Мера Жордана

Понятие меры ввёл Пеано в работе «Геометрические приложения анализа бесконечно малых» (1887). В русской литературе за этой мерой сохраняется название «Мера Жордана», определение которой приводится в работе Камиля Жордана «Cours d’Analyse» (1893). Терминология Пеано и Жордана одинакова: «внутренняя (внешняя) площадь, измеримое множество».

Вначале понятие мера обозначали ${\displaystyle mes}$ — сокращение слова mesure. Позже оставили только одну букву ${\displaystyle m}$^[1].

Пусть в некоторой плоскости ${\displaystyle R=R_{2}}$ задана определённая прямоугольная система координат ${\displaystyle (x,y)}$, которая обозначается той же буквой ${\displaystyle R}$. Та же плоскость в другой, повёрнутой системе координат ${\displaystyle (\xi ,\eta )}$ будет обозначена как ${\displaystyle R'}$. Пусть простейшим замкнутым множеством на ${\displaystyle R}$ будет прямоугольник ${\displaystyle \Delta }$, аналитическое определение которого следующее:

Cуществует такая прямоугольная система координат ${\displaystyle R'}$, в которой ${\displaystyle \Delta }$ определяется как множество точек ${\displaystyle (\xi ,\eta )}$, удовлетворяющих неравенствам ${\displaystyle a_{1}\leqslant \xi \leqslant a_{2},b_{1}\leqslant \eta \leqslant b_{2}}$, где ${\displaystyle a_{1}<a_{2},b_{1}<b_{2}}$.

Стороны рассматриваемого прямоугольника ${\displaystyle \Delta }$ параллельны осям системы ${\displaystyle R'}$: ${\displaystyle \Delta =\Delta _{R'}}$.

Множество ${\displaystyle \sigma \subset R}$ называется элементарной фигурой, если оно есть (теоретико-множественная) сумма конечного числа прямоугольников ${\displaystyle \Delta \subset R_{1}}$, которые могут пересекаться только по частям своих границ. Площадь ${\displaystyle |\sigma |}$ двумерной фигуры ${\displaystyle \sigma }$ определяется как сумма площадей прямоугольников ${\displaystyle \Delta }$, из которых она состоит. Хотя фигура ${\displaystyle \sigma }$ может быть бесконечным числом способов представлена как конечная сумма прямоугольников ${\displaystyle \Delta }$, её площадь ${\displaystyle |\sigma |}$ не зависит от способа представления.

Пустое множество также считается фигурой, и мера его считается равной нулю.

Среди фигур ${\displaystyle \sigma }$ рассматриваются такие, что все прямоугольники ${\displaystyle \Delta }$, из которых они состоят, имеют стороны, параллельные осям системы координат ${\displaystyle R}$. Обозначаются они символом ${\displaystyle \sigma _{R}}$.

• Если ${\displaystyle \sigma _{1}\subset \sigma _{2}}$, то ${\displaystyle |\sigma _{1}|\leqslant |\sigma _{2}|}$.
• Сумма (теоретико-множественная) фигур ${\displaystyle \sigma '_{R}}$ и ${\displaystyle \sigma ''_{R}}$ есть фигура ${\displaystyle \sigma _{R}}$, и выполняется неравенство ${\displaystyle |\sigma '_{R}+\sigma ''_{R}|\leqslant |\sigma '_{R}|+|\sigma ''_{R}|}$. Оно обращается в равенство, если ${\displaystyle \sigma '_{R}}$ и ${\displaystyle \sigma ''_{R}}$ пересекаются разве что по части их границ.
• Разность ${\displaystyle \sigma '_{R}-\sigma ''_{R}}$ двух фигур ${\displaystyle \sigma '_{R}}$ и ${\displaystyle \sigma ''_{R}}$ не обязательно есть замкнутое множество, поэтому она не обязательно есть фигура. Она может стать фигурой (пустой), лишь если ${\displaystyle \sigma '_{R}\subset \sigma ''_{R}}$ или если ${\displaystyle \sigma '_{R}}$ и ${\displaystyle \sigma ''_{R}}$ не пересекаются. Но замыкание ${\displaystyle {\overline {\sigma '_{R}-\sigma ''_{R}}}}$ есть всегда фигура, и при этом выполняется неравенство ${\displaystyle |{\overline {\sigma '_{R}-\sigma ''_{R}}}|\geqslant |\sigma '_{R}|-|\sigma ''_{R}|}$. Оно обращается в равенство, если ${\displaystyle \sigma ''_{R}\subset \sigma '_{R}}$.
• Если фигуру ${\displaystyle \sigma _{R}}$ рассечь прямой, параллельной одной из осей ${\displaystyle R}$, то она разделится на две фигуры ${\displaystyle \sigma '_{R}}$ и ${\displaystyle \sigma ''_{R}}$.
• Если фигуру ${\displaystyle \sigma }$ подвергнуть в ${\displaystyle R}$ операции сдвига или вращения, то получена фигура ${\displaystyle \sigma '}$ и ${\displaystyle |\sigma |=|\sigma '|}$^[2].

