пусть выполнены следующие три условия:

1. Функция ${\displaystyle f(x)}$ непрерывна на полупрямой Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle a\leq x<+\infty} и имеет на этой полупрямой ограниченную первообразную ${\displaystyle F(x)}$, которая определена как Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \int\limits_{a}^{x} f(t)dt } и удовлетворяет для всех Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle x\geq a} неравенству Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle |F(x)|\leq K} , где ${\displaystyle K}$ — постоянная.
2. Функция Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \text{g}(x)} определена и монотонно не возрастает на полупрямой Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle a\leq x<+\infty} и имеет равный нулю предел при ${\displaystyle x\to +\infty }$.
3. Производная Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \text{g}'(x)} функции Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \text{g}(x)} существует и непрерывна в каждой точке полупрямой Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle a\leq x<+\infty} .

При выполнении этих условий несобственный интеграл ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx}$ сходится^[5].

Пусть ${\displaystyle f(x)}$ интегрируема по любому сегменту Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle [a,A]} .

Несобственный интеграл ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx}$ называется абсолютно сходящимся, если сходится Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \int\limits_{a}^{+\infty} |f(x)|dx }
.

Несобственный интеграл ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx\ \ }$называется условно сходящимся, если ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx\ \ }$сходится, а интеграл ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }|f(x)|dx\ \ }$расходится.

Пусть выполнены следующие условия:

1. Функция ${\displaystyle f(x)}$ непрерывна на полуоси Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle a\leq x<+\infty} .
2. Полуось Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle a\leq x<+\infty} является множеством значений некоторой строго монотонной функции Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle x=\text{g}(t)} , заданной на полуоси Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \alpha\leq t<+\infty} (или Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle -\infty <t\leq\alpha} ) и имеющей на этой полуоси непрерывную производную.
3. Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \text{g}(\alpha)=a} .

При этих условиях из сходимости одного из следующих несобственных интегралов ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx}$ и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \int\limits_{\alpha}^{+\infty} f(\text{g}(t))\text{g}'(t)dt} (или Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle -\int\limits_{-\infty}^{\alpha} f(\text{g}(t))\text{g}'(t)dt} ) вытекает сходимость другого и равенство этих интегралов.

Пусть функции ${\displaystyle u(x)}$ и ${\displaystyle v(x)}$ имеют непрерывные производные на полупрямой Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle a\leq x<+\infty} и, кроме того, существует предельное значение Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \lim_{x \to +\infty} [u(x)v(x)] = L} . При этих условиях из сходимости одного из интегралов Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \int\limits_{a}^{+\infty} u(x)v'(x)dx} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \int\limits_{a}^{+\infty} v(x)u'(x)dx} вытекает сходимость другого из этих интегралов и справедливость формулы Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \int\limits_{a}^{+\infty} u(x)v'(x)dx=L-u(a)v(a)-\int\limits_{a}^{+\infty} v(x)u'(x)dx} ^[6].

Понятие несобственного интеграла второго рода является обобщением понятия определённого интеграла на случай неограниченных функций.

Пусть ${\displaystyle f(x)}$ задана на полусегменте ${\displaystyle [a,b)}$. Точку ${\displaystyle b}$ называют особой, если функция не ограничена на полусегменте ${\displaystyle [a,b)}$, но ограничена на любом сегменте Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle [a,b-\alpha]} , где ${\displaystyle \alpha >0}$, заключённом в полусегменте ${\displaystyle [a,b)}$. Также предполагается, что на любом таком сегменте функция ${\displaystyle f(x)}$ интегрируема. При данных допущениях на полусегменте Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle (0,b-a)} задана функция аргумента ${\displaystyle \alpha }$: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle F(\alpha)=\int\limits_{a}^{b-\alpha} f(x)dx } .

Правый предел Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \lim_{\alpha \to +0} \int\limits_{a}^{b-\alpha} f(x)dx }
 в случае, если он существует, называется несобственным интегралом второго рода от функции ${\displaystyle f(x)}$ по сегменту ${\displaystyle [a;b]}$ и обозначается символом Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \int\limits_{a}^{b} f(x)dx }
.

