Матрица (математика)

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&9&-13\\20&5&-6\end{bmatrix}}}$$

В линейной алгебре матрицы используются для представления линейных отображений. В геометрии матрицы применяются для описания геометрических преобразований (например, поворотов) и преобразований координат. В численном анализе множество вычислительных задач сводится к операциям над матрицами, в том числе большими по размеру. Матрицы применяются практически во всех областях математики и научных дисциплинах, как напрямую, так и косвенно — через их роль в геометрии и вычислениях.

Особое значение имеют квадратные матрицы, то есть матрицы с равным числом строк и столбцов. Определитель квадратной матрицы — особое число, фундаментальное для изучения свойств матриц: квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда её определитель отличен от нуля; собственные значения — корни её характеристического многочлена ${\displaystyle \det(\lambda I-A)}$.

Теория матриц — раздел математики, посвящённый изучению матриц. Изначально оформлялась как часть линейной алгебры, но быстро стала охватывать вопросы, связанные с теорией графов, алгеброй, комбинаторикой и статистикой.

Матрица — это прямоугольная таблица из чисел (или других математических объектов), которые называют элементами или записями матрицы. Над матрицами определены стандартные операции: сложение, умножение на число, умножение матриц. Наиболее часто рассматривается матрица над полем ${\displaystyle F}$ — прямоугольная таблица из элементов F^[1][2].

Вещественной, соответственно комплексной, называют матрицу с вещественными (соответственно, комплексными) элементами. Более общие типы элементов обсуждаются ниже. Пример вещественной матрицы:

$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-1.3&0.6\\20.4&5.5\\9.7&-6.2\end{bmatrix}}.}$$

Горизонтальные и вертикальные ряды матрицы называют строками и столбцами^[3].

Размерность матрицы определяется количеством строк и столбцов. Матрица из m строк и n столбцов называется m×n-матрицей или m-на-n матрицей; m и n — её размерности. Например, приведённая выше матрица \mathbf{A} — это 3×2-матрица.

Матрица из одной строки называется строчной (или строковым вектором), из одного столбца — столбцовой (столбцовым вектором). Квадратной называют матрицу с одинаковым числом строк и столбцов^[4]. Матрица с бесконечным числом строк, столбцов или обеих размерностей называется бесконечной матрицей. В программных системах иногда рассматривают пустую матрицу — то есть не имеющую ни строк, ни столбцов^[5].

Обзор по размерности матрицы

Название	Размер	Пример	Описание
Строчная	${\displaystyle 1\times n}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&7&2\end{bmatrix}}}$	Одна строка; иногда используется для представления вектора
Столбцовая	${\displaystyle n\times 1}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}4\\1\\8\end{bmatrix}}}$	Один столбец; иногда используется для представления вектора
Квадратная матрица	${\displaystyle n\times n}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}9&13&5\\1&11&7\\2&6&3\end{bmatrix}}}$	Одинаковое число строк и столбцов. Применяется для описания линейных преобразований пространства в себя (например, отражения, поворота, сдвига).

В математической литературе для обозначения матриц обычно используют прописные латинские буквы (например, \mathbf{A})^[6], а её элементы обозначаются строчными буквами с двумя индексами (например, a_{11})^[7]. Часто выделяют матрицы полужирным начертанием или подчеркиванием.

Конкретное положение — i-я строка, j-й столбец — обозначают как a_{ij}, a_{i,j}, \mathbf{A}[i,j], либо \mathbf{A}_{i,j}. Например:

$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}4&-7&\color {red}{5}&0\\-2&0&11&8\\19&1&-3&12\end{bmatrix}}}$$

Состав матрицы также часто задают формулой для её элементов, например, {{{1}}}:

$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}0&-1&-2&-3\\1&0&-1&-2\\2&1&0&-1\end{bmatrix}}}$$

В программировании двумерные массивы обычно инициализируют считая индексы либо начиная с 0, либо с 1^[8].

Множество всех m×n-реальных матриц часто обозначается {{mathcal|M}(m, n)} либо M}_{m\times n}(\mathbb{R}), а матриц над произвольным полем F или кольцом R — {{mathcal|M}(m, n, R)}^[9].

Существуют базовые операции с матрицами: транспонирование, взятие подматрицы, а также операции, требующие дополнительной структуры (сложение, умножение на число, умножение матриц, элементарные преобразования строк)^[3].

