Мера Жордана

Ячейкой (замкнутым параллелепипедом, брусом) в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ называется множество вида: ${\displaystyle P=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}],}$ где ${\displaystyle a_{i}\leq b_{i}}$ для всех ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$. Его объём определяется как :${\displaystyle \operatorname {vol} (P)=\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i}).}$ Элементарным множеством называется конечное объединение ячеек. Объём элементарного множества определяется как сумма объёмов составляющих его ячеек, которые можно выбрать непересекающимися по внутренности^[9][10].

Пусть ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$ — ограниченное множество.

Внешней мерой Жордана (внешним содержанием Жордана) множества ${\displaystyle A}$ называется величина

${\displaystyle {\overline {\mu }}(A)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{N}\operatorname {vol} (P_{k}):A\subseteq \bigcup _{k=1}^{N}P_{k},\;N\in \mathbb {N} ,\;P_{i}\cap P_{j}{\text{ не имеют общих внутренних точек при }}i\neq j\right\}}$,

где ${\displaystyle P_{k}}$ — ячейки.

Внутренней мерой Жордана (внутренним содержанием Жордана) множества ${\displaystyle A}$ называется величина

${\displaystyle {\underline {\mu }}(A)=\sup \left\{\sum _{k=1}^{M}\operatorname {vol} (Q_{k}):\bigcup _{k=1}^{M}Q_{k}\subseteq A,\;M\in \mathbb {N} ,\;Q_{i}\cap Q_{j}{\text{ не имеют общих внутренних точек при }}i\neq j\right\}.}$,

где ${\displaystyle Q_{k}}$ — ячейки.

Иногда внутреннюю меру Жордана эквивалентно определяют как

${\displaystyle {\underline {\mu }}(A)=\sup \left\{\operatorname {vol} (E):E\subseteq A\right\}}$,

где ${\displaystyle E}$ — элементарное множество^[11].

Ограниченное множество ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$ называется измеримым по Жордану (или жордановым множеством, квадрируемым при ${\displaystyle n=2}$, кубируемым при ${\displaystyle n=3}$), если его внешняя и внутренняя меры Жордана совпадают: ${\displaystyle {\underline {\mu }}(A)={\overline {\mu }}(A).}$ В этом случае общее значение ${\displaystyle \mu (A)={\underline {\mu }}(A)={\overline {\mu }}(A)}$ называется мерой Жордана (содержанием Жордана, объёмом Жордана) множества ${\displaystyle A}$^[12][13].

Ограниченное множество ${\displaystyle B\subset \mathbb {R} ^{n}}$ имеет меру Жордана нуль, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует конечное покрытие множества ${\displaystyle B}$ ячейками ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{N}}$, суммарный объём которых меньше ${\displaystyle \varepsilon }$: ${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists P_{1},\ldots ,P_{N}:\quad B\subseteq \bigcup _{k=1}^{N}P_{k},\quad \sum _{k=1}^{N}\operatorname {vol} (P_{k})<\varepsilon .}$ Ключевое отличие от меры Лебега нуль: здесь покрытие требуется строго конечным, а не счётным^[14].

Ограниченное множество ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$ измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его граница ${\displaystyle \partial A}$ имеет меру Жордана нуль, то есть ${\displaystyle {\overline {\mu }}(\partial A)=0}$^[15].

Критерий имеет прозрачный геометрический смысл: множество измеримо по Жордану, если его граница «тонка» в том смысле, что её можно покрыть конечным числом ячеек сколь угодно малого суммарного объёма. Если граница «толста» (например, имеет положительный объём), то при любом конечном разбиении пространства на ячейки всегда останется неопределённость — ячейки, пересекающие границу, нельзя однозначно отнести ни к внутренней, ни к внешней аппроксимации, и разность между верхней и нижней суммами Жордана не стремится к нулю.