Пусть задана прямоугольная сетка ${\displaystyle S_{N}}$, разбивающая ${\displaystyle R}$ на квадраты ${\displaystyle \Delta _{h}}$ со сторонами длины ${\displaystyle h}$, параллельными осям ${\displaystyle R}$. Пусть ${\displaystyle G\subset R}$ — произвольное непустое ограниченное множество. Фигура, состоящая из тех квадратов ${\displaystyle \Delta _{h}}$ сетки ${\displaystyle S_{N}}$, которые полностью входят в ${\displaystyle G}$ обозначается как ${\displaystyle {\underset {\sim }{\omega _{N}}}(G)={\underset {\sim }{\omega _{N}}}}$, а фигура, состоящая из тех квадратов ${\displaystyle \Delta _{h}}$ сетки ${\displaystyle S_{N}}$, каждый из которых содержит хотя бы одну точку множества ${\displaystyle G}$ — как ${\displaystyle {\overset {\sim }{\omega _{N}}}(G)={\overset {\sim }{\omega _{N}}}}$. (Рис.1).

Рис. 1

Очевидно, что ${\displaystyle {\underset {\sim }{\omega _{1}}}\subset {\underset {\sim }{\omega _{2}}}\subset ...,{\overset {\sim }{\omega _{1}}}\supset {\overset {\sim }{\omega _{2}}}\supset ...,{\underset {\sim }{\omega _{N}}}(G)\subset G\subset {\overset {\sim }{\omega _{N'}}}(G)}$, где ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle N'}$- произвольные натуральные числа.

Отсюда следует, что существуют конечные пределы ${\displaystyle m_{i}G=\lim _{N\to \infty }|{\underset {\sim }{\omega _{N}}}|}$, ${\displaystyle m_{e}G=\lim _{N\to \infty }|{\overset {\sim }{\omega _{N}}}|}$, ${\displaystyle m_{i}G\leqslant m_{e}G}$.

Число ${\displaystyle m_{i}G}$ называется внутренней (двумерной) мерой Жордана множества ${\displaystyle G}$, а число ${\displaystyle m_{e}G}$ называется внешней (двумерной) мерой Жордана множества ${\displaystyle G}$. 

Если для множества ${\displaystyle G\subset R}$ выполняется равенство ${\displaystyle m_{i}G=m_{e}G=mG}$, то ${\displaystyle G}$ называется измеримым по Жордану и число ${\displaystyle mG}$ называют жордановой двумерной мерой ${\displaystyle G}$. 

Двумерное (только двумерное) измеримое по Жордану множество называют квадрируемым[2].

Фигура ${\displaystyle \sigma }$ (состоящая из прямоугольников, как угодно повёрнутых по отношению к системе координат ${\displaystyle R}$) есть измеримое по Жордану множество. При этом ${\displaystyle m\sigma =|\sigma |}$.

