Радиан

В качестве единицы измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ) радиан был принят XI Генеральной конференцией по мерам и весам в 1960 году одновременно с принятием системы СИ в целом^[6]. В настоящее время в системе СИ радиан квалифицируется как когерентная^[7] безразмерная производная единица СИ, имеющая специальные наименование и обозначение. Русское обозначение — рад, международное — rad^[8].

Безразмерность плоского угла означает, что единицей его измерения является число один. Однако, применительно к плоскому углу единице «один» было присвоено специальное наименование «радиан» для того, чтобы в каждом конкретном случае облегчить понимание того, какая именно величина имеется в виду^[9].

Десятичные кратные и дольные единицы радиана образуются с помощью стандартных приставок СИ, однако используются редко. Так, в миллирадианах, микрорадианах и нанорадианах измеряется угловое разрешение в астрономии. В кратных единицах (килорадианах и т. д.) измеряется набег угловой фазы. Сокращённое обозначение (рад, rad) основной и производных единиц не следует путать с устаревшей единицей измерения поглощённой дозы ионизирующего излучения — рад.

Пропорциональное соотношение радиана с другими единицами измерения углов описывается формулой:

• 1 радиан = 1/(2π) оборотов = 180/π градусов = 200/π градов.

Очевидно, развёрнутый угол равен ${\displaystyle 180^{\circ },}$ или ${\displaystyle {\frac {\pi \cdot r}{r}}=\pi }$ радианам. Отсюда вытекает тривиальная формула пересчёта из градусов, минут и секунд в радианы и наоборот.

a[°] = α[рад] × (360° / (2π)) или α[рад] × (180° / π),

α[рад] = a[°] : (180° / π) = a[°] × (π / 180°),

где α[рад] — угол в радианах, a[°] — угол в градусах.

1 рад (или ${\displaystyle \rho ^{\circ }}$) = ${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\approx 57{,}295779513^{\circ }\approx 57^{\circ }17'44{,}806''}$(мнемоническое правило запоминания в градусах-минутах-секундах: «Число радиана и порядок шутя пишу наизусть», где число букв в каждом слове равно соответствующей цифре в записи значения радиана, до десятой доли угловой секунды)

${\displaystyle \rho '}$ (или 1 рад в минутах) = ${\displaystyle {\frac {360^{\circ }\cdot 60'}{2\pi }}\approx 3437{,}747'}$

${\displaystyle \rho ''}$ (или 1 рад в секундах) = ${\displaystyle {\frac {360^{\circ }\cdot 60'\cdot 60''}{2\pi }}\approx 206264{,}8''.}$

В метрической системе угловых мер прямой угол делится на 100 градов и каждый град на 100 сантиградов, который, в свою очередь, делится на сотые доли сантиграда, так что
${\displaystyle \rho _{\prime \prime }}$ (или 1 рад в сотых долях «сантиграда») = ${\displaystyle {\frac {400\cdot 100\cdot 100}{2\pi }}=636620.}$
Употреблять его практически не приходится, так как метрическая система угловых мер пока не получила широкого распространения.

Чтобы легче запомнить, как переводят радианы в градусы и обратно, заметим:
Переводя радианы в градусы (или в минуты, или в секунды), мы из отвлечённого числа (${\displaystyle \mathrm {rad} }$) делаем именованное (${\displaystyle \rho ^{\circ },\rho ',\rho ''}$) и поэтому должны множить на ${\displaystyle \rho ^{\circ }~(}$или ${\displaystyle \rho ',\rho '')}$;
Переводя градусы в радианы, мы, наоборот, уничтожаем наименование: получаем отвлечённое число; значит, здесь надо делить на ${\displaystyle \rho ^{\circ }~(}$или ${\displaystyle \rho ',\rho ''),}$ либо же умножать на перевёрнутую дробь ${\displaystyle {\frac {1}{\rho ^{\circ }}}~({\frac {1}{\rho '}},{\frac {1}{\rho ''}}).}$

Пример 1. Перевести в радианы ${\displaystyle 5^{\circ }43'46''.}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}[\mathrm {rad} ]\eqcirc 5^{\circ }={\frac {5^{\circ }}{\displaystyle {\rho ^{\circ }}}}~\mathrm {rad} =0{,}0872_{6}}$^[10]

${\displaystyle 43'={\frac {43'}{\rho '}}~\mathrm {rad} =0{,}0125_{08}}$^[10]

${\displaystyle 46''={\frac {46''}{\rho ''}}~\mathrm {rad} =0{,}0002_{23}}$^[10]

${\displaystyle \sum \approx 0{,}0999_{9}~\mathrm {rad} }$^[10] ${\displaystyle =0{,}1~\mathrm {rad} }$

Альтернативный способ предусматривает перевод минут и секунд в десятичные (сотые и десятитысячные) доли градуса,
и однократного деления на ${\displaystyle \rho ^{\circ }:}$ (как правило, этот способ более точен)

${\displaystyle 46''={\frac {46''}{60''}}=0{,}{\boldsymbol {77}}'}$

${\displaystyle 43{,}{\boldsymbol {77}}'={\frac {43{,}77'}{60'}}=0{,}{\boldsymbol {7295}}^{\circ }}$

${\displaystyle \sum =5{,}{\boldsymbol {7295}}^{\circ }}$

${\displaystyle 5{,}7295^{\circ }={\frac {5{,}7295^{\circ }}{\rho ^{\circ }}}~\mathrm {rad} ={\frac {5{,}7295^{\circ }}{\displaystyle {57{,}295^{\circ }}}}=0{,}1~\mathrm {rad} }$

Пример 2. Перевести в градусы 1 радиан.

