Измеримая функция

Пусть ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ и ${\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})}$ — два множества с выделенными алгебрами подмножеств. Тогда функция ${\displaystyle f:X\to Y}$ называется ${\displaystyle {\mathcal {F}}/{\mathcal {G}}}$-измеримой, или просто измеримой, если прообраз любого множества из ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ принадлежит ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, то есть

${\displaystyle \forall B\in {\mathcal {G}},\;f^{-1}(B)\in {\mathcal {F}},}$

где ${\displaystyle f^{-1}(B)}$ означает прообраз множества ${\displaystyle B}$.

• Если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ — топологические пространства, и алгебры ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ явно не указаны, то предполагается, что это борелевские σ-алгебры соответствующих пространств.
• Смысл данного определения в том, что если на множестве ${\displaystyle X}$ задана мера, то данная функция индуцирует (передаёт) эту меру и на множество ${\displaystyle Y}$.

Пусть дана функция ${\displaystyle f:(X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$. Тогда данное выше определение измеримости эквивалентно любому из нижеследующих:

• Функция ${\displaystyle f}$ измерима, если

  ${\displaystyle \forall c\in \mathbb {R} ,\;\{x\in X\mid f(x)\ >c\}\in {\mathcal {F}}}$.

• Функция ${\displaystyle f}$ измерима, если

  ${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {R} }$, таких что ${\displaystyle a\leq b}$, имеем ${\displaystyle \{x\in X\mid f(x)\in \langle a,b\rangle \}\in {\mathcal {F}}}$,

где ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ обозначает любой интервал, открытый, полуоткрытый или замкнутый.

• Пусть ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$ и ${\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$ — две копии вещественной прямой вместе с её борелевской σ-алгеброй. Тогда измеримая функция ${\displaystyle f:(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$ называется борелевской.
• Измеримая функция ${\displaystyle f:(\Omega ,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})}$, где ${\displaystyle \Omega }$ — множество элементарных исходов, а ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ — σ-алгебра случайных событий, называется случайным элементом. Частным случаем случайного элемента является случайная величина, для которой ${\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$.

• Пусть ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ — непрерывная функция. Тогда она измерима относительно борелевской σ-алгебры на числовой прямой.
• Пусть ${\displaystyle f:(X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )),}$ и ${\displaystyle f(x)=\mathbf {1} _{A}(x),\;x\in X}$ — индикатор множества ${\displaystyle A\not \in {\mathcal {F}}.}$ Тогда функция ${\displaystyle f}$ не является измеримой.

• Теорема Лузина. Функция ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ измерима тогда и только тогда, когда для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует непрерывная функция ${\displaystyle h\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ отличающаяся от ${\displaystyle f}$ на множестве меры не больше ${\displaystyle \varepsilon }$.

В 1901 году французский математик А. Лебег, на основе построенной им теории интеграла Лебега, поставил задачу: найти класс функций, более широкий, чем аналитические, однако при этом допускающий применение к нему многих аналитических методов. К этому времени уже существовала общая теория меры, разработанная Э. Борелем (1898), и первые работы Лебега опирались на борелевскую теорию. В диссертации Лебега (1902) теория меры была обобщена до так называемой меры Лебега. Лебег определил понятия измеримых множеств, ограниченных измеримых функций и интегралов для них, доказал, что все «обычные» ограниченные функции, исследуемые в анализе, измеримы, и что класс измеримых функций замкнут относительно основных аналитических операций, включая операцию предельного перехода. В 1904 году Лебег обобщил свою теорию, сняв условие ограниченности функции.

Исследования Лебега нашли широкий научный отклик, их продолжили и развили многие математики: Э Борель, М. Рис, Дж. Витали, М. Р. Фреше, Н. Н. Лузин, Д. Ф. Егоров и др. Было введено понятие сходимости по мере (1909), глубоко исследованы топологические свойства класса измеримых функций.

Труды Лебега имели ещё одно важное концептуальное значение: они были полностью основаны на спорной в те годы канторовской теории множеств, и плодотворность лебеговской теории послужила веским аргументом для принятия теории множеств как фундамента математики.