Гамма-функция

Если вещественная часть комплексного числа ${\displaystyle z}$ положительна, то гамма-функция определяется через абсолютно сходящийся интеграл

${\displaystyle \Gamma (z)=\int \limits _{0}^{+\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in \mathbb {C} ,\quad \mathrm {Re} (z)>0}$

Это определение было получено Лежандром из оригинального определения Эйлера (1730 г.)

${\displaystyle \Gamma (z)=\int \limits _{0}^{1}(-\ln {x})^{z-1}\,dx}$

через замену переменной ${\displaystyle x=e^{-t}}$, и на сегодняшний день именно определение Лежандра известно как классическое определение гамма-функции. Интегрируя по частям классическое определение, легко видеть, что ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$.

Для приближённого вычисления значений гамма-функции удобнее третья формула, также полученная из определения Эйлера путём применения равенства ${\displaystyle \Gamma (z)=\Gamma (z+1)/z}$ и замены переменной ${\displaystyle x=y^{2}}$:

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {2^{z+1}}{z}}\int \limits _{0}^{1}y(-\ln {y})^{z}\,dy}$.

Интеграл в этой формуле сходится при ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)>-1}$, хотя она обычно используется для положительных вещественных значений аргумента (предпочтительные значения — вблизи 1). В случае вещественного аргумента ${\displaystyle z>0}$ подынтегральная функция имеет единственную особую точку — устранимый разрыв при ${\displaystyle y=0}$, и если доопределить её в этой точке значением ${\displaystyle 0}$, она станет непрерывной на всём отрезке ${\displaystyle [0;1]}$. Таким образом, интеграл является собственным, что упрощает численное интегрирование.

Существует непосредственное аналитическое продолжение исходной формулы на всю комплексную плоскость, кроме целых чисел, называемое интегралом Римана — Ханкеля:

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{e^{i2\pi z}-1}}\int \limits _{L}\!t^{\,z-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} .}$

Здесь контур ${\displaystyle L}$ — любой контур на комплексной плоскости, обходящий точку ${\displaystyle t=0}$ против часовой стрелки, концы которого уходят на бесконечность вдоль положительной вещественной оси.

Последующие выражения служат альтернативными определениями гамма-функции.

Оно верно для всех комплексных ${\displaystyle z}$, за исключением 0 и отрицательных целых чисел

${\displaystyle \Gamma (z)=\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {(n-1)!\,n^{z}}{z(z+1)(z+2)\cdots (z+n-1)}},\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}.}$

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{\mathrm {z} }}{1+{\frac {\mathrm {z} }{n}}}},\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}.}$

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n},\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}.}$

где ${\displaystyle \gamma =\lim \limits _{n\to \infty }\left(\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln {n}\right)\approx 0,57722}$ — постоянная Эйлера — Маскерони^[1].

Примечание: иногда используется альтернативная, так называемая пи-функция, которая является обобщением факториала и связана с гамма-функцией соотношением ${\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)}$. Именно этой функцией (а не ${\displaystyle \Gamma }$-функцией) пользовались Гаусс, Риман, и многие другие немецкие математики XIX века.

Для любого натурального n верно:

${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$ .

Основное свойство гамма-функции — это её рекуррентное уравнение

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z),}$

которое при фиксированном начальном условии единственным образом определяет логарифмически выпуклое решение, то есть саму гамма-функцию (теорема о единственности)^[3].

Для гамма-функции справедлива формула дополнения Эйлера:

${\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \over \sin \pi z}}$.

Также справедлива и формула умножения Гаусса:

${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{n}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {n-1}{n}}\right)=n^{{\frac {1}{2}}-nz}\cdot (2\pi )^{\frac {n-1}{2}}\Gamma (nz),}$

Частный случай этой формулы при n=2 был получен Лежандром:

${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}$

Гамма-функция не имеет нулей на всей комплексной плоскости. ${\displaystyle \Gamma (z)}$ является мероморфной на комплексной плоскости и имеющей простые полюсы в точках ${\displaystyle z=0,\;-1,\;-2,\;-3,\;\ldots }$^[1]

Гамма-функция имеет полюс первого порядка в ${\displaystyle z=-n}$ для любого натурального ${\displaystyle n}$ и нуля; вычет в этой точке задаётся так:

${\displaystyle \operatorname {\mathrm {Res} } _{z=-n}\,\Gamma (z)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}}$.

