Уравнение Риккати

Частный случай такого уравнения:

${\displaystyle b{\frac {dx}{dt}}=x^{2}+at^{\alpha },\quad (**)}$

где ${\displaystyle \alpha ,\,a,\,b}$ — не равные нулю постоянные, впервые был исследован итальянскими математиками Якопо Франческо Риккати и семейством Бернулли (Даниил, Иоганн, Николай-старший и Николай-младший)^[5][6]. Ими было найдено условие, при котором это уравнение допускает разделение переменных и, следовательно, интегрирование в квадратурах: ${\displaystyle \alpha ={4n}/{(1-2n)},\ n\in \mathbb {N} ,}$ или ${\displaystyle \alpha =-2.}$ Как доказал Жозеф Лиувилль (1841), при других значениях ${\displaystyle \alpha }$ решение уравнения ${\displaystyle (**)}$ нельзя выразить в квадратурах от элементарных функций; общее решение его может быть записано с помощью цилиндрических функций.

Уравнение вида ${\displaystyle (*)}$ часто называют общим уравнением Риккати, а уравнение вида ${\displaystyle (**)}$ — специальным уравнением Риккати.

• Уравнение Риккати в случае ${\displaystyle a(t)=0}$ является линейным и интегрируется в квадратурах.
• Уравнение Риккати в случае ${\displaystyle c(t)=0}$ является уравнением Бернулли и интегрируется в квадратурах с помощью замены ${\displaystyle y=1/x.}$
• Общее решение уравнения Риккати является дробно-линейной функцией от постоянной интегрирования, и обратно, любое дифференциальное уравнение первого порядка, обладающее этим свойством, является уравнением Риккати.
• Если ${\displaystyle x_{1}(t),\ldots ,x_{4}(t)}$ — частные решения уравнения Риккати, соответствующие значениям ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{4}}$ постоянной интегрирования, то имеет место тождество

${\displaystyle {\frac {x_{3}(t)-x_{1}(t)}{x_{3}(t)-x_{2}(t)}}:{\frac {x_{4}(t)-x_{1}(t)}{x_{4}(t)-x_{2}(t)}}\equiv {\frac {c_{3}-c_{1}}{c_{3}-c_{2}}}:{\frac {c_{4}-c_{1}}{c_{4}-c_{2}}}.\quad (***)}$

• Левая часть тождества ${\displaystyle (***)}$ — двойное отношение четырёх частных решений — является первым интегралом уравнения Риккати. Таким образом, общее решение уравнения восстанавливается из трёх независимых частных решений по формуле ${\displaystyle (***)}$.

• В римановой геометрии уравнению Риккати
• :${\displaystyle S'(V)+S^{2}(V)+R(V,T)T=0}$

удовлетворяют операторы формы для эквидистанционных поверхностей вдоль перпендикулярной к ним геодезической с касательным полем ${\displaystyle T}$. Как и уравнение Якоби, это уравнение применяется при исследовании геодезических.

Матричным уравнением Риккати называется дифференциальное уравнение:

${\displaystyle {\frac {dX}{dt}}=XA(t)X+B_{1}(t)X+XB_{2}(t)+C(t)}$

относительно неизвестной квадратной матрицы ${\displaystyle X=(x_{ij})}$ порядка ${\displaystyle n}$, в котором ${\displaystyle A,B_{1},B_{2},C}$ — заданные квадратные матрицы порядка ${\displaystyle n}$ с зависящими от переменной ${\displaystyle t}$ коэффициентами.

В вариационном исчислении большую роль играет матричное уравнение Риккати вида:

${\displaystyle {\frac {dW}{dt}}=(R(t)+W)\cdot P^{-1}(t)\cdot (R^{*}(t)+W)-Q(t)}$

относительно неизвестной квадратной матрицы ${\displaystyle W=(w_{ij})}$ порядка ${\displaystyle n}$, в котором ${\displaystyle P,Q,R}$ — заданные квадратные матрицы порядка ${\displaystyle n}$ с зависящими от переменной ${\displaystyle t}$ коэффициентами, причём ${\displaystyle \det P\neq 0,}$ звёздочка означает транспонирование. Оно тесно связано с уравнением Якоби для второй вариации интегрального функционала:

${\displaystyle J=\int f(t,x,{\dot {x}})\,dt,\quad x=(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

в стационарной точке ${\displaystyle {\widehat {x}}(\cdot ).}$ При этом матрицы:

${\displaystyle P(t)={\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\dot {x}}_{i}\partial {\dot {x}}_{j}}}{\Bigr )}{\Bigl |}_{{\widehat {x}}(t)},\ \,Q(t)={\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}{\Bigr )}{\Bigl |}_{{\widehat {x}}(t)},\ \,R(t)={\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial {\dot {x}}_{j}}}{\Bigr )}{\Bigl |}_{{\widehat {x}}(t)}.}$

Дифференциальное уравнение Дарбу является прямым обобщением уравнения Риккати. В общем виде оно записывается как:

${\displaystyle M(x,y)dx-L(x,y)dy+N(x,y)(x\,dy-y\,dx)=0,}$

где ${\displaystyle M,L,N}$ — многочлены от переменных ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$. Разрешая это уравнение относительно производной, получаем его нормальную форму:

${\displaystyle y'={\frac {yN(x,y)-M(x,y)}{xN(x,y)-L(x,y)}}.}$

Сведение к уравнению Риккати. Если выбрать ${\displaystyle N(x,y)=0}$ и ${\displaystyle L(x,y)=-1}$, а в качестве ${\displaystyle M(x,y)}$ взять квадратный трёхчлен относительно ${\displaystyle y}$, то есть ${\displaystyle M(x,y)=-(a(x)y^{2}+b(x)y+c(x))}$, знаменатель обращается в единицу, и уравнение Дарбу тождественно преобразуется к виду общего уравнения Риккати:

${\displaystyle y'=a(x)y^{2}+b(x)y+c(x).}$

Альтернативный выбор, например ${\displaystyle N(x,y)=L(x,y)=1}$, также приводит к правой части, квадратичной по ${\displaystyle y}$ (при полиномиальном ${\displaystyle M}$ второй степени), однако такой выбор вводит искусственную особую точку при ${\displaystyle x=1}$ из-за обращения в ноль знаменателя ${\displaystyle xN-L}$.

Обратное вложение. Любое уравнение Риккати с полиномиальной правой частью ${\displaystyle y'=R(x,y)}$ (где ${\displaystyle R}$ — многочлен второй степени по ${\displaystyle y}$) может быть тождественно вложено в форму Дарбу без введения знаменателя. Для этого достаточно выбрать ${\displaystyle N(x,y)=0}$, ${\displaystyle L(x,y)=-1}$ и ${\displaystyle M(x,y)=-R(x,y)}$. В этом случае знаменатель ${\displaystyle xN-L}$ тождественно равен ${\displaystyle 1}$, а правая часть нормальной формы в точности совпадает с ${\displaystyle R(x,y)}$. Таким образом, класс уравнений Дарбу строго содержит в себе все уравнения Риккати с полиномиальными коэффициентами, что подтверждает статус уравнения Дарбу как его обобщения в строгом математическом смысле.

Как и в случае уравнения Риккати, общее решение уравнения Дарбу, вообще говоря, не выражается в квадратурах. Оно может быть найдено в замкнутом виде лишь при наличии достаточного числа частных алгебраических решений (интегральных кривых), что является предметом изучения в теории интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка.