Предел (математика)

Операция взятия предела в математическом анализе называется предельным переходом^[2]. Интуитивное понятие о предельном переходе использовалось ещё учёными Древней Греции при вычислении площадей и объёмов различных геометрических фигур. Методы решения таких задач в основном были развиты Архимедом.

При создании дифференциального и интегрального исчислений математики XVII века (и, прежде всего, Ньютон) также явно или неявно использовали понятие предельного перехода. Впервые определение понятия предела было введено в работе Валлиса «Арифметика бесконечных величин» (XVII век), однако исторически это понятие не лежало в основе дифференциального и интегрального исчислений.

Лишь в XIX веке в работах Коши теория пределов была использована для строгого обоснования математического анализа. Дальнейшей разработкой теории пределов занимались Вейерштрасс и Больцано.

С помощью теории пределов в первой половине XIX века было, в частности, обосновано использование в анализе бесконечных рядов, которые явились удобным аппаратом для построения новых функций^[3].

Общепринятый символ предела ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)}$ был предложен Симоном Люилье (1787 год) в следующем формате: ${\displaystyle \operatorname {lim.} x:a;}$ это обозначение получило поддержку Коши (1821). Точка после lim вскоре исчезла^[4]. Близкое к современному обозначение предела ввёл Вейерштрасс, хотя вместо привычной нам стрелки он использовал знак равенства: ${\displaystyle \operatorname {Lim} _{x=a}}$^[5]. Стрелка появилась в начале XX века сразу у нескольких математиков^[6].

Обозначения для одностороннего предела вида ${\displaystyle \lim _{x\to a+0}f(x)}$ первым предложил Дирихле (1837) в виде: ${\displaystyle f(a+0),f(a-0).}$ Мориц Паш (1887) ввёл другие важные понятия — верхнего и нижнего предела, которые записывал в виде: ${\displaystyle \lim \sup }$ и ${\displaystyle \lim \inf }$ соответственно. За рубежом эта символика стала стандартной, а в отечественной литературе преобладают другие обозначения: ${\displaystyle \varlimsup _{n\to \infty }x_{n},\ \varliminf _{n\to \infty }x_{n},}$ введённые Альфредом Прингсхаймом в 1898 году^[7].

Пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом порядкового номера.

Число ${\displaystyle a}$ называется пределом последовательности ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n},...}$, если

${\displaystyle \forall {\text{ }}\varepsilon >0{\text{, }}\exists {\text{ }}N(\varepsilon ){\text{, }}\forall {\text{ }}n>N(\varepsilon ){\text{ }}{\text{ }}|x_{n}-a|<\varepsilon }$.

Предел последовательности обозначается ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }x_{n}}$. Допускается обозначение ${\displaystyle \lim x_{n}}$.

${\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists N(\varepsilon )\in \mathbb {N} {\text{ т.ч. }}\forall n>N\Rightarrow \left|x_{n}-A\right|<\varepsilon }$

${\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}=0\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists N(\varepsilon )\in \mathbb {N} {\text{ т.ч. }}\forall n>N\Rightarrow \left|x_{n}\right|<\varepsilon }$

${\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists N(\varepsilon )\in \mathbb {N} {\text{ т.ч. }}\forall n>N\Rightarrow x_{n}>\varepsilon }$

${\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}=-\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists N(\varepsilon )\in \mathbb {N} {\text{ т.ч. }}\forall n>N\Rightarrow -x_{n}>\varepsilon }$