Формально, для любого разбиения ячейки ${\displaystyle P}$, содержащей ${\displaystyle A}$, на подъячейки ${\displaystyle P_{k}}$:

• ячейки, целиком лежащие внутри ${\displaystyle A}$, дают вклад в нижнюю сумму ${\displaystyle s(\Pi ,A)}$;
• ячейки, пересекающие ${\displaystyle A}$ (включая те, что пересекают границу ${\displaystyle \partial A}$), дают вклад в верхнюю сумму ${\displaystyle S(\Pi ,A)}$;
• разность ${\displaystyle S(\Pi ,A)-s(\Pi ,A)}$ равна сумме объёмов ячеек, пересекающих границу ${\displaystyle \partial A}$.

Следовательно, ${\displaystyle {\overline {\mu }}(A)-{\underline {\mu }}(A)={\overline {\mu }}(\partial A)}$, и равенство внешней и внутренней мер эквивалентно условию ${\displaystyle {\overline {\mu }}(\partial A)=0}$.

Критерий измеримости можно сформулировать несколькими эквивалентными способами через:

• критическое соотношение: множество ${\displaystyle A}$ измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда для любой ячейки ${\displaystyle P\supset A}$ выполняется ${\displaystyle {\overline {\mu }}(A)+{\overline {\mu }}(P\setminus A)=\operatorname {vol} (P)}$. Это непосредственно следует из тождества ${\displaystyle {\underline {\mu }}(A)=\operatorname {vol} (P)-{\overline {\mu }}(P\setminus A)}$;

• приближение элементарными множествами: множество ${\displaystyle A}$ измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существуют элементарные множества ${\displaystyle E_{1}\subset A\subset E_{2}}$ такие, что ${\displaystyle \operatorname {vol} (E_{2})-\operatorname {vol} (E_{1})<\varepsilon }$;

• характеристическую функцию: множество ${\displaystyle A}$ измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его характеристическая функция ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ интегрируема по Риману на любой ячейке, содержащей ${\displaystyle A}$. Это следует из того, что точки разрыва функции ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ совпадают с границей ${\displaystyle \partial A}$, а функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда множество её точек разрыва имеет меру Лебега нуль (критерий Лебега для интеграла Римана)^[16].

Из критерия измеримости вытекают следующие практически важные утверждения^[17][18].

• замкнутые и открытые множества: ограниченное замкнутое или открытое множество измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его граница имеет меру Жордана нуль. В частности, не всякое ограниченное замкнутое множество измеримо (пример: «жирное» множество Кантора — замкнутое множество положительной меры Лебега, не имеющее внутренних точек, поэтому его граница совпадает с самим множеством и не имеет меры Жордана нуль);

• выпуклые множества: всякое ограниченное выпуклое множество в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ измеримо по Жордану. Его граница является липшицевой поверхностью (с точностью до множества меньшей размерности) и поэтому имеет меру Жордана нуль;

• множества с кусочно-гладкой границей: всякое ограниченное множество, граница которого является конечным объединением кусочно-гладких гиперповерхностей размерности ${\displaystyle n-1}$, измеримо по Жордану. Это покрывает подавляющее большинство множеств, встречающихся в приложениях (шары, эллипсоиды, многогранники, тела вращения и т.д.);

• конечные объединения и пересечения: если ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ измеримы по Жордану, то измеримы также ${\displaystyle A\cup B}$, ${\displaystyle A\cap B}$ и ${\displaystyle A\setminus B}$. Это следует из включения ${\displaystyle \partial (A\cup B)\subset \partial A\cup \partial B}$ и субаддитивности внешней меры;

• инвариантность относительно движений: если ${\displaystyle A}$ измеримо по Жордану и ${\displaystyle T}$ — изометрия пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (параллельный перенос, поворот, отражение), то ${\displaystyle T(A)}$ также измеримо по Жордану и ${\displaystyle \mu (T(A))=\mu (A)}$. Это следует из того, что изометрии сохраняют объёмы ячеек и переводят границы в границы.

