Топология

Топология берёт своё начало с изучения некоторых геометрических задач. Отдельные результаты топологического характера были получены в XVIII в. Л. Эйлером и в XIX в. М. Э. К. Жорданом. Термин «топология» впервые появился в 1847 году в работе Листинга. Листинг определяет топологию так:

«Под топологией будем понимать учение о модальных отношениях пространственных образов — или о законах связности, взаимного положения и следования точек, линий, поверхностей, тел и их частей или их совокупности в пространстве, независимо от отношений мер и величин»^[3].

В период становления топологии как раздела математики (XVIII—XIX века) её называли геометрией размещения (лат. geometria situs) или анализом размещения (лат. analysis situs). Дальнейшее развитие топологии связано с именами А. Пуанкаре (цикл статей Analysis situs) и А.-Л. Лебега. В XX в. трудами М.-Р. Фреше и Ф. Хаусдорфа создаётся общее понятие топологического пространства. Общая топология зародилась в конце XIX века и оформилась в самостоятельную математическую дисциплину в начале XX века. Первая четверть XX в. завершается расцветом общей топологии. Затем появилась московская топологическая школа во главе с П. С. Александровым. Приблизительно с 1925 по 1975 год топология являлась одной из самых бурно развивающихся отраслей математики^[4]. К началу XXI века она скорее является вспомогательной дисциплиной, «обслуживающей» многие области математики: алгебраическую топологию, функциональный анализ, комплексный анализ, теорию графов.

Предметом топологии является исследование свойств фигур и их взаимного расположения, сохраняющихся при гомеоморфизмах, то есть при взаимно однозначных непрерывных отображениях одного топологического пространства на другое, при этом обратные отображения тоже непрерывны.

Под «фигурой» в топологии понимается любое множество точек, в котором задано отношение близости между точками и некоторыми подмножествами, удовлетворяющее определённым аксиомам. Такие фигуры называются топологическими пространствами. Практически всякая фигура в смысле какой-либо другой геометрии (например, проективной, дифференциальной) может рассматриваться и как топологическое пространство. В этом смысле топология является наиболее общей геометрией, однако многие свойства фигур, которые изучаются в других геометриях, не относятся к предмету топологии.

Основными объектами исследования в топологии являются топологические пространства, которые в первом приближении представляют собой классы эквивалентности по описанному выше отношению (то есть гомеоморфности) геометрических фигур и произвольных метрических пространств. За счёт того, что основные понятия топологии не требуют для своего определения никаких классических геометрических понятий, эта теория применяется к объектам, далёким от геометрических, проникает практически во все области математики и допускает многочисленные приложения.

Главная задача топологии — выделение и изучение свойств пространств, сохраняющихся при любых гомеоморфизмах одного топологического пространства на другое — топологических инвариантов. К их числу относится, например, размерность. Кроме того, большое внимание в топологии уделяется свойствам расположения одной фигуры в другой, одного топологического пространства в другом, сохраняющимся при гомеоморфизмах объемлющего пространства на себя.

Первостепенной задачей топологии является задача классификации. Решение данной задачи требует топологических инвариантов, то есть таких характеристик пространства, которые сохраняются при гомеоморфизме. Изучение подобных характеристик послужило важным стимулом для развития топологии и восходит к открытию тождества Эйлера — соотношения между количествами вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г) выпуклого многогранника: В ${\displaystyle -}$ Р ${\displaystyle +}$ Г ${\displaystyle =2}$. Объяснение этого тождества с точки зрения топологии в том, что выражение слева от равенства является топологическим инвариантом, а все выпуклые многогранники гомеоморфны между собой (и гомеоморфны шару). Впоследствии тождество Эйлера позволило установить топологический инвариант совершенно произвольного топологического пространства — его эйлерову характеристику. В частности, этот инвариант позволяет отличить шар от бублика и круг от кольца.

К числу наиболее важных классов топологических пространств, сформировавшихся из требований, предъявленных к топологии математикой в целом, относятся, в частности, многообразия — локально эти топологические пространства устроены как евклидово пространство; полиэдры — эти пространства правильным образом «скроены» из элементарных фигур, подобных отрезку, треугольнику, тетраэдру и т. д.; пространства функций — топологические объекты этого рода играют фундаментальную роль в функциональном анализе и его приложениях.

Исследование всех названных классов пространств объединено общей идеей гомеоморфизма и порождённым ею понятием топологического инварианта. Изначально топология объединена своими исходными концепциями, и её единство подтверждено в процессе её развития^[2].

Общая топология, или теоретико-множественная топология, — раздел топологии о непрерывности в чистом виде. Она посвящена, в частности, исследованию фундаментальных топологических свойств, таких как связность и компактность.

Маломерная топология — раздел топологии, сосредоточенный в основном вокруг многообразий малой размерности, то есть узлов, кос, поверхностей, трёхмерных и четырёхмерных многообразий.

Алгебраическая топология — раздел топологии о непрерывности с использованием алгебраических объектов, вроде гомотопических групп и гомологий.

Дифференциальная топология — раздел топологии о гладких многообразиях с точностью до диффеоморфизма и их включениях (размещениях) в других многообразиях.

Вычислительная топология — раздел, находящийся на пересечении топологии, вычислительной геометрии и теории вычислительной сложности. Занимается созданием эффективных алгоритмов для решения топологических проблем и применением топологических методов для решения алгоритмических проблем, возникающих в других областях науки.