Краевая задача

Первые содержательные краевые задачи появились в середине XVIII века в механике сплошных сред, а не «в конце XVII века». В 1747—1749 годах Ж. д’Аламбер вывел волновое уравнение поперечных колебаний струны и поставил условия закрепления на концах; Л. Эйлер (1748—1759) и Д. Бернулли (1753) развили метод суперпозиции стоячих волн. Спор о том, насколько произвольна начальная форма струны, по сути был спором о разложении функции по собственным модам — то есть о задаче на собственные значения^[7]. Ж. Л. Лагранж связывал те же постановки с вариационным исчислением.

Ж. Фурье в «Аналитической теории тепла» (1822; мемуар докладывался с 1807—1811) применил разделение переменных к уравнению теплопроводности и тем самым систематически пришёл к задаче на собственные значения с граничными условиями^[8]. Отнесение этой работы к «1830-м годам» в исходном тексте неверно.

Дж. Грин (1828) построил функцию влияния для задач электростатики и теории потенциала^[9]. Ш. Штурм и Ж. Лиувилль в 1836—1837 годах создали качественную теорию двухточечных задач для линейного ОДУ второго порядка: существование и простота собственных значений, осцилляционные теоремы, разложение в ряд по собственным функциям^[10].

Б. Риман в диссертации 1851 года назвал вариационный подход к задаче Дирихле «принципом Дирихле». К. Вейерштрасс (1870) не «решил» краевые задачи для уравнения Лапласа, а указал пробел в этом принципе: минимизирующая последовательность энергии может не иметь предела в классе допустимых функций. Строгое обоснование дал Д. Гильберт прямым методом вариационного исчисления (около 1900).

И. Фредгольм (1900—1903) связал краевые задачи с интегральными уравнениями. Гильберт развил спектральную теорию компактных симметричных операторов. В 1930-х С. Л. Соболев ввёл пространства, в которых естественно понимать слабые решения; это — основа современной теории, а не «общая теория Гельфанда — Крейна — Марченко». Последние авторы создали в первую очередь обратную теорию Штурма — Лиувилля и теорию расширений симметричных операторов^[7]. Со второй половины века сложились сеточные методы: конечные разности, конечные элементы, граничные элементы.

Двухточечная задача имеет вид

${\displaystyle L(y)=f(x),\qquad U_{\mu }(y)=\gamma _{\mu },\quad \mu =1,\dots ,m,}$

где

${\displaystyle L(y)=\sum _{\nu =0}^{n}a_{\nu }(x)\,y^{(\nu )},}$

коэффициенты ${\displaystyle a_{\nu }}$ и правая часть ${\displaystyle f}$ непрерывны на ${\displaystyle [a,b]}$, ${\displaystyle a_{n}(x)\neq 0}$, а краевые формы

${\displaystyle U_{\mu }(y)=\sum _{k=0}^{n-1}{\bigl [}\alpha _{\mu }^{(k)}y^{(k)}(a)+\beta _{\mu }^{(k)}y^{(k)}(b){\bigr ]}}$

линейно независимы (матрица коэффициентов имеет ранг ${\displaystyle m}$)^[11].

Для однозначной разрешимости в общем положении нужно ${\displaystyle m=n}$ независимых условий. Если ${\displaystyle f\equiv 0}$ и все ${\displaystyle \gamma _{\mu }=0}$, задача однородна; если однородны только краевые условия (${\displaystyle \gamma _{\mu }=0}$), её называют полуоднородной^[12].

Значения параметра ${\displaystyle \lambda }$, при которых однородная задача

${\displaystyle L(y)+\lambda g(x)y=0,\qquad U_{\mu }(y)=0,\quad \mu =1,\dots ,n,}$

имеет нетривиальное решение, называют собственными значениями; сами решения — собственными функциями, их совокупность — спектром^[13][14].

Пусть ${\displaystyle \varphi _{1}(x,\lambda ),\dots ,\varphi _{n}(x,\lambda )}$ — фундаментальная система, нормированная в левом конце:

${\displaystyle \varphi _{p}^{(q)}(a,\lambda )={\begin{cases}1,&q=p-1,\\0,&q\neq p-1,\end{cases}}\qquad p=1,\dots ,n,\quad q=0,\dots ,n-1.}$

Тогда собственные значения — нули характеристического определителя

${\displaystyle \Delta (\lambda )=\det {\bigl [}U_{\mu }(\varphi _{\nu }){\bigr ]}.}$

Если ${\displaystyle \Delta \not \equiv 0}$, спектр не более чем счётен как множество нулей целой функции.

Стандартные вопросы теории: существование и вещественность спектра, его асимптотика и условия разложения

${\displaystyle F(x)=\sum _{\nu }c_{\nu }u_{\nu }(x)}$

по собственным функциям.

Частный случай — задача Штурма — Лиувилля^[15][16][17]:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\Bigl (}p(x){\frac {dy}{dx}}{\Bigr )}-q(x)y+\lambda \rho (x)y=0,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}y'(a)+\beta _{1}y(a)&=0,&&\alpha _{1}^{2}+\beta _{1}^{2}\neq 0,\\\alpha _{2}y'(b)+\beta _{2}y(b)&=0,&&\alpha _{2}^{2}+\beta _{2}^{2}\neq 0.\end{aligned}}}$

(В исходном тексте стояло ${\displaystyle \alpha _{1}^{2}}$, то есть ${\displaystyle \alpha _{1}^{2}}$, а не ${\displaystyle \alpha _{1}^{2}}$.) При ${\displaystyle p>0}$, ${\displaystyle \rho >0}$ и разумных условиях на ${\displaystyle q}$ спектр вещественный, простой и уходит к ${\displaystyle +\infty }$, а собственные функции образуют ортогональный базис в ${\displaystyle L^{2}([a,b];\rho \,dx)}$.

Теорема. Если однородная задача ${\displaystyle L(y)=0}$, ${\displaystyle U_{\mu }(y)=0}$ (${\displaystyle \mu =1,\dots ,n}$) имеет только нулевое решение, то для любой непрерывной ${\displaystyle f}$ полуоднородная задача ${\displaystyle L(y)=f}$, ${\displaystyle U_{\mu }(y)=0}$ имеет единственное решение

${\displaystyle y(x)=\int _{a}^{b}G(x,\xi )\,f(\xi )\,d\xi ,}$

где ${\displaystyle G}$ — функция Грина^[18].

Оператор с областью определения из ${\displaystyle C^{n}[a,b]}$-функций, удовлетворяющих однородным условиям, обратим, и обратный есть интегральный оператор с ядром ${\displaystyle G}$.

Функция ${\displaystyle G(x,\xi )}$ характеризуется так^[19]:

1. она непрерывна по совокупности переменных на ${\displaystyle [a,b]^{2}}$ вместе с производными по ${\displaystyle x}$ до порядка ${\displaystyle n-2}$;
2. при фиксированном ${\displaystyle \xi }$ производные порядка ${\displaystyle n-1}$ и ${\displaystyle n}$ непрерывны на ${\displaystyle [a,\xi )}$ и ${\displaystyle (\xi ,b]}$, причём

${\displaystyle {\frac {\partial ^{n-1}G}{\partial x^{n-1}}}(\xi +0,\xi )-{\frac {\partial ^{n-1}G}{\partial x^{n-1}}}(\xi -0,\xi )={\frac {1}{a_{n}(\xi )}}}$

(знак скачка определяется старшим коэффициентом: для ${\displaystyle L=-d^{2}/dx^{2}}$ он равен ${\displaystyle -1}$);

1. на каждом из интервалов ${\displaystyle G(\,\cdot \,,\xi )}$ удовлетворяет ${\displaystyle L(G)=0}$ и однородным краевым условиям.

При тех же предположениях функция Грина единственна. Неоднородная задача с ${\displaystyle m=n}$ решается по формуле

${\displaystyle y(x)=\int _{a}^{b}G(x,\xi )f(\xi )\,d\xi +\sum _{k=1}^{n}\gamma _{k}\psi _{k}(x),}$

где ${\displaystyle \psi _{k}}$ — решения ${\displaystyle L(y)=0}$ с ${\displaystyle U_{k}(y)=1}$ и ${\displaystyle U_{\mu }(y)=0}$ при ${\displaystyle \mu \neq k}$.

Задача с параметром ${\displaystyle L(y)=\lambda y+f}$, ${\displaystyle U_{\mu }(y)=0}$ эквивалентна уравнению Фредгольма

${\displaystyle y(x)=\lambda \int _{a}^{b}G(x,\xi )y(\xi )\,d\xi +g(x),\qquad g=\int _{a}^{b}G(\,\cdot \,,\xi )f(\xi )\,d\xi .}$

Собственные значения исходной однородной задачи совпадают с характеристическими числами ядра ${\displaystyle G}$ в смысле ${\displaystyle y=\lambda Gy}$^[20].