Для того чтобы множество ${\displaystyle G}$ было измеримым, необходимо и достаточно, чтобы для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существовали две фигуры ${\displaystyle {\underset {\sim }{\sigma }}}$ и ${\displaystyle {\overset {\sim }{\sigma }}}$ ${\displaystyle ({\underset {\sim }{\sigma }}\subset G\subset {\overset {\sim }{\sigma }})}$такие, что ${\displaystyle |{\overset {\sim }{\sigma }}|-|{\underset {\sim }{\sigma }}|<\varepsilon }$. При этом можно считать, что ${\displaystyle {\overset {\sim }{\sigma }}={\overset {\sim }{\sigma }}_{R}}$, ${\displaystyle {\underset {\sim }{\sigma }}={\underset {\sim }{\sigma _{R}}}}$.

Из леммы 1 следует, что измеримое множество ограничено.

Для того чтобы множество ${\displaystyle G}$ было измеримым по Жордану, необходимо и достаточно, чтобы его граница ${\displaystyle \Gamma }$ имела жорданову (плоскую) меру нуль, т.е. для всякого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ должна найтись покрывающая ${\displaystyle \Gamma }$ фигура ${\displaystyle \sigma _{0}}$, имеющая меру ${\displaystyle |\sigma _{0}|<\varepsilon }$.

Сумма двух множеств ${\displaystyle G_{1}}$ и ${\displaystyle G_{2}}$, имеющих жорданову меру нуль, в свою очередь имеет жорданову меру нуль. 

Вместе с ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle G_{1}\subset G}$ есть множество жордановой меры нуль. 

Если измеримое по Жордану множество ${\displaystyle G}$ рассечь на две части  ${\displaystyle G_{1}}$ и ${\displaystyle G_{2}}$ при помощи куска кривой ${\displaystyle L}$ (в частности прямой), имеющей жорданову меру нуль, то каждая часть в свою очередь измерима по Жордану.

Таким образом, если ${\displaystyle G}$ есть измеримое по Жордану множество, то любая сетка ${\displaystyle S_{N}}$ (связанная с любой системой координат ${\displaystyle R}$) дробит ${\displaystyle G}$ на части, каждая из которых измерима по Жордану. Диаметр каждой из этих частей не превышает ${\displaystyle {\sqrt {2}}2^{-N}}$. Таким образом, при ${\displaystyle N\to \infty }$ диаметры частей равномерно стремятся к нулю^[3].

Если  есть множество ${\displaystyle G_{*}}$, полученное из измеримого множества ${\displaystyle G\subset R}$ посредством сдвига или вращения его в ${\displaystyle R}$, то ${\displaystyle G_{*}}$ — измеримое множество и ${\displaystyle mG=mG_{*}}$.

• Если два множества ${\displaystyle G_{1}}$ и ${\displaystyle G_{2}}$ измеримы по Жордану, то измеримы по Жордану также их сумма, разность и пересечение.
• Если множества ${\displaystyle G_{1}}$ и ${\displaystyle G_{2}}$ измеримы по Жордану и имеют общие точки, принадлежащие разве что их границам, то их (измеримая по первому свойству) сумма имеет меру, равную сумме их мер: ${\displaystyle m(G_{1}+G_{2})=mG_{1}+mG_{2}}$ (свойство аддитивности).
• Если множества ${\displaystyle G_{1}}$ и ${\displaystyle G_{2}}$ измеримы по Жордану и ${\displaystyle G_{1}\subset G_{2}}$, то ${\displaystyle m(G_{2}-G_{1})=mG_{2}-mG_{1}}$.

Теория, изложенная выше для двумерных множеств, переносится на случай любого числа измерений ${\displaystyle n=1,2,3,...}$.

В случае ${\displaystyle n=3}$ в качестве простейших фигур вводятся замкнутые прямоугольники (параллелепипеды), которые обозначаются символами ${\displaystyle \Delta }$. В качестве меры рассматривается объём ${\displaystyle \Delta }$, то есть число ${\displaystyle |\Delta |}$, равное произведению длин трёх ребер (ширины, длины, высоты). Рассматриваются только невырожденные прямоугольники, у которых все три ребра положительны.