• Если предел последовательности существует, то он единственный.
• ${\displaystyle \lim c=c}$${\displaystyle ,\,c={\rm {const}}.}$
• ${\displaystyle \lim(x_{n}+y_{n})=\lim x_{n}+\lim y_{n}}$ (если оба предела существуют)
• ${\displaystyle \lim(qx_{n})=q\lim x_{n}}$ ${\displaystyle ,\,q={\rm {const}}.}$
• ${\displaystyle \lim(x_{n}y_{n})=\lim x_{n}\lim y_{n}}$ (если оба предела существуют)
• ${\displaystyle \lim(x_{n}/y_{n})=\lim x_{n}/\lim y_{n}}$ (если оба предела существуют и знаменатель правой части не ноль)
• Если ${\displaystyle a_{n}>x_{n}>b_{n}\forall n}$ и ${\displaystyle \lim a_{n}=\lim b_{n}}$ , то ${\displaystyle \lim x_{n}=\lim a_{n}=\lim b_{n}}$ (теорема «о зажатой последовательности», также известная, как «теорема о двух милиционерах»)

Функция ${\displaystyle f(x)}$ имеет предел ${\displaystyle A}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$, если для всех значений ${\displaystyle x}$, достаточно близких к ${\displaystyle x_{0}}$, значение ${\displaystyle f(x)}$ близко к ${\displaystyle A}$.

Число b называется пределом функции ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle a}$, если ${\displaystyle \forall \varepsilon >0}$ существует ${\displaystyle \delta >0}$, такое что ${\displaystyle \forall x,0<|x-a|<\delta }$ выполняется ${\displaystyle |f(x)-b|<\varepsilon }$.

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon }$

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=0\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)|<\varepsilon }$

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ |x-a|<\delta \Rightarrow f(x)>\varepsilon }$

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=-\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ |x-a|<\delta \Rightarrow -f(x)>\varepsilon }$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ |x|<\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon }$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)=0\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ |x|<\delta \Rightarrow |f(x)|<\varepsilon }$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ |x|<\delta \Rightarrow f(x)>\varepsilon }$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)=-\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ |x|<\delta \Rightarrow -f(x)>\varepsilon }$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ x>\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon }$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=0\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ x>\delta \Rightarrow |f(x)|<\varepsilon }$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ x>\delta \Rightarrow f(x)>\varepsilon }$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=-\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ x>\delta \Rightarrow -f(x)>\varepsilon }$

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ -x>\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon }$

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=0\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ -x>\delta \Rightarrow |f(x)|<\varepsilon }$

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ -x>\delta \Rightarrow f(x)>\varepsilon }$

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=-\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ -x>\delta \Rightarrow -f(x)>\varepsilon }$

Для пределов функций справедливы свойства, аналогичные пределам последовательностей, например, ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}(f(x)+g(x))=\lim _{x\to x_{0}}f(x)+\lim _{x\to x_{0}}g(x)}$ — предел суммы равен сумме пределов, если все пределы существуют.

Пусть ${\displaystyle X}$ — некоторое множество, на котором определено понятие окрестности ${\displaystyle U}$ (например, метрическое пространство). Пусть ${\displaystyle x_{i}\in X}$ — последовательность точек (элементов) этого множества. Говорят, что ${\displaystyle x\in X}$ есть предел этой последовательности, если в любой окрестности точки ${\displaystyle x}$ лежат почти все члены последовательности, или ${\displaystyle \forall {\text{ }}U(x){\text{ }}\exists {\text{ }}n,{\text{ }}\forall {\text{ }}i>n{\text{ }}{\text{ }}x_{i}\in U(x)}$

Замечательные пределы — термины, использующиеся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения двух широко известных математических тождеств со взятием предела:

• Первый замечательный предел:

  ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.}$

• Второй замечательный предел:

  ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e.}$

Замечательные пределы и их следствия используются при раскрытии неопределённостей для нахождения других пределов.

Ультрапредел — это конструкция, позволяющая определить предел для широкого класса математических объектов. В частности, она работает для числовых последовательностей и последовательностей точек в метрическом пространстве, допускает обобщения на последовательности  метрических пространств и последовательности функций на них. Эта конструкция часто используется, чтобы избежать многократного перехода к подпоследовательности. Эта конструкция использует существование неглавного ультрафильтра, доказательство которого в свою очередь использует аксиому выбора.