Сложение и вычитание матриц определено только для матриц одинакового размера и выполняется поэлементно:^[10]

$${\displaystyle (\mathbf {A} +\mathbf {B} )_{i,j}=\mathbf {A} _{i,j}+\mathbf {B} _{i,j},\quad (\mathbf {A} -\mathbf {B} )_{i,j}=\mathbf {A} _{i,j}-\mathbf {B} _{i,j}}$$

Произведение матрицы \mathbf{A} на число c определяется как умножение каждого элемента матрицы на это число: ${\displaystyle (c\mathbf {A} )_{i,j}=c\cdot \mathbf {A} _{i,j}}$

Транспонирование — операция, переставляющая строки и столбцы местами: ${\displaystyle (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })_{i,j}=\mathbf {A} _{j,i}}$ Пример: ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-6&7\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&0\\2&-6\\3&7\end{bmatrix}}}$

Произведение двух матриц A (размера m×n) и B (размера n×p) определено, если число столбцов A равно числу строк B. Результирующая матрица размера m×p вычисляется как: ${\displaystyle [\mathbf {AB} ]_{i,j}=\sum _{r=1}^{n}a_{i,r}b_{r,j}}$ Умножение ассоциативно, но не коммутативно: \mathbf{AB} \neq \mathbf{BA}.

Основные элементарные преобразования строк:

1. прибавление к одной строке другой;
2. умножение строки на ненулевое число;
3. перестановка двух строк.

Применяются при решении систем линейных уравнений, поиске обратной матрицы (метод Гаусса и Гаусса—Жордана).

Подматрица — это матрица, полученная путём удаления из исходной некоторого количества строк или столбцов. Главная подматрица — квадратная подматрица, в которой набор остающихся строк совпадает с набором остающихся столбцов.

Матрицы позволяют компактно записывать системы линейных уравнений: ${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {b} }$ Решение системы (при определённости и невырожденности) можно выразить через обратную матрицу: ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} }$

Любому отображению ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$, сохраняющему линейную структуру (линейному отображению), соответствует матрица, произведение которой на вектор \mathbf{x} даёт результат применения отображения. Обратно, всякая m×n-матрица определяет линейное отображение. Такие матрицы называют матричным представлением преобразования^[11].

Квадратные матрицы (одинаковое число строк и столбцов) образуют важный класс. Они участвуют в определении определителя, следа, собственных значений и др.

Название	Пример (n=3)
Диагональная матрица	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}}$
Нижнетреугольная матрица	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}}$
Верхнетреугольная матрица	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}}$

Верхнетреугольная — только над главной диагональю возможны ненулевые элементы; нижнетреугольная — только под диагональю; диагональная — все элементы вне диагонали равны нулю^[4].

Единичная матрица \mathbf{I}_n порядка n — квадратная матрица с элементом 1 на главной диагонали и 0 в остальных позициях: ${\displaystyle \mathbf {I} _{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}$ Умножение любой m×n матрицы \mathbf{A} на соответствующую единичную не меняет её: {{{1}}}}.

Симметрическая — равна своей транспонированной: {{{1}}}}. Кососимметрическая — обратна (по знаку) транспонированной: {{{1}}}}. Для комплексных матриц аналогичная роль у эрмитовых матриц.

Матрица \mathbf{A} — обратима, если существует \mathbf{B} с {{{1}}}. Такая \mathbf{B} называется обратной и обозначается \mathbf{A}^{-1}^[12].

Ортогональной называют квадратную вещественную матрицу, столбцы и строки которой — ортонормированные векторы, то есть {{{1}}}}.

• След — сумма элементов главной диагонали: \operatorname{tr}(\mathbf{A}).
• Определитель — число, вычисляемое по рекурсивной формуле, характеризует обратимость (обратима ⇔ определитель не равен нулю) и сохраняет геометрические свойства отображения.
• Собственные значения и векторы: {{{1}}}} — собственный вектор \mathbf{v} с собственным значением \lambda.

Вычисления с матрицами широко применяются в численной математике, вычислительной линейной алгебре, при решении уравнений большой размерности. Существуют алгоритмы перемножения, разложений (LU, SVD и др.) и специальные методы для разреженных матриц.

Матрицы можно обобщать, рассматривая элементы не только в поле чисел, но и в произвольных кольцах, полукольцах, а также многомерные обобщения — тензоры. Матрицы с бесконечным числом строк и столбцов встречаются в функциональном анализе.

Матрицы играют огромную роль в математике, физике, статистике, информатике, экономике и других науках: моделирование линейных систем, методы оптимизации, графы, вычисления в квантовой технике и кодировании, компьютерная графика, теория игр, обработка изображений и пр.