Элементарная фигура ${\displaystyle \sigma }$ определяется как множество точек, представляющего собой конечную сумму прямоугольников ${\displaystyle \Delta }$, которые могут пересекаться только по частям своих границ.

Объём ${\displaystyle |\sigma |}$ фигуры ${\displaystyle \sigma }$ определяется как сумма объёмов ${\displaystyle |\Delta |}$ прямоугольников ${\displaystyle \Delta }$, из которых она состоит. Пустое множество считается фигурой с объёмом, равным нулю.

Если ${\displaystyle R'}$ есть какая-либо прямоугольная система координат, то прямоугольники и фигуры с рёбрами, параллельными осям ${\displaystyle R'}$, обозначаются соответственно ${\displaystyle \Delta _{R'}}$ и ${\displaystyle \sigma _{R'}}$. Тогда в ${\displaystyle R=R_{3}}$ для каждого натурального числа ${\displaystyle N}$ найдётся сеть ${\displaystyle S_{N}}$, образованная тремя семействами плоскостей: ${\displaystyle x=kh,y=lh,z=mh}$ ${\displaystyle (h=2^{-N},k,l,m=0,\pm 1,\pm 2,...)}$. Сеть ${\displaystyle S_{N}}$ разбивает пространство ${\displaystyle R}$ на кубы ${\displaystyle \Delta _{h}}$ с рёбрами длины ${\displaystyle h}$, параллельными осям координат.

Для любого ограниченного множества ${\displaystyle G\subset R}$ множество ${\displaystyle {\underset {\sim }{\omega _{N}}}(G)}$ есть сумма тех ${\displaystyle \Delta _{h}}$, которые полностью принадлежат ${\displaystyle G}$, и множество ${\displaystyle {\overset {\sim }{\omega _{N}}}(G)}$ — сумма всех тех кубов ${\displaystyle \Delta _{h}}$, каждый из которых содержит в себе хотя бы одну точку из ${\displaystyle G}$.

• Внешняя мера ${\displaystyle G}$ определяется как ${\displaystyle m_{e}G=\lim _{N\to \infty }|{\overset {\sim }{\omega _{N}}}(G)|}$.
• Внутренняя мера ${\displaystyle G}$ определяется как ${\displaystyle m_{i}G=\lim _{N\to \infty }|{\underset {\sim }{\omega _{N}(G)}}|}$.

Множество ${\displaystyle G}$ называется измеримым по Жордану в трёхмерном смысле, если ${\displaystyle m_{i}G=m_{e}G=mG}$. Число ${\displaystyle mG}$ называется жордановой трёхмерной мерой ${\displaystyle G}$.

Свойства трёхмерной меры совершенно аналогичны свойствам двумерной меры, изложенным выше^[4].

В случае, когда ${\displaystyle n}$ любое натуральное число (${\displaystyle n=1,2,3,...}$), ${\displaystyle R=R_{n}}$ есть ${\displaystyle n}$-мерное действительное пространство точек ${\displaystyle x=(x_{1},...x_{n})}$. ${\displaystyle R}$ также обозначает определённую прямоугольную систему координат ${\displaystyle R(x_{1},...x_{n})}$. В ${\displaystyle R}$ вводится другая прямоугольная систему координат ${\displaystyle R'(\xi _{1},...\xi _{n})}$,формулы преобразования для которых записываются при помощи ортогональных преобразований.

Множество ${\displaystyle \Delta \subset R}$ называется прямоугольным параллелепипедом, если можно указать такую прямоугольную систему координат ${\displaystyle R'(\xi _{1},...\xi _{n})}$ и такие пары чисел ${\displaystyle a_{j}<b_{j}(j=1,...,n)}$, что ${\displaystyle \Delta =\{a_{j}\leqslant \xi _{j}\leqslant b_{j};j=1,...,n\}}$. Указанная система координат ${\displaystyle R'}$ (для данного ${\displaystyle \Delta }$) единственна.

n-мерный объём ${\displaystyle \Delta }$ определяется как число ${\displaystyle |\Delta |=\prod _{j=1}^{n}(b_{j}-a_{j})}$.

