Кватернионный анализ

Один из известных методов построения дифференциального исчисления функций кватернионной переменной представлен в работах Р. Фютера «Zur Theorie der regularen Funktionen einer Quaternionenvariablen» (1932), «Die Funktionentheorie der Differentialgleichungen» (1934). Автором ставилась задача не просто определить производные функций кватернионной переменной и установить свойства дифференцируемых функций, но определить дифференцирование так, чтобы получить теорию голоморфных функций кватернионной переменной, аналогичную теории голоморфных функций комплексной переменной^[3].

Пусть на конечномерной ассоциативной алгебре задана функция ${\displaystyle w(z)=\textstyle \sum _{k=0}^{n-1}\displaystyle e_{k}u_{k}}$, где ${\displaystyle e_{k},k=0,1,...,n-1}$,— базис алгебры, а ${\displaystyle u_{k}=u_{k}(x_{0},x_{1},...,x_{n-1})}$, ${\displaystyle k=0,1,...,n-1}$ — система ${\displaystyle n}$ действительных функций от ${\displaystyle n}$ действительных переменных.

Функция гиперкомплексного переменного ${\displaystyle w(z)}$ в смысле Фютера называется праворегулярной функцией в точке ${\displaystyle z_{0}}$, если в этой точке справедливо дифференциальное уравнение ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{n-1}\displaystyle w^{(k)}e_{k}=0}$, где ${\displaystyle w^{(k)}=\textstyle \sum _{h=0}^{n-1}\displaystyle {\frac {\partial u_{h}}{\partial {x_{k}}}}e_{h}}$ — частная производная функции ${\displaystyle w}$ по ${\displaystyle x_{k}}$, причём все производные предполагаются непрерывными. 

Функция гиперкомплексного переменного ${\displaystyle w(z)}$ называется леворегулярной функцией, если ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{n-1}\displaystyle e_{k}w^{(k)}=0}$.

В случае некоммутативной алгебры кватернионов эти понятия не равносильны. Сумма и разность праворегулярных функций кватернионного переменного праворегулярны, но для произведения и частного это неверно^[4].

При подходе Фютера сначала рассматриваются функции кватернионной переменной как отображения четырёхмерного пространства в себя.

Пусть ${\displaystyle f=f_{0}(q)+if_{1}(q)+jf_{2}(q)+kf_{3}(g)}$, где ${\displaystyle q=q_{0}+q_{1}{\vec {i}}+q_{2}{\vec {j}}+q_{3}{\vec {k}}}$. Функция ${\displaystyle f}$ называется вещественно дифференцируемой, если существуют непрерывные частные производные компонента ${\displaystyle f_{n}}$, ${\displaystyle n=0,1,2,3}$ по переменным ${\displaystyle q_{m},m=0,1,2,3}$ не менее, чем до второго порядка включительно.

Затем определяются дифференциальные операторы:

• леворегулярных функций — ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {q}}}}={\frac {1}{4}}{\Bigl (}{\frac {\partial f}{\partial q_{0}}}+i{\frac {\partial f}{\partial q_{1}}}+j{\frac {\partial f}{\partial q_{2}}}+k{\frac {\partial f}{\partial q_{3}}}{\Bigr )}}$;

• праворегулярных функций — ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {q}}}}={\frac {1}{4}}{\Bigl (}{\frac {\partial f}{\partial q_{0}}}+{\frac {\partial f}{\partial q_{1}}}i+{\frac {\partial f}{\partial q_{2}}}j+{\frac {\partial f}{\partial q_{3}}}k{\Bigr )}}$.

Множество решений уравнения ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {q}}}}=0}$ объявляется пространством голоморфных или регулярных функций^[5].

Пусть ${\displaystyle {\bar {\partial }}f=0}$, тогда и ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}f=0}$. Оператор ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ имеет вид ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}={\frac {\partial ^{2}}{\partial q_{0}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial q_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial q_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial q_{3}^{2}}}=\Delta _{4}}$ и совпадает с оператором Лапласа в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$. Таким образом, все компоненты регулярной кватернионной функции являются гармоническими функциями в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$. Обратное верно, что для любой гармонической функции ${\displaystyle \tau \colon \mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R} }$ существует регулярная кватернионная функция ${\displaystyle f}$ такая, что ${\displaystyle \tau =Re(f)}$. Из свойств гармонических функций следуют многие свойства регулярных кватернионных функций.

Cходимость во множестве кватернионов определяют как сходимость в четырёхмерном векторном пространстве.

Кватернион ${\displaystyle \lambda (0)}$ является пределом последовательности кватернионов ${\displaystyle \{\lambda (n)\}}$: ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lambda ^{(n)}=\lambda ^{(0)}}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|\lambda ^{(n)}-\lambda ^{(0)}|=0}$. 

Это определение позволяет рассматривать степенные ряды кватернионной переменной и определить основные элементарные функции с помощью рядов. Аналогично можно определить предел и непрерывность кватернионных функций кватернионной переменной^[3].

Пусть функция ${\displaystyle f(q)}$ определена в ${\displaystyle \mathbb {H} }$. Предел ${\displaystyle \lim _{q\to q^{(0)}}f(q)=\lambda }$ тогда и только тогда, когда для всякого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ найдётся ${\displaystyle \delta >0}$, такое, что из неравенства ${\displaystyle 0<|q-q^{(0)}|<\delta }$ следует неравенство ${\displaystyle |f(q)-\lambda |<\varepsilon }$. 

Кватернионная функция ${\displaystyle f(q)}$ кватернионной переменной называется непрерывной в точке ${\displaystyle q^{(0)}}$, если ${\displaystyle \lim _{q\to q^{(0)}}f(q)=f(q^{(0)})}$.

1. Если функции ${\displaystyle f(q)}$ и ${\displaystyle g(q)}$ элементарно дифференцируемы, то для любых кватернионов ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ функция ${\displaystyle \alpha \circ f(q)+\beta \circ g(q)}$ будет также элементарно дифференцируема и её производная: ${\displaystyle (\alpha \circ f(q)+\beta \circ g(q))'=\alpha \circ f'(q)+\beta \circ g'(q)}$.
2. Если функции ${\displaystyle f(q)}$ и ${\displaystyle g(q)}$ элементарно дифференцируемы, то функция ${\displaystyle p(q)=f(q)\circ g(q)}$ также элементарно дифференцируема и её производная: ${\displaystyle (f(q)\circ g(q))'=f(q)\circ g'(q)+f'(q)\circ g(q)}$.
3. Пусть ${\displaystyle g(q)\neq 0}$ и ${\displaystyle g(q)}$ — элементарно дифференцируемая функция. Тогда ${\displaystyle g^{-1}(q)}$ также элементарно дифференцируема и её производная: ${\displaystyle (g^{-1}(q))'=-g^{-1}(q)\circ g'(q)\circ g^{-1}(q)}$.

• Если функции ${\displaystyle f(q)}$ и ${\displaystyle g(q)}$ элементарно дифференцируемы и ${\displaystyle g(q)\neq 0}$, то функция ${\displaystyle f(q)\circ (g(q))^{-1}}$ элементарно дифференцируема и её производная: ${\displaystyle (f(q)\circ (g(q))^{-1})'=-f(q)\circ (g(q))^{-1}\circ g'(q)\circ (g(q))^{-1}+f'(q)\circ (g(q))^{-1}}$.
• Многочлены кватернионной переменной элементарно дифференцируемы.
• Если ${\displaystyle f(q)}$ дифференцируема в окрестности некоторой точки, то она дифференцируема по любой кривой, входящей в эту точку по касательной, параллельной вещественной координате, а, следовательно, и по прямой, параллельной вещественной координате, при этом ${\displaystyle f'(q)={\frac {\partial f(q)}{\partial q_{0}}}={\frac {\partial f_{0}}{\partial q_{0}}}+{\frac {\partial f_{1}}{\partial q_{0}}}i+{\frac {\partial f_{2}}{\partial q_{0}}}j+{\frac {\partial f_{3}}{\partial q_{0}}}k}$, где ${\displaystyle f=f_{0}+if_{1}+jf_{2}+kf_{3}}$.

Это даёт возможность восстановить ${\displaystyle f(q)}$ по её производной на отрезке, параллельном вещественной оси, с помощью обычного определённого интеграла с переменным верхним пределом, если известно значение этой функции в какой-либо точке этого отрезка^[6].