Полезное свойство, которое может быть получено из предельного определения:

${\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})}$.

Гамма-функция дифференцируема бесконечное число раз, и ${\displaystyle \Gamma ^{\prime }(x)=\psi (x)\Gamma (x)}$, где ${\displaystyle \psi (x)}$, часто называют «пси-функцией» или дигамма-функцией. Гамма-функция и бета-функция связаны следующим соотношением:

${\displaystyle \mathrm {B} (x,\;y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}$.

По целому ряду причин наряду с гамма-функцией часто рассматривают и логарифм гамма-функции — первообразную дигамма-функции. Для него справедливы следующие интегральные представления:

${\displaystyle \ln \Gamma (z)\,=\,\left(z-{\frac {1}{\,2\,}}\right)\!\ln z-z+{\frac {1}{\,2\,}}\ln 2\pi +\!\int \limits _{0}^{\,\infty }\!\left[{\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{2}}\right]{\frac {e^{-xz}}{x}}\,dx\,,\qquad \operatorname {Re} {z}>0}$

и

${\displaystyle \ln \Gamma (z)\,=\,\left(z-{\frac {1}{\,2\,}}\right)\!\ln z-z+{\frac {1}{\,2\,}}\ln 2\pi +2\!\int \limits _{0}^{\,\infty }\!{\frac {\,\operatorname {arctg} (x/z)\,}{e^{2\pi x}-1}}\,dx\,,\qquad \operatorname {Re} {z}>0}$

данные Жаком Бине в 1839-м году (эти формулы ещё часто называют первой и второй формулой Бине соответственно для логарифма гамма-функции)^[4]. Несколько отличные интегральные формулы для логарифма гамма-функции также появлялись в работах Мальмстена, Лерха и некоторых других. Так, Мальмстен получил формулу, схожую с первой формулой Бине^[4]

${\displaystyle \ln \Gamma (z)\,=\int \limits _{0}^{\,\infty }\!\left[z-1-{\frac {1-e^{-(z-1)x}}{1-e^{-x}}}\right]{\frac {e^{-x}}{x}}\,dx\,,\qquad \operatorname {Re} {z}>0}$

а Лерх показывает, что все интегралы вида

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\,\infty }\!{\frac {\,e^{2\pi x}\!\cos \varphi -1\,}{e^{4\pi x}-2e^{2\pi x}\!\cos \varphi +1}}\operatorname {arctg} {\frac {u}{x}}\;dx\,,\qquad 0<u\leqslant 1\,,\quad 0<\varphi <2\pi u}$

также сводятся к логарифмам гамма-функции. В частности, формула, аналогичная второй формуле Бине с «сопряжённым» знаменателем, имеет следующий вид:

${\displaystyle \ln \Gamma (z)=-{\biggl (}z-{\frac {1}{2}}{\biggr )}\cdot \left\{1-\ln {\biggl (}z-{\frac {1}{2}}{\biggr )}\!\right\}+{\frac {1}{2}}\ln 2\pi -\,2\!\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {\operatorname {arctg} {\big [}x/{\big (}z-{\tfrac {1}{2}}{\big )}{\big ]}}{e^{2\pi x}+1}}\,dx,\qquad \operatorname {Re} {z}>{\frac {1}{2}}}$

(см. упр. 40 в^[2])

Кроме того, Мальмстен также получил ряд интегральных формул для логарифма гамма-функции, содержащих гиперболические функции с логарифмом в подынтегральном выражении (или, что то же, логарифм логарифма с полиномами). В частности,

${\displaystyle \ln \Gamma (z)=\,{\frac {1}{2}}\ln \pi \,-\,{\frac {1}{2}}\ln \sin \pi z\,-\,{\frac {2z-1}{2}}\ln 2\pi \,-\,{\frac {\sin 2\pi z}{2\pi }}\!\int \limits _{0}^{\infty }\!\!{\frac {\,\ln {x}\,}{\,\operatorname {ch} {x}-\cos 2\pi z\,}}\,dx\,,\qquad 0<\operatorname {Re} z<1}$

(см. упр. 2, 29-h, 30 в^[2])