При этом говорят, что несобственный интеграл сходится, и записывают равенство Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \int\limits_{a}^{b} f(x)dx=\lim_{\alpha \to +0} \int\limits_{a}^{b-\alpha} f(x)dx } . Если указанного выше предела не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится^[7].

Рассмотрим на полусегменте Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle [a,b) } функцию Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle f(x)={1 \over (b-x)^\lambda}} (${\displaystyle \lambda >0}$), точка ${\displaystyle b}$ является особой точкой. Эта функция интегрируема на любом сегменте Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle [a,b-\alpha]} , где ${\displaystyle \alpha >0}$, причём Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \int\limits_{a}^{b-\alpha} { dx\over (b-x)^\lambda}= \begin{cases} -{(b-x)^{1-\lambda}\over 1-\lambda}\Big\vert_a^{b-\alpha} ={(b-a)^{1-\lambda}-\alpha^{1-\lambda}\over 1-\lambda}, & \text{при} \lambda\neq 1, \\-\ln (b-x)\Big\vert_a^{b-\alpha}=\ln (b-a)-\ln \alpha,& \text{при}\lambda= 1.\end{cases} }

Предел Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \lim_{\alpha \to +0}\int\limits_{a}^{b-\alpha} { dx\over (b-x)^\lambda}} существует и равен Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle (b-a)^{1-\lambda}\over 1-\lambda} при ${\displaystyle \lambda <1}$ и не существует при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \lambda\geq1} . Следовательно, рассматриваемый несобственный интеграл сходится при ${\displaystyle \lambda <1}$ и расходится при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \lambda\geq1} ^[7].

Для сходимости несобственного интеграла второго рода необходимо и достаточно, чтобы для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ можно было указать такое Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \delta>0 }
, что для любых Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \alpha' }
 и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \alpha'' }
, удовлетворяющих условию Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle 0<\alpha''<\alpha'<\delta }
, справедливо неравенствоНевозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \left|\,\int\limits_{b-\alpha'}^{b-\alpha''} f(x)dx\right| < \varepsilon}
.

Основные выводы и теоремы, относящиеся к интегралам первого рода, переносятся и на случай интегралов второго рода с некоторыми замечаниями:

• при некоторых ограничениях на подынтегральные функции интегралы второго рода сводятся к интегралам первого рода;
• признаки сравнения формулируются для функции ${\displaystyle f(x)}$, заданной на полусегменте ${\displaystyle [a,b)}$, где ${\displaystyle b}$ — особая точка;
• частный признак сравнения:

Если Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle |f(x)| \leq c(b-x)^{-\lambda}}
, где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \lambda < 1 }
, то несобственный интеграл Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \int\limits_{a}^{b} f(x)dx }
 сходится. Если же Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle f(x) \geq c(b-x)^{-\lambda}}
, где ${\displaystyle c>0}$ и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \lambda \geq 1 }
, то несобственный интеграл расходится;

• правила интегрирования путём замены переменной и интегрирования по частям формулируются аналогично интегралам первого рода^[8].

Пусть функция ${\displaystyle f(x)}$ определена на прямой Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle  -\infty<x<+\infty}
 и интегрируема на каждом сегменте, принадлежащем этой прямой. Говорят, что функция ${\displaystyle f(x)}$ интегрируема по Коши, если существует предел Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \lim_{A\to+\infty}\,\int\limits_{-A}^{A} f(x)dx}
. Этот предел называют главным значением несобственного интеграла от функции ${\displaystyle f(x)}$ (в смысле Коши).

Главное значение несобственного интеграла обозначают Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \mathsf{V.p.}}  — по начальным буквам французских слов «Valeur principalе» (главное значение). Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \mathsf{V.p.}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx=\lim_{A\to+\infty}\,\int\limits_{-A}^{A} f(x)dx} ^[9].