${\displaystyle a[^{\circ }]\eqcirc 1\cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}=1\cdot 57{,}29578^{\circ }=57{,}{\boldsymbol {29578}}^{\circ }}$

${\displaystyle 0{,}{\boldsymbol {29578}}^{\circ }\cdot 60'=17{,}{\boldsymbol {7468}}'}$

${\displaystyle 0{,}{\boldsymbol {7468}}'\cdot 60''=44{,}807''\approx 45''}$

Итого ${\displaystyle \approx 57^{\circ }17'45''.}$

Таблица углов^[11]

Угол, в долях от полного	Градусы	Радианы	Грады	Синус	Косинус	Тангенс
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0^{\circ }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle {\frac {1}{24}}}$	${\displaystyle 15^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}$	${\displaystyle 33{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{12}}}$	${\displaystyle 30^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle 16{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$	${\displaystyle 45^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle 50^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle 60^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle 66{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {5}{24}}}$	${\displaystyle 75^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{12}}}$	${\displaystyle 88{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)}$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle 100^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	не определён
${\displaystyle {\frac {7}{24}}}$	${\displaystyle 105^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {7\pi }{12}}}$	${\displaystyle 116{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)}$	${\displaystyle -2-{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle 120^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}}$	${\displaystyle 133{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {3}{8}}}$	${\displaystyle 135^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}}$	${\displaystyle 150^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle -1}$
${\displaystyle {\frac {5}{12}}}$	${\displaystyle 150^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}}$	${\displaystyle 166{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}}$
${\displaystyle {\frac {11}{24}}}$	${\displaystyle 165^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {11\pi }{12}}}$	${\displaystyle 183{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)}$	${\displaystyle -2+{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle 180^{\circ }}$	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle 200^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle {\frac {7}{12}}}$	${\displaystyle 210^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {7\pi }{6}}}$	${\displaystyle 233{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$
${\displaystyle {\dfrac {5}{8}}}$	${\displaystyle 225^{\circ }}$	${\displaystyle {\dfrac {5\pi }{4}}}$	${\displaystyle 250^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$	${\displaystyle 240^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}}$	${\displaystyle 266{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {3}{4}}}$	${\displaystyle 270^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}$	${\displaystyle 300^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$	не определён
${\displaystyle {\frac {5}{6}}}$	${\displaystyle 300^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{3}}}$	${\displaystyle 333{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\frac {7}{8}}}$	${\displaystyle 315^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {7\pi }{4}}}$	${\displaystyle 350^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle -1}$
${\displaystyle {\frac {11}{12}}}$	${\displaystyle 330^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {11\pi }{6}}}$	${\displaystyle 366{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 360^{\circ }}$	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle 400^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$

При рассмотрении тригонометрических функций в математическом анализе всегда считается, что аргумент выражен в радианах, что упрощает запись; при этом само обозначение рад (rad) часто опускается.

При малых углах синус и тангенс угла, выраженного в радианах, приблизительно равны самому углу (в радианах), что удобно при приближённых вычислениях. При углах менее ${\displaystyle 0{,}1~\mathrm {rad} ~(5^{\circ }43'{,}77)}$, приближение можно считать верным до третьего знака после запятой. Если угол меньше ${\displaystyle 0{,}01~\mathrm {rad} ~(0^{\circ }34'{,}38)}$, — то до шестого знака после запятой^[12]:

${\displaystyle \sin \alpha \approx \operatorname {tg} \,\alpha \approx \alpha .}$

Первое использование радиана вместо углового градуса для деления окружности на части с помощью её собственного радиуса обычно приписывают Роджеру Котсу (XVIII век), который считал эту единицу измерения угла наиболее естественной^[13]. Однако идея измерять длину дуги радиусом окружности использовалась и другими математиками. Например, Аль-Каши использовал единицу измерения, названную им «часть диаметра», которая равнялась 1/60 радиана. Также им использовались и более мелкие производные единицы^[14].

Термин «радиан» впервые появился в печати 5 июня 1873 года в экзаменационных билетах, составленных Джеймсом Томсоном из Университета Квинса в Белфасте. Томсон использовал термин не позднее 1871 года, в то время как Томас Мьюр из Сент-Эндрюсского университета в 1869 году колебался в выборе между терминами «рад», «радиал» и «радиан». В 1874 году Мьюр, после консультаций с Джеймсом Томсоном, решил использовать термин «радиан»^[15][16][17].