Ярослав Благушин показал, что при рациональном аргументе ${\displaystyle z=k/n}$, где ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle n}$ целые положительные числа, такие, что ${\displaystyle k}$ не превосходит ${\displaystyle n}$, справедливо следующее представление:

${\displaystyle \ln \Gamma {\biggl (}\!{\frac {k}{n}}\!{\biggr )}={\frac {(n-2k)\ln 2\pi }{2n}}+{\frac {1}{2}}\left\{\ln \pi -\ln \sin {\frac {\pi k}{n}}\right\}+}$

${\displaystyle +{\frac {1}{\pi }}\!\sum _{r=1}^{n-1}{\frac {\gamma +\ln {r}}{r}}\cdot \sin {\frac {2\pi rk}{n}}-{\frac {1}{2\pi }}\sin {\frac {2\pi k}{n}}\cdot \!\int \limits _{0}^{\infty }\!\!{\frac {\,e^{-nx}\!\cdot \ln {x}\,}{\,\operatorname {ch} {x}-\cos {\dfrac {2\pi k}{n}}\,}}\,dx\,,\qquad k\neq {\frac {n}{2}}}$

(см. приложение C^[5], а также упр. 60 и 58^[2])

Более того, и в более общих случаях интегралы, содержащие гиперболические функции с логарифмом (или арктангенсом) в подынтегральном выражении, часто сводятся к логарифмам гамма-функции и её производным, в том числе и комплексного аргумента, см. напр. упр. 4-b, 7-а и 13-b в^[2].

Логарифм гамма-функции также тесно связан с аналитическим продолжением обобщённой дзета-функции

${\displaystyle \ln \Gamma (z)=\zeta '(0,z)-\zeta '(0)=\zeta '(0,z)+{\frac {1}{2}}\ln 2\pi }$

Это важнейшее взаимоотношение, выведенное Лерхом, позволяет получить большое количество интегральных представлений для логарифма гамма-функции через известные формулы для обобщённой дзета-функции.

Ряд Фурье для логарифма гамма-функции имеет следующий вид

${\displaystyle \ln \Gamma (x)=\left({\frac {1}{2}}-x\right)(\gamma +\ln 2)+(1-x)\ln \pi -{\frac {1}{2}}\ln \sin \pi x+{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin 2\pi nx\cdot \ln {n}}{n}}\,,\qquad 0<x<1}$

Эта формула обычно приписывается Эрнсту Куммеру, который её вывел в 1847 г. (в авторитетной литературе^[4][6][7] этот ряд даже называется рядом Куммера для логарифма гамма-функции). Однако недавно было открыто, что эта формула была получена ещё в 1842 г. Карлом Мальмстеном (см. Ярослав Благушин^[2][8]).

Помимо разложения в ряд Фурье, существуют и другие разложения в ряды. Одно из самых известных это ряд Стирлинга

${\displaystyle \ln \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{\,2\,}}\right)\!\ln z-z+{\frac {1}{\,2\,}}\ln 2\pi +\sum _{n=1}^{N}{\frac {B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}}+O(z^{-2N-1})\,,\qquad |\arg z|<{\frac {\pi }{2}}}$

В его стандартной вариации

${\displaystyle \ln \Gamma (z)=z\ln z+O(z)}$

где коэффициенты ${\displaystyle B_{2n}}$ означают числа Бернулли.

Из определения гамма-функции по Вейерштрассу следует ещё одно важное представление рядом^[9]

${\displaystyle \ln \Gamma (z)=-\gamma z-\ln z+\sum _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {z}{n}}-\ln \!\left(1+{\frac {z}{n}}\right)\right]}$.

Гамма-функция целого и полуцелого аргументов выражается через элементарные функции. В частности

${\displaystyle \Gamma (1)=0!=1}$

${\displaystyle \Gamma (2)=1!=1}$

${\displaystyle \Gamma (3)=2!=2}$

${\displaystyle \Gamma (4)=3!=6}$

${\displaystyle \Gamma (5)=4!=24}$

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}.}$

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}.}$

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}.}$

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}.}$

${\displaystyle \Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)=-2{\sqrt {\pi }}.}$

${\displaystyle \Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}.}$

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi }}={\sqrt {\pi }}\cdot \left[{n-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]}$

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}\,{\sqrt {\pi }}={\sqrt {\pi }}/\left[{-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]}$

Поиск значения гамма-функции в точках 1/4 и 1/3 являлся объектом подробных изысканий Эйлера, Гаусса и Лежандра, однако им не удалось подсчитать эти значения в замкнутом виде^[1].

