Бета-функция

Бета-функция симметрична относительно перестановки переменных, то есть

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\operatorname {\mathrm {B} } (y,x).}$

Бета-функцию можно выразить через другие функции:

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}},}$

где ${\displaystyle \Gamma (x)}$ — Гамма-функция;

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int \limits _{0}^{\pi /2}\sin ^{2x-1}\theta \cos ^{2y-1}\theta \,d\theta ,\quad \operatorname {Re} x>0,\ \operatorname {Re} y>0;}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt,\quad \operatorname {Re} x>0,\ \operatorname {Re} y>0;}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(y)_{n+1}}{n!(x+n)}},}$

где ${\displaystyle (x)_{n}}$ — нисходящий факториал, равный ${\displaystyle x\cdot (x-1)\cdot (x-2)\cdot \ldots \cdot (x-n+1)}$.

Подобно тому как гамма-функция для целых чисел является обобщением факториала, бета-функция является обобщением биномиальных коэффициентов с немного изменёнными параметрами:

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}.}$

Бета-функция удовлетворяет двумерному разностному уравнению:

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)-\mathrm {B} (x+1,y)-\mathrm {B} (x,y+1)=0.}$

Частные производные у бета-функции следующие:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}-{\frac {\Gamma '(x+y)}{\Gamma (x+y)}}\right)=\mathrm {B} (x,y){\big (}\psi (x)-\psi (x+y){\big )},}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\frac {\Gamma '(y)}{\Gamma (y)}}-{\frac {\Gamma '(x+y)}{\Gamma (x+y)}}\right)=\mathrm {B} (x,y){\big (}\psi (y)-\psi (x+y){\big )},}$

где ${\displaystyle \psi (x)}$ — дигамма-функция.

Неполная бета-функция — это обобщение бета-функции, заменяющее интеграл по отрезку ${\displaystyle [0,1]}$ на интеграл с переменным верхним пределом:

${\displaystyle \mathrm {B} _{x}(a,b)=\int \limits _{0}^{x}t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt.}$

При ${\displaystyle x=1}$ неполная бета-функция совпадает с полной.

Регуляризованная неполная бета-функция определяется через полную и неполную бета-функции:

${\displaystyle I_{x}(a,b)={\frac {\mathrm {B} _{x}(a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.}$

${\displaystyle I_{0}(a,b)=0,}$

${\displaystyle I_{1}(a,b)=1,}$

${\displaystyle I_{x}(a,b)=1-I_{1-x}(b,a),}$

${\displaystyle I_{x}(a+1,b)=I_{x}(a,b)-{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{aB(a,b)}}.}$