Гармонический анализ

Ряды Фурье используются для разложения функции, сигнала или периодической волны в бесконечную или конечную сумму гармонических или синусоидальных функций, сигналов или волн; то есть ряд Фурье — это разновидность тригонометрического ряда.

Ряды Фурье названы в честь Жана Батиста Жозефа Фурье, который внёс значительный вклад в изучение тригонометрических рядов, ранее рассматривавшихся Леонардом Эйлером, Жаном Лероном Д’Аламбером и Даниилом Бернулли. Фурье ввёл ряды для решения уравнения теплопроводности в металлической пластине, опубликовав результаты в 1807 году в работе Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides («Мемуар о распространении тепла в твёрдых телах»), а также издав труд Théorie analytique de la chaleur («Аналитическая теория тепла») в 1822 году. Идеи о разложении периодической функции в сумму простых колебательных функций восходят к III веку до н. э., когда древние астрономы предложили эмпирическую модель планетарного движения на основе эпициклов.

Уравнение теплопроводности является уравнением в частных производных. До работ Фурье не существовало общего решения этого уравнения, хотя были известны частные решения для простых источников тепла, в частности, если источник представлял собой синусоиду или косинус. Эти простые решения иногда называют собственными значениями. Идея Фурье заключалась в моделировании сложного источника тепла с помощью суперпозиции (или линейной комбинации) простых синусоидальных волн и записи решения как суперпозиции соответствующих собственных значений. Такая суперпозиция или линейная комбинация называется рядом Фурье.

Классическое преобразование Фурье в пространстве Rⁿ остаётся областью активных исследований, особенно в применении к более общим объектам, таким как темперированные распределения. Например, если наложить определённые требования на распределение f, можно попытаться выразить их через преобразование Фурье. Теорема Пэли — Винера — пример такого подхода, который немедленно влечёт, что если f — распределение с компактным носителем (включая функции с компактным носителем), то его преобразование Фурье никогда не имеет компактного носителя. Это простейшая форма принципа неопределённости в терминах гармонического анализа.

Ряды Фурье удобно изучать в контексте гильбертовых пространств, что обеспечивает связь между гармоническим анализом и функциональным анализом.

Преобразование Фурье используется для перехода сигнала в частотную область, чтобы получить информацию, неочевидную во временной области. Например, проще определить, в каком диапазоне частот сосредоточена энергия сигнала, анализируя его в частотной области.

Преобразование также облегчает решение дифференциальных уравнений и, соответственно, применяется при проектировании классических регуляторов для систем с обратной связью: если известны спектральная плотность системы и вход, можно определить спектральную плотность выхода. Это полезно при проектировании фильтров радиоприёмников.

Преобразование Фурье также применяется в цифровой обработке изображений, например, для улучшения или выделения определённых областей фотографии или компьютерного изображения.

Анализ частот электромагнитного излучения, проходящего через различные соединения, материалы и сплавы, позволяет выявлять их состав^[1].

Одна из наиболее современных ветвей гармонического анализа, возникшая в середине XX века, — это анализ на топологических группах. Центральная идея заключается в обобщении различных преобразований Фурье на преобразования функций, определённых на локально компактных группах.

Теория для локально компактных абелевых групп называется дуальностью Понтрягина, которая считается весьма удовлетворительной, поскольку объясняет основные особенности гармонического анализа.

Гармонический анализ изучает свойства такой дуальности и преобразования Фурье, а также стремится распространить эти свойства на другие случаи, например, на неабелевы группы Ли.

Для общих неабелевых локально компактных групп гармонический анализ тесно связан с унитарной теорией представлений унитарных групп. Для компактных групп Теорема Петера — Вейля объясняет, как можно получить гармоники, выделяя неприводимое представление из каждого класса эквивалентности представлений. Такой выбор гармоник обладает рядом полезных свойств классического преобразования Фурье, например, переводит свёртки в скалярные произведения, а также даёт представление о структуре самой группы.

Многие приложения гармонического анализа в науке и технике начинаются с идеи или гипотезы о том, что явление или сигнал состоит из суммы отдельных осциллирующих компонентов^[4]. Обычными примерами являются приливы и вибрирующие струны. Теоретический подход обычно заключается в попытке описать систему с помощью дифференциального уравнения или системы уравнений для предсказания основных характеристик, включая амплитуду, частоту и фазы осциллирующих компонентов. Конкретные уравнения зависят от области, но теории, как правило, стремятся выбрать уравнения, отражающие основные применимые принципы.

Экспериментальный подход обычно состоит в сборе данных, точно количественно описывающих явление. Например, при исследовании приливов экспериментатор будет собирать данные о глубине воды во времени с достаточной частотой, чтобы зафиксировать каждое колебание, и на протяжении достаточно долгого времени, чтобы охватить несколько периодов. В исследовании вибрирующих струн обычно регистрируется звуковая волна с частотой дискретизации не менее чем в два раза выше максимальной ожидаемой частоты и на протяжении времени, во много раз превышающего период минимальной ожидаемой частоты.

Например, верхний сигнал справа — это звуковая волна бас-гитары, играющей открытую струну «ля» с основной частотой 55 Гц. Форма волны выглядит осциллирующей, но сложнее простой синусоиды, что указывает на присутствие дополнительных волн. Различные волновые компоненты, формирующие звук, можно выявить с помощью математического анализа, известного как преобразование Фурье, результат которого показан на нижнем рисунке. Видно, что имеется выраженный пик на 55 Гц, а также пики на 110 Гц, 165 Гц и других частотах, соответствующих целым кратным 55 Гц. В данном случае 55 Гц — это основная частота колебания струны, а целые кратные называются гармониками.

Особенность методов гармонического анализа состоит в их большей локальности по сравнению с глобальными подходами; например, часто функцию f анализируют, применяя функции отсечения по пространственным или частотным переменным, чтобы разложить f на серию локализованных фрагментов. Эти фрагменты оцениваются по отдельности и затем рекомбинируются. Одна из причин такой стратегии «разделяй и властвуй» заключается в том, что произвольная функция f может обладать множеством различных свойств (например, f может быть очень «острой», «разрывной» или «высокочастотной» в одних местах и «гладкой» или «низкочастотной» в других), и было бы сложно рассматривать все эти особенности одновременно.

Хорошо подобранное разложение функции f позволяет изолировать эти свойства друг от друга, так что каждый компонент содержит только одну выраженную характеристику, которая может вызывать трудности. При повторной сборке оценок отдельных компонентов можно использовать простые инструменты, такие как неравенство треугольника, или более изощрённые методы, например, основанные на ортогональности, либо интеллектуальные алгоритмы, группирующие компоненты в управляемые группы. Основной недостаток метода разложения (помимо эстетических вопросов) состоит в том, что он обычно даёт не совсем оптимальные оценки; однако во многих случаях достаточно оценок, отличающихся от наилучших лишь в постоянном множителе.

Ещё одна базовая тема гармонического анализа — попытка количественно описать трудноуловимое явление осцилляции. Интуитивно, если выражение сильно осциллирует по фазе, то его среднее значение по модулю должно быть относительно малым.

• Изучение собственных значений и собственных векторов лапласиана на областях, многообразиях и (в меньшей степени) графах также считается ветвью гармонического анализа^[5].
• Гармонический анализ в евклидовых пространствах изучает свойства преобразования Фурье в Rⁿ, не имеющие аналогов для общих групп. Например, инвариантность преобразования Фурье относительно вращения. Разложение преобразования Фурье на радиальную и сферическую компоненты приводит к темам функций Бесселя и сферических гармоник.
• Гармонический анализ в трубчатых областях занимается обобщением свойств пространств Харди на высшие размерности.
• Автоморфные формы — это обобщённые гармонические функции относительно группы симметрии. Это древняя и одновременно активно развивающаяся область гармонического анализа благодаря связям с программой Ленглендса.
• Нелинейный гармонический анализ — это использование инструментов и методов гармонического и функционального анализа для изучения нелинейных систем. Это включает как задачи с бесконечным числом степеней свободы, так и операторы и уравнения нелинейного типа^[6].

Одна из проблем генеративного искусственного интеллекта заключается в том, что он функционирует как чёрный ящик. Считается возможным использовать анализ Фурье для изучения того, как глубокая нейронная сеть обучается выполнять сложные специфические задачи: исследователи из Университета Райса, обучив глубокую нейронную сеть распознавать сложные потоки воздуха или воды и предсказывать их изменение во времени, применили к уравнениям, управляющим сетью, анализ Фурье. Этот метод позволил выявить, чему именно научилась сеть и, что ещё важнее, каким образом она пришла к этим знаниям^[7].