Теория n-мерной меры по Жордану полностью аналогична теории двухмерной и трёхмерной мерам.

Для ограниченного множества ${\displaystyle E\subset R_{n}}$ определяются^[5]:

• внешняя мера Жордана

  ${\displaystyle m_{e}E=\inf \sum _{j=1}^{k}m\Delta _{j},\quad \bigcup _{j=1}^{k}\Delta _{j}\supset E,k=1,2,...}$. Внешняя мера Жордана одна и та же для ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle {\bar {E}}}$ (замыкания множества ${\displaystyle E}$) и равна мере Бореля ${\displaystyle {\bar {E}}}$.

• внутренняя мера Жордана

  ${\displaystyle m_{i}E=\sup \sum _{j=1}^{k}m\Delta _{k},E\supset \Delta _{j}}$, где параллелепипеды ${\displaystyle \Delta _{j}}$ попарно не пересекаются.

Пусть функция ${\displaystyle f(x)}$ неотрицательна на отрезке ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ и интегрируема (в частности, непрерывна) на нём. Обозначим через ${\displaystyle \Gamma }$ её график — множество всех точек ${\displaystyle (x,f(x))}$, где ${\displaystyle a\leqslant x\leqslant b}$, и через ${\displaystyle \Omega }$ — множество всех точек ${\displaystyle (x,y)}$ плоскости, для которых выполняются неравенства ${\displaystyle a\leqslant x\leqslant b}$, ${\displaystyle 0\leqslant y\leqslant f(x)}$^[6].

Множество ${\displaystyle \Omega }$ измеримо и его мера (двумерная) равна ${\displaystyle m\Omega =\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=I}$.

Непрерывная (плоская) кривая ${\displaystyle \Gamma }$ на плоскости ${\displaystyle x,y}$, проектируемая взаимно однозначно на отрезок ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ некоторой прямой ${\displaystyle L}$, есть множество точек, имеющее двумерную меру нуль.

Обобщение теоремы для n-мерного случая.

Поверхность ${\displaystyle S}$: ${\displaystyle x_{n}=f(x_{1},...,x_{n-1})=f(Q)}$ (${\displaystyle Q=(x_{1},...,x_{n-1})\in \Lambda }$) в n-мерном пространстве, где ${\displaystyle f}$ — непрерывная функция на замкнутом ограниченном множестве ${\displaystyle \Lambda }$, имеет n-мерную меру нуль.

Плоское ограниченное множество ${\displaystyle \Omega }$ измеримо (в двумерном смысле), если его граница состоит из конечного числа точек и кусков непрерывных кривых, каждый из которых проектируется взаимно однозначно на одну из осей прямоугольной системы координат.

Приведём пример не измеримого в двумерном смысле (неквадрируемого) множества. Пусть ${\displaystyle G}$ — не пустое открытое ограниченное множество и ${\displaystyle E}$ — множество всех его рациональных точек, то есть имеющих рациональные координаты ${\displaystyle (x,y)}$. Очевидно, что ${\displaystyle {\underset {\sim }{\omega _{N}}}(E)}$ есть пустое множество для любого натурального ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle m_{i}(E)=0}$. С другой стороны, пусть точка ${\displaystyle x^{0}\in G}$ , тогда найдётся невырожденный прямоугольник ${\displaystyle \Delta }$, принадлежащий ${\displaystyle G}$ и содержащий ${\displaystyle x^{0}}$. Очевидно, что ${\displaystyle {\overset {\sim }{\omega _{N}}}(E)\supset \Delta }$, ${\displaystyle |{\overset {\sim }{\omega _{N}}}(E)|\geqslant |\Delta |>0}$, ${\displaystyle m_{e}E\geqslant |\Delta |>0}$.

Таким образом, ${\displaystyle m_{i}E<m_{e}E}$ и ${\displaystyle E}$ — неквадрируемое множество^[7].