Абсолютная сходимость

Ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$, где ${\displaystyle a_{n}\in \mathbb {C} }$, называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|<\infty .}$

Если ряд ${\displaystyle \sum a_{n}}$ сходится, а ряд ${\displaystyle \sum |a_{n}|}$ расходится, то исходный ряд называется условно сходящимся^[11][12].

Эквивалентная формулировка: ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ абсолютно сходится тогда и только тогда, когда для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует такое ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$, что для всех ${\displaystyle m>n>N}$ выполняется неравенство

${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{m}|a_{k}|<\varepsilon .}$

Это условие является прямым следствием критерия Коши применительно к ряду ${\displaystyle \sum |a_{n}|}$ и показывает, что требование абсолютной сходимости строже обычного критерия Коши для исходного ряда.

• Абсолютно сходящийся ряд: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{12}}}$. Сам ряд сходится к ${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{12}}}$, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}<\infty }$ (классическая задача Базеля). Поскольку ряд из модулей сходится, исходный ряд сходится абсолютно.
• Условно сходящийся ряд: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2}$. Ряд из модулей членов является расходящимся гармоническим рядом ${\displaystyle \sum {\frac {1}{n}}}$, поэтому исходный ряд сходится лишь условно.
• Расходящийся ряд: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}}$ расходится, так как его члены не стремятся к нулю^[13][14].

Понятие абсолютной сходимости естественным образом обобщается на случай рядов в нормированных пространствах. Пусть ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}$ — ряд в нормированном пространстве ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$. Он называется абсолютно сходящимся, если сходится числовой ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\|x_{n}\|<\infty .}$

Связь между абсолютной и обычной сходимостью в пространствах устанавливается через понятие полноты: нормированное пространство является полным (то есть банаховым) тогда и только тогда, когда из абсолютной сходимости любого ряда в нём следует его обычная сходимость^[15]. Данный критерий служит одним из удобных способов доказательства полноты конкретных функциональных пространств.

Важный частный случай — пространства ${\displaystyle \ell ^{p}}$ (последовательностей, суммируемых со степенью ${\displaystyle p}$) и пространства ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ суммируемых функций. В этих банаховых пространствах абсолютная сходимость рядов активно используется при исследовании базисов, в частности безусловных базисов, элементы которых по определению образуют абсолютно сходящиеся разложения для всех векторов из определённого класса^[16].

Несобственный интеграл ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ (в том числе с особыми точками или на бесконечном промежутке) называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл от модуля подынтегральной функции:

${\displaystyle \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx<\infty .}$

Это означает, что при всех допустимых способах устремления пределов интегрирования к особым точкам или к бесконечности интеграл от ${\displaystyle |f(x)|}$ остаётся ограниченным. Если несобственный интеграл ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ сходится, а ${\displaystyle \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx}$ расходится, то исходный интеграл называется условно сходящимся^[17].

• Абсолютно сходящийся интеграл: ${\displaystyle \int _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x^{2}}}\,dx}$. Поскольку ${\displaystyle \left|{\frac {\sin x}{x^{2}}}\right|\leq {\frac {1}{x^{2}}}}$, а интеграл ${\displaystyle \int _{1}^{+\infty }{\frac {dx}{x^{2}}}}$ сходится, исходный интеграл сходится абсолютно по признаку сравнения.
• Условно сходящийся интеграл: ${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}$. Этот интеграл Дирихле сходится (что устанавливается, например, признаком Дирихле), однако ${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\left|{\frac {\sin x}{x}}\right|dx}$ расходится.

Понятие абсолютной сходимости распространяется и на двойные ряды ${\displaystyle \sum _{m,n=1}^{\infty }a_{mn}}$. Такой ряд называется абсолютно сходящимся, если

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }|a_{mn}|<\infty .}$

В этом случае двойной ряд можно суммировать в любом порядке (сначала по ${\displaystyle m}$, затем по ${\displaystyle n}$, или наоборот, или в произвольном ином порядке), и результат не зависит от выбора порядка суммирования^[18][19]. Это обобщение важно в теории функций комплексного переменного и в теории вероятностей при работе с производящими функциями и характеристическими функциями^[20].

В пространствах ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (а также в любом банаховом пространстве) из абсолютной сходимости ряда автоматически следует его обычная сходимость. Это вытекает из неравенства треугольника:

${\displaystyle \left|\sum _{k=n+1}^{m}a_{k}\right|\leq \sum _{k=n+1}^{m}|a_{k}|,}$

которое показывает, что выполнение условия Коши для ${\displaystyle \sum |a_{n}|}$ влечёт выполнение условия Коши для ${\displaystyle \sum a_{n}}$.

Обратное утверждение неверно: существуют условно сходящиеся ряды, например знакочередующийся ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2}$, который сходится, однако не абсолютно.