Критерий измеримости через границу является основным рабочим инструментом при обосновании существования кратных интегралов в курсе математического анализа. Он позволяет:

• доказать измеримость стандартных областей интегрирования (прямоугольники, шары, симплексы, тела, ограниченные графиками непрерывных функций);
• обосновать возможность разбиения области интегрирования на части кусочно-гладкими поверхностями;
• установить связь между геометрическим понятием объёма и аналитическим понятием интеграла Римана^[19].

Вместе с тем, критерий выявляет фундаментальное ограничение меры Жордана: она не может работать с множествами, имеющими «фрактальную» или «пылевидную» границу положительной меры (например, множество рациональных чисел, канторово множество с положительной мерой Лебега). Это ограничение исторически послужило одной из главных мотиваций для создания более общей теории меры Лебега.

Для любых ограниченных множеств ${\displaystyle A,B\subset \mathbb {R} ^{n}}$, содержащихся в некоторой ячейке ${\displaystyle P}$^[20]:

• неотрицательность: ${\displaystyle 0\leq {\underline {\mu }}(A)\leq {\overline {\mu }}(A)}$;
• монотонность: если ${\displaystyle A\subseteq B}$, то ${\displaystyle {\underline {\mu }}(A)\leq {\underline {\mu }}(B)}$ и ${\displaystyle {\overline {\mu }}(A)\leq {\overline {\mu }}(B)}$;
• критериальное соотношение (связь с дополнением): ${\displaystyle {\underline {\mu }}(A)=\operatorname {vol} (P)-{\overline {\mu }}(P\setminus A)}$. Из этого соотношения непосредственно следует основной критерий измеримости: множество ${\displaystyle A}$ измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\overline {\mu }}(A)+{\overline {\mu }}(P\setminus A)=\operatorname {vol} (P)}$;
• субаддитивность внешней меры: ${\displaystyle {\overline {\mu }}(A\cup B)\leq {\overline {\mu }}(A)+{\overline {\mu }}(B)}$;
• супераддитивность внутренней меры: если ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$, то ${\displaystyle {\underline {\mu }}(A\cup B)\geq {\underline {\mu }}(A)+{\underline {\mu }}(B)}$^[21][22][23].

Пусть ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — измеримые по Жордану множества. Тогда:

• неотрицательность: ${\displaystyle \mu (A)\geq 0}$;
• монотонность: если ${\displaystyle A\subseteq B}$, то ${\displaystyle \mu (A)\leq \mu (B)}$;
• конечная аддитивность: если ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$, то ${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)}$. Более общо, мера Жордана является конечно-аддитивной функцией множества;
• замкнутость относительно теоретико-множественных операций: множества ${\displaystyle A\cup B}$, ${\displaystyle A\cap B}$, ${\displaystyle A\setminus B}$ также измеримы по Жордану;
• инвариантность относительно движений: мера Жордана не изменяется при движениях (изометриях) пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Всякое элементарное множество измеримо по Жордану, и его мера Жордана совпадает с его объёмом. Всякое ограниченное выпуклое множество измеримо по Жордану. Всякое ограниченное открытое или замкнутое множество, граница которого имеет меру Жордана нуль, измеримо по Жордану^[24][25][26].

• Любая ячейка (параллелепипед) в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.
• Любой замкнутый шар в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.
• Любое ограниченное выпуклое множество.
• Стандартное множество Кантора ${\displaystyle C}$: оно замкнуто, ограничено и совпадает со своей границей (${\displaystyle \partial C=C}$). Поскольку ${\displaystyle C}$ имеет меру Лебега нуль, его граница также имеет меру Лебега нуль, а значит, и меру Жордана нуль. Следовательно, ${\displaystyle C}$ измеримо по Жордану с ${\displaystyle \mu (C)=0}$.

${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]}$ — множество рациональных чисел на отрезке ${\displaystyle [0,1]}$. Граница этого множества есть весь отрезок ${\displaystyle [0,1]}$, который не имеет меры Жордана нуль (так как его нельзя покрыть конечным числом интервалов суммарной длины меньше 1). Множество иррациональных чисел ${\displaystyle (\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )\cap [0,1]}$ — по аналогичной причине.