Теорема котангенсов

Пусть

${\displaystyle a,b,c}$ — длины трёх сторон треугольника,

${\displaystyle A,B,C}$ — углы, лежащие напротив, соответственно, сторон ${\displaystyle a,b,c}$,

${\displaystyle r}$ — радиус вписанной окружности треугольника и

${\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}}$ — полупериметр треугольника.

Тогда справедливы следующие формулы:^[1]

${\displaystyle \mathrm {ctg} {\frac {A}{2}}={\frac {p-a}{r}}}$,

${\displaystyle \mathrm {ctg} {\frac {B}{2}}={\frac {p-b}{r}}}$,

${\displaystyle \mathrm {ctg} {\frac {C}{2}}={\frac {p-c}{r}}}$,

или эквивалентно:

${\displaystyle {\frac {p-a}{\mathrm {ctg} (A/2)}}={\frac {p-b}{\mathrm {ctg} (B/2)}}={\frac {p-c}{\mathrm {ctg} (C/2)}}=r}$.

Словами теорему можно сформулировать так: котангенс половинного угла равен отношению полупериметра минус длина противолежащей стороны указанного угла к радиусу вписанной окружности.

В сферической тригонометрии существует похожая формула для половины угла, а также двойственная к ней формула половины стороны.

Из теоремы котангенсов может быть получено выражение для радиуса вписанной окружности ${\displaystyle r={\sqrt {{\frac {1}{p}}(p-a)(p-b)(p-c)}}}$. Далее, так как площадь треугольника ${\displaystyle S=pr}$, из теоремы котангенсов следует формула Герона.