Независимые испытания

Симметричная монета подбрасывается 5 раз. Найти вероятность того, что орёл выпадет ровно 3 раза.

Решение. Событие ${\displaystyle A}$ — выпал орёл. Так как монета симметричная, ${\displaystyle p=0{,}5}$. Тогда ${\displaystyle q=1-0{,}5=0{,}5}$. Число испытаний ${\displaystyle n=5}$, нужное количество успехов ${\displaystyle k=3}$.

Вычисляем число сочетаний: ${\displaystyle C_{5}^{3}={\frac {5!}{3!2!}}=10}$.

Подставляем в формулу: ${\displaystyle P_{5}(3)=10\cdot 0{,}5^{3}\cdot 0{,}5^{2}=0{,}3125\approx 0{,}31}$.

Ответ: ${\displaystyle 0{,}31}$.

Стрелок попадает в мишень с вероятностью ${\displaystyle 0{,}8}$. Он делает 4 выстрела. Найти вероятность того, что он попадёт ровно 3 раза.

Решение. Событие ${\displaystyle A}$ — стрелок попал в цель. Тогда ${\displaystyle p=0{,}8}$ (вероятность одного попадания), ${\displaystyle q=0{,}2}$ (вероятность промаха). Нужно найти вероятность ${\displaystyle k=3}$ попаданий из ${\displaystyle n=4}$ попыток.

${\displaystyle C_{4}^{3}=4}$.

${\displaystyle P_{4}(3)=4\cdot 0{,}8^{3}\cdot 0{,}2^{1}=0{,}4096\approx 0{,}41}$.

Ответ: ${\displaystyle 0{,}41}$.

В урне лежат 3 белых и 7 чёрных шаров (всего 10). Из урны вынимают один шар, записывают его цвет и кладут обратно. Это повторяют 3 раза. Найти вероятность достать ровно 2 белых шара.

Решение. Вероятность достать белый шар: ${\displaystyle p=0{,}3}$. Вероятность достать чёрный: ${\displaystyle q=0{,}7}$. Испытаний ${\displaystyle n=3}$, успехов ${\displaystyle k=2}$.

${\displaystyle P_{3}(2)=C_{3}^{2}\cdot 0{,}3^{2}\cdot 0{,}7^{1}=3\cdot 0{,}09\cdot 0{,}7=0{,}189}$.

Важно помнить: если бы шары доставались без возвращения, вероятности бы менялись после каждого шага, и схема Бернулли была бы неприменима.