Таким образом, множество абсолютно сходящихся рядов строго включено в множество сходящихся рядов:

${\displaystyle \{{\text{абсолютно сходящиеся}}\}\subsetneq \{{\text{сходящиеся}}\}.}$^[21]

Одним из важнейших свойств абсолютной сходимости является инвариантность суммы относительно перестановки членов. Если ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ сходится абсолютно, то любой ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится абсолютно, причём его сумма равна сумме исходного ряда^[22].

Теорема Дирихле — Римана. Если ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ сходится абсолютно к сумме ${\displaystyle S}$, то для любой биекции ${\displaystyle \sigma \colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}}$ также сходится абсолютно, и его сумма равна ${\displaystyle S}$^[23].

Для условно сходящихся рядов это свойство нарушается. Согласно теореме Римана о перестановке членов, членами условно сходящегося ряда можно так переставить, что он будет сходиться к любому наперёд заданному вещественному числу ${\displaystyle L}$ (или расходиться к ${\displaystyle \pm \infty }$, или даже не иметь предела частичных сумм).

Суть теоремы и механизм её доказательства. Если ряд ${\displaystyle \sum a_{n}}$ сходится условно, то ряды, составленные исключительно из его положительных (${\displaystyle p_{n}}$) и отрицательных (${\displaystyle q_{n}}$) членов, расходятся: ${\displaystyle \sum p_{n}=+\infty }$ и ${\displaystyle \sum q_{n}=+\infty }$. Чтобы получить сумму ${\displaystyle L}$, применяется следующий алгоритм: сначала берутся первые несколько положительных членов до тех пор, пока их сумма не превысит ${\displaystyle L}$; затем прибавляются отрицательные члены, пока сумма не станет меньше ${\displaystyle L}$; затем снова положительные, и так далее. Поскольку суммы ${\displaystyle p_{n}}$ и ${\displaystyle q_{n}}$ неограниченно растут, а общие члены ${\displaystyle a_{n}\to 0}$, этот процесс «качелей» вокруг числа ${\displaystyle L}$ будет сходиться ровно к ${\displaystyle L}$. Этот поразительный факт наглядно демонстрирует принципиальное отличие условной сходимости от абсолютной^[24][25].

Если два ряда ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ и ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}}$ сходятся абсолютно к суммам ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ соответственно, то их произведение Коши

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n},\quad {\text{где}}\quad c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k},}$

также сходится абсолютно, причём к произведению ${\displaystyle A\cdot B}$.

Более того, при абсолютной сходимости обоих множителей справедливо и более общее утверждение: произведение

${\displaystyle \left(\sum _{m=0}^{\infty }a_{m}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)=\sum _{m,n\geq 0}a_{m}b_{n}}$

можно вычислять в любом порядке суммирования двойного ряда, и результат всегда равен ${\displaystyle A\cdot B}$^[26]. Это свойство активно используется при перемножении степенных рядов и в комбинаторном анализе при работе с производящими функциями.

Важно отметить, что без условия абсолютной сходимости хотя бы одного из рядов-множителей произведение Коши может расходиться: классический пример — произведение ряда ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n+1}}}}$ на себя^[27].

Абсолютная сходимость совместима с линейными операциями над рядами. Если ${\displaystyle \sum a_{n}}$ и ${\displaystyle \sum b_{n}}$ абсолютно сходятся, а ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$ — произвольные константы, то ряд ${\displaystyle \sum (\alpha a_{n}+\beta b_{n})}$ также сходится абсолютно, причём

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(\alpha a_{n}+\beta b_{n})=\alpha \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}+\beta \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}.}$

Это означает, что множество абсолютно сходящихся рядов образует линейное пространство над ${\displaystyle \mathbb {C} }$^[28].

Для абсолютно сходящегося ряда легко оценить остаток. Если ${\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ и ${\displaystyle S_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}}$ — ${\displaystyle N}$-я частичная сумма, то остаток ${\displaystyle R_{N}=S-S_{N}}$ удовлетворяет неравенству:

${\displaystyle |R_{N}|=\left|\sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}\right|\leq \sum _{n=N+1}^{\infty }|a_{n}|.}$

Правая часть стремится к нулю при ${\displaystyle N\to \infty }$ в силу абсолютной сходимости ряда, что даёт количественный контроль за скоростью приближения частичных сумм к пределу^[29].

1. 1. 1. Сходимость подрядов ===

Любой подряд абсолютно сходящегося ряда, то есть ряд ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{n_{k}}}$, где ${\displaystyle n_{1}<n_{2}<\ldots }$ — строго возрастающая последовательность натуральных чисел, также сходится абсолютно, и его сумма не превосходит по модулю суммы ряда из модулей:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|a_{n_{k}}|\leq \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|.}$

Это свойство является простым следствием неотрицательности и монотонности частичных сумм ряда ${\displaystyle \sum |a_{n}|}$^[30].

В теории меры абсолютная сходимость ряда ${\displaystyle \sum a_{n}}$ эквивалентна суммируемости (в смысле интеграла Лебега) функции ${\displaystyle n\mapsto a_{n}}$ относительно считающей меры на ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Это наблюдение позволяет применять к абсолютно сходящимся рядам теоремы о предельном переходе под знаком интеграла — в частности, теорему о мажорируемой сходимости и теорему Беппо Леви — что существенно расширяет аналитический инструментарий^[31].

Если ${\displaystyle |a_{n}|\leq c_{n}}$ для всех достаточно больших ${\displaystyle n}$ и ряд ${\displaystyle \sum c_{n}}$ сходится, то ${\displaystyle \sum a_{n}}$ сходится абсолютно. Признак применяется, когда члены ряда можно мажорировать членами эталонного сходящегося ряда (например, геометрического или обобщённого гармонического ряда ${\displaystyle \sum n^{-p}}$ при ${\displaystyle p>1}$).

Если существует предел

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}},}$

то при ${\displaystyle L<1}$ ряд ${\displaystyle \sum a_{n}}$ сходится абсолютно, при ${\displaystyle L>1}$ — расходится, при ${\displaystyle L=1}$ признак не даёт ответа. Признак особенно эффективен для рядов, члены которых содержат факториалы или показательные функции^[32].

Если существует предел

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

то при ${\displaystyle L<1}$ ряд ${\displaystyle \sum a_{n}}$ сходится абсолютно, при ${\displaystyle L>1}$ — расходится, при ${\displaystyle L=1}$ признак не даёт ответа. Признак Коши сильнее признака Даламбера: из существования предела Даламбера следует существование предела Коши и их равенство, но не наоборот^[33][34].

Признак Гаусса применяется для рядов, у которых

${\displaystyle {\frac {|a_{n}|}{|a_{n+1}|}}=1+{\frac {\lambda }{n}}+O\!\left({\frac {1}{n^{1+\delta }}}\right),\quad \delta >0.}$

При ${\displaystyle \lambda >1}$ ряд сходится абсолютно, при ${\displaystyle \lambda \leq 1}$ — расходится. Признак был разработан Гауссом для анализа гипергеометрических рядов и позволяет решать задачи, недоступные для признаков Даламбера^[35].

Для более тонких случаев, когда предыдущие признаки оказываются неопределёнными, используется признак Бертрана: если существует предел

${\displaystyle B=\lim _{n\to \infty }\ln(n)\left(n\left({\frac {|a_{n}|}{|a_{n+1}|}}-1\right)-1\right),}$

то при ${\displaystyle B>1}$ ряд сходится абсолютно, при ${\displaystyle B<1}$ — расходится. Эти более тонкие признаки образуют иерархию (называемую шкалой Куммера или шкалой Гаусса), позволяющую исследовать граничные случаи^[36]

Ряд Дирихле вида ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$, ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$, является ещё одним важным примером, где понятие абсолютной сходимости играет центральную роль^[38]. Для рядов Дирихле существует абсцисса абсолютной сходимости ${\displaystyle \sigma _{a}\leq +\infty }$ такая, что при ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>\sigma _{a}}$ ряд сходится абсолютно, а при ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)<\sigma _{a}}$ — расходится. Аналогично определяется абсцисса условной сходимости ${\displaystyle \sigma _{c}\leq \sigma _{a}}$, причём разность ${\displaystyle \sigma _{a}-\sigma _{c}}$ не превышает 1^[38]. Частным случаем рядов Дирихле является дзета-функция Римана ${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}}$, абсолютно сходящаяся при ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$.

Абсолютная сходимость обеспечивает законность многих стандартных операций с рядами и интегралами. В частности, для абсолютно сходящихся рядов обоснованы:

• почленные дифференцирование и интегрирование функциональных рядов;
• перестановки порядка суммирования в кратных рядах и повторных интегралах;
• подстановка рядов друг в друга.

В теории вероятностей абсолютная сходимость тесно связана с понятием абсолютной суммируемости случайных величин. Условие ${\displaystyle \mathbb {E} |X|<\infty }$ (конечность математического ожидания модуля) аналогично условию абсолютной сходимости ряда. Теорема Фубини и лемма Бореля — Кантелли в своих основных применениях также опираются на условия абсолютной суммируемости.

В аналитической теории чисел абсолютная сходимость рядов Дирихле обеспечивает возможность перемножения этих рядов и использования эйлеровых произведений^[38]. Так, абсолютная сходимость ${\displaystyle \zeta (s)}$ при ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$ позволяет записать эйлерово произведение:

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p\ {\text{простое}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}},}$

что является отправной точкой аналитических доказательств в теории распределения простых чисел.

В численном анализе абсолютная сходимость рядов позволяет давать гарантированные оценки погрешности при приближённом вычислении сумм бесконечных рядов: оценка остатка ${\displaystyle |R_{N}|\leq \sum _{n=N+1}^{\infty }|a_{n}|}$ обеспечивает практически пригодный критерий остановки итерационных вычислений.