Существуют следующие представления в незамкнутом виде для Γ(1/4)

${\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{4}})={\sqrt {\frac {(2\pi )^{\frac {3}{2}}}{\mathrm {AGM} ({\sqrt {2}},1)}}}}$

${\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{4}})=(2\pi )^{\frac {3}{4}}\prod _{k=1}^{\infty }\mathrm {th} \left({\frac {\pi k}{2}}\right)}$

${\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{4}})=A^{3}e^{-{\frac {G}{\pi }}}{\sqrt {\pi }}2^{\frac {1}{6}}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{2k}}\right)^{k(-1)^{k}}}$

где AGM — функция арифметико-геометрического среднего, G — постоянная Каталана и A — постоянная Глейшера—Кинкелина.

В классическом интегральном определении гамма-функции пределы интегрирования фиксированы. Рассматривают также неполную гамма-функцию, определяемую аналогичным интегралом с переменным верхним либо нижним пределом интегрирования. Различают верхнюю неполную гамма-функцию, часто обозначаемую как гамма-функцию от двух аргументов:

${\displaystyle \Gamma (a,z)=\int \limits _{\mathrm {z} }^{\infty }\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}}$

и нижнюю неполную гамма-функцию, аналогично обозначаемую строчной буквой «гамма»:

${\displaystyle \gamma (a,z)=\int \limits _{0}^{\mathrm {z} }\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}}$.

Иногда неполную гамма-функцию определяют как^[10]:

${\displaystyle I(z,a)={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int \limits _{0}^{\mathrm {z} }\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}}$.

Важным применением Гамма функции служит сведение к ней интегралов следующего вида, где ${\displaystyle a,\alpha ,\beta }$ — постоянные параметры

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha }\exp(-ax^{\beta })\,dx=a^{-{\frac {\alpha +1}{\beta }}}\cdot {\frac {1}{\beta }}\Gamma \left({\frac {\alpha +1}{\beta }}\right)}$

В частности, для широко встречающихся в приложениях физики интегралов Гауссова типа:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha }\exp(-x^{2}/a^{2})\,dx=a^{\alpha +1}\cdot {\frac {1}{2}}\Gamma \left({\frac {\alpha +1}{2}}\right)}$

И Эйлеровых интегралов:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha }\exp(-x/a)\,dx=a^{\alpha +1}\cdot \Gamma \left(\alpha +1\right)}$

• В. Я. Арсенин. Математическая физика: основные уравнения и специальные функции, глава X, сс. 225—233. Наука, Москва, 1966.
• М. А. Евграфов. Аналитические функции, глава VI, сс. 267—273. Наука, Москва, 1968.
• М. А. Евграфов и др. Сборник задач по теории аналитических функций, сс. 307—316. Наука, Москва, 1969.
• Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления (7-е изд.), глава XIV, сс. 750—794. Наука, Москва, 1969.
• А. И. Маркушевич. Теория аналитических функций (2-е изд.), том 2, сс. 303—324. Наука, Москва, 1968.
• Н. Н. Лебедев. Специальные функции и их приложения (2-е изд.), глава I, сс. 11—27. ФМ, Москва, 1963.
• А. Ф. Никифоров и В. Б. Уваров. Специальные функции математической физики, сс. 263—268. Наука, Москва, 1978.
• Пагурова В. И. Таблицы неполной гамма-функции. (Редактор Диткин В. А.). Москва, Изд-во ВЦ АН СССР, 1963. 236 с. ^[1]
• R. Campbell. Les intégrales eulériennes et leurs applications, Dunod, Paris, 1966.
• M. Godefroy. La fonction Gamma; Théorie, Histoire, Bibliographie, Gauthier-Villars, Paris, 1901.
• E. Artin. Einführung in die Theorie der Gammafunktion, Teubner, Leipzig, 1931.
• N. Nielson. Handbuch der Theorie der Gammafunktion, Teubner, Leipzig, 1906.