Тригонометри́ческие фу́нкции — элементарные функции[1], которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости длин сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что равнозначно, зависимость хорд и высот от центрального угладуги в круге). Эти функции нашли широкое применение в самых разных областях науки. По мере развития математики определение тригонометрических функций было расширено, в современном понимании их аргументом может быть произвольное вещественное или комплексное число.
Раздел математики, изучающий свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.
В типографике литературы на разных языках сокращённое обозначение тригонометрических функций различно, например, в англоязычной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются , , . До Второй мировой войны в Германии и во Франции эти функции обозначались так же, как принято в русскоязычных текстах[2], но потом в литературе на языках этих стран был принят англоязычный вариант записи тригонометрических функций.
Синус и косинус вещественного аргумента представляют собой периодические, непрерывные и бесконечно дифференцируемые вещественнозначные функции. Остальные четыре функции на вещественной оси также вещественнозначны, периодичны и бесконечно дифференцируемы, за исключением счётного числа разрывов второго рода: у тангенса и секанса в точках , а у котангенса и косеканса — в точках .
Графики тригонометрических функций показаны на рис. 1.
Обычно тригонометрические функции определяются геометрически[3]. В декартовой системе координат на плоскости построим окружность единичного радиуса () с центром в начале координат . Всякий угол станем рассматривать как поворот от положительного направления оси абсцисс до некоторого луча (точку выбираем на окружности), при этом направление поворота против часовой стрелки считаем положительным, а по часовой стрелке — отрицательным. Абсциссу точки обозначим , а ординату — (см. рисунок 2).
Рис. 3. Численные значения тригонометрических функций угла в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице
Синусом угла называется ордината точки единичной окружности, где получается поворотом на угол в положительном направлении (против часовой стрелки), если , и в отрицательном (по часовой стрелке), если .
Косинусом угла называется абсцисса точки единичной окружности, где получается поворотом на угол в положительном направлении (против часовой стрелки), если , и в отрицательном (по часовой стрелке), если .
Тангенсом угла называется отношение ординаты точки единичной окружности к её абсциссе, причём точка не принадлежит оси ординат.
Котангенсом угла называется отношение абсциссы точки единичной окружности к её ординате, причём точка не принадлежит оси абсцисс.[4]
Таким образом, определения тригонометрических функций выглядят следующим образом:
, ;
, ;
, .
Нетрудно видеть, что такое определение также основывается на отношениях прямоугольного треугольника, с тем отличием, что учитывается знак (). Поэтому тригонометрические функции можно определить и по окружности произвольного радиуса , однако формулы придётся нормировать. На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.
В тригонометрии удобным оказывается вести счёт углов не в градусной мере, а в радианной. Так, угол в запишется длиной единичной окружности . Угол в равен, соответственно и так далее. Заметим, что угол на отличающийся от по рисунку эквивалентен , вследствие чего заключим, что тригонометрические функции периодичны.
Наконец, определим тригонометрические функции вещественного числа тригонометрическими функциями угла, радианная мера которого равна .
В геометрии тригонометрические функции острого угла определяются отношениями сторон прямоугольного треугольника[5]. Пусть — прямоугольный (угол прямой), с острым углом и гипотенузой . Тогда:
(синусом угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе). Синус можно рассматривать как «коэффициент сжатия» длины отрезка при наблюдении за ним под углом, то есть насколько укорачивается проекция отрезка при его наклоне на определенный угол; sinus (лат) означает «изгиб, складка»[6].
(косинусом угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе);
(тангенсом угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему); tangens (лат)- касательная.
(котангенсом угла называется отношение прилежащего катета к противолежащему);
(секансом угла называется отношение гипотенузы к прилежащему катету);secans (лат)-секущая.
(косекансом угла называется отношение гипотенузы к противолежащему катету).
Данное определение имеет некоторое методическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач о тупоугольных треугольниках. (См.: теорема синусов, теорема косинусов).
Определение как решений дифференциальных уравнений[править | править код]
Синус и косинус можно определить как единственные функции, вторые производные которых равны самим функциям, взятым со знаком минус:
Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу, и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде степенны́х рядов:
Пользуясь этими формулами, а также равенствами и можно найти разложения в ряд и других тригонометрических функций:
Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице. («» означает, что функция в указанной точке не определена, а в её окрестности стремится к бесконечности).