Ищется вектор ${\displaystyle u=(u_{1},\dots ,u_{n})}$,

${\displaystyle u'_{\mu }=\sum _{\nu =1}^{n}a_{\mu \nu }(x)u_{\nu }+f_{\mu }(x),\qquad U_{\mu }(u)=\sum _{k=1}^{n}{\bigl [}\alpha _{\mu k}u_{k}(a)+\beta _{\mu k}u_{k}(b){\bigr ]}=\gamma _{\mu },}$

${\displaystyle \mu =1,\dots ,n}$; матрица ${\displaystyle (\alpha \mid \beta )}$ размера ${\displaystyle n\times 2n}$ имеет ранг ${\displaystyle n}$.

• Метод стрельбы (пристрелки): решается задача Коши с одним свободным параметром, который подбирают (секущие, Ньютон), пока не выполнится условие на другом конце. Параллельная стрельба делит отрезок на части и сшивает решения, уменьшая неустойчивость.

• Метод конечных разностей: уравнение и условия заменяют сеточной схемой и решают СЛАУ.
• Вариационные методы (метод Ритца, метод Галёркина^[21]) и метод конечных элементов.
• Сведение к интегральному уравнению через функцию Грина и квадратуры.
• Метод прогонки для уравнения второго порядка

${\displaystyle y''=p(x)y'+q(x)y+f(x)}$

с условиями ${\displaystyle y'(a)=\alpha _{0}y(a)+\alpha _{1}}$, ${\displaystyle y'(b)=\beta _{0}y(b)+\beta _{1}}$: ищут ${\displaystyle y'=\alpha (x)y+\beta (x)}$, где ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ находятся из задачи Коши для уравнения Риккати; затем ${\displaystyle y}$ восстанавливают обратным ходом^[22][23].

Найти ${\displaystyle u\in C^{2}(Q_{\infty })\cap C^{1}({\overline {Q_{\infty }}})}$,

${\displaystyle \rho \,u_{tt}=\operatorname {div} (p\,\operatorname {grad} u)-qu+F(x,t)\quad {\text{в }}Q_{\infty },}$

${\displaystyle u{\big |}_{t=0}=u_{0},\qquad u_{t}{\big |}_{t=0}=u_{1}\quad {\text{в }}{\overline {G}},}$

${\displaystyle {\bigl (}\alpha u+\beta \partial _{n}u{\bigr )}{\Big |}_{S\times [0,\infty )}=0.}$

Нужны гладкость данных и согласование ${\displaystyle \alpha u_{0}+\beta \partial _{n}u_{0}=0}$ на ${\displaystyle S}$. Классическое решение единственно и непрерывно зависит от ${\displaystyle u_{0},u_{1},F}$^[25][26].

Найти ${\displaystyle u\in C^{2}(Q_{\infty })\cap C^{1}({\overline {Q_{\infty }}})}$ с ${\displaystyle \operatorname {grad} _{x}u\in C({\overline {Q_{\infty }}})}$,

${\displaystyle \rho \,u_{t}=\operatorname {div} (p\,\operatorname {grad} u)-qu+F,}$

${\displaystyle u{\big |}_{t=0}=u_{0},\qquad {\bigl (}\alpha u+\beta \partial _{n}u{\bigr )}=v(x,t)\quad {\text{на }}S\times [0,\infty ).}$

Согласование: ${\displaystyle (\alpha u_{0}+\beta \partial _{n}u_{0})|_{S}=v(\,\cdot \,,0)}$. Решение единственно и устойчиво по ${\displaystyle F,u_{0},v}$^[27][28].

Для ${\displaystyle \Delta u=0}$ в ограниченной ${\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{3}}$ и внешности ${\displaystyle G_{1}=\mathbb {R} ^{3}\setminus {\overline {G}}}$ ставят внутренние и внешние задачи Дирихле и Неймана (с правильной нормальной производной в смысле Владимирова). Аналогичные постановки есть для уравнения Пуассона ${\displaystyle \Delta u=-f}$.

Внутренняя и внешняя задачи Дирихле в трёх измерениях однозначно и устойчиво разрешимы. Внутренняя задача Неймана разрешима с точностью до константы (нужна совместность потока). Внешняя задача Неймана в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ с условием ${\displaystyle u\to 0}$ на бесконечности единственна. На плоскости внешние задачи требуют иной нормировки (логарифмический рост), чем «обращение в нуль на бесконечности»^[29][30].

Метод разделения переменных (Фурье)^[31]; формулы Даламбера / Кирхгофа / Пуассона для волнового уравнения; метод функции Грина для эллиптических задач; разностные схемы; вариационные методы и МКЭ.