Комплексная плоскость

Пусть множество ${\displaystyle \mathbb {C} }$ упорядоченных пар действительных чисел ${\displaystyle z=(x,y)}$ или, что то же самое, точек декартовой плоскости или (свободных) плоских векторов. Вектор ${\displaystyle (x,0)}$ отождествим с действительным числом ${\displaystyle x}$. Совокупность всех действительных чисел (ось ${\displaystyle x}$) обозначают ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

На множестве ${\displaystyle \mathbb {C} }$ вводится совокупность алгебраических операций, превращающих ${\displaystyle \mathbb {C} }$ в поле. Это поле называют полем комплексных чисел. Элемент ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ называется комплексным числом и записывается в декартовой форме: ${\displaystyle z=x\cdot 1+i\cdot y=x+iy}$, где через ${\displaystyle 1=(1,0)}$ и ${\displaystyle i=(0,1)}$ обозначены единичные векторы (орты) соответственно осей ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$.

Таким образом, комплексное число ${\displaystyle z=(x,y)}$ представляет собой упорядоченную пару, комплекс, составленный из действительных чисел ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$, которые (по исторической традиции) соответственно называются действительной и мнимой частью числа ${\displaystyle z}$ и обозначаются символами ${\displaystyle x=\mathrm {Re} \,z}$, ${\displaystyle y=\mathrm {Im} \,z}$^[3].

Комплексное число ${\displaystyle z=x+iy}$ изображается на плоскости ${\displaystyle xOy}$ точкой с координатами ${\displaystyle (x,y)}$, либо вектором, начало которого находится в точке ${\displaystyle O(0,0)}$, а конец ­ в точке с координатами ${\displaystyle (x,y)}$. Такую плоскость называют комплексной плоскостью ${\displaystyle z}$; ось ${\displaystyle Ox}$ - действительной (вещественной) осью, а ось ${\displaystyle Oy}$ — мнимой осью.

Комплексная плоскость, как и множество комплексных чисел, обозначается ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Комплексно сопряжённые числа ${\displaystyle z=x+iy}$ и ${\displaystyle z=x-iy}$ изображаются на комплексной плоскости точками, симметричными относительно действительной оси^[2].

Если к комплексной плоскости присоединяют воображаемую бесконечно удалённую точку ${\displaystyle (z=\infty )}$, то получается расширенная комплексная плоскость ${\displaystyle {\bar {\mathbb {C} }}}$, которая взаимно однозначно отображается на сферу Римана^[4].

Декартовая форма записи комплексного числа удобна для выполнения операции сложения (и обратной ней операции вычитания). Однако, умножение (и деление) выполняется в этой форме довольно громоздко.

Для операций умножения и деления, а также для возведения в степень и извлечения корня удобнее тригонометрическая форма записи комплексного числа в полярных координатах: ${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$ (${\displaystyle z\neq 0}$)^[3].

Полярный радиус ${\displaystyle r}$ называется модулем комплексного числа ${\displaystyle z}$. Он обозначается ${\displaystyle |z|}$ и определяется однозначно: ${\displaystyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {z{\bar {z}}}}\geqslant 0}$. Полярный угол ${\displaystyle \varphi }$, то есть угол между положительным направлением оси ${\displaystyle x}$ и вектором ${\displaystyle z}$, называется аргументом и обозначается ${\displaystyle \mathrm {