Значения косинуса и синуса на окружности
Радианы
Градусы
Значения тригонометрических функций нестандартных углов[править | править код]
Радианы
Градусы
Радианы
Градусы
Значения тригонометрических функций для некоторых других углов
Поскольку синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α, то, согласно уравнению единичной окружности () или теореме Пифагора, имеем:
Разделив это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно, получим:
Из определения тангенса и котангенса следует, что
Любую тригонометрическую функцию можно выразить через любую другую тригонометрическую функцию с тем же аргументом (с точностью до знака из-за неоднозначности раскрытия квадратного корня). Нижеприведённые формулы верны для :
Формулами приведения называются формулы следующего вида:
Здесь — любая тригонометрическая функция, — соответствующая ей кофункция (то есть косинус для синуса, синус для косинуса, тангенс для котангенса, котангенс для тангенса, секанс для косеканса и косеканс для секанса), — целое число. Перед полученной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в заданной координатной четверти при условии, что угол острый, например:
или что то же самое:
Некоторые формулы приведения:
Интересующие формулы приведения так же могут легко быть получены рассмотрением функций на единичной окружности.
Аналогичные формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов:
Формулы для произведений тангенсов и котангенсов трёх углов можно получить, поделив правые и левые части соответствующих равенств, представленных выше.
На следующих графиках изображена комплексная плоскость, а значения функций выделены цветом. Яркость отражает абсолютное значение (чёрный — ноль). Цвет изменяется от аргумента и угла согласно карте.
Тригонометрические функции в комплексной плоскости
Линия синуса (линия на рис. 2) у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива», то есть половина хорды данной дуги, поскольку дуга с хордой напоминает лук с тетивой). Затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские математики, переводя индийские книги с санскрита, не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали его арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба» (جيب). Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса как «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus — «синус», имеющим то же значение (именно в этом значении оно применяется как анатомический термин синус). Термин «косинус» (лат.cosinus) — это сокращение от лат.complementi sinus — дополнительный синус.
Термины «тангенс» (лат.tangens — касающийся) и «секанс» (лат.secans — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583).
Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770 году. В XVIII веке Ж. Лагранжем и другими математиками были введены и термины для обратных тригонометрических функций — арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс, арккосеканс — с помощью добавления приставки «арк» (от лат.arcus — дуга).
Переиздание: М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6 www.alleng.ru/d/math/math42.htm
Двайт Г. Б.Тригонометрические функции // Таблицы интегралов и другие математические формулы. — 4-е изд. — М.: Наука, 1973. — С. 70—102.
Кожеуров П. А. Тригонометрия. — М.: Физматгиз, 1963.
Маркушевич А. И. Замечательные синусы. — М.: Наука, 1974.
Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — И. М. Виноградов.Тригонометрические функции // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.
Тригонометрические функции // Энциклопедический словарь юного математика / Ред. коллегия, Гнеденко Б. В. (гл. ред.), Савин А. П. и др. — М.: Педагогика, 1985 (1989). — С. 299—301—305. — 352 с., ил. — ISBN 5-7155-0218-7 (С. 342, 343 — таблицы тригонометрических функций 0°-90°, в том числе в радианах)
Тригонометрические функции // Справочник по математике (для ср. уч. заведений) / Цыпкин А. Г., под ред. Степанова С. А. — 3-е изд. — М.: Наука, Гл. редакция физ.-мат. литературы, 1983. — С. 240—258. — 480 с.
↑Шахмейстер А. Х. Определение основных тригонометрических функций // Тригонометрия : [рус.] : книга / А. Х. Шахмейстер; под ред. Б. Г. Зива. — 3-е изд., стереотипное. — М. : Издательство МЦНМО ; СПб. : «Петроглиф» : «Виктория плюс», 2013. — С. 11, 14, 18, 20. — 752 с. : илл. — (Математика. Элективные курсы). — 1500 экз. — ББК22.141я71.6. — УДК373.167.1:512(G). — ISBN 978-5-4439-0050-6. — ISBN 978-5-98712-042-2. — ISBN 978-5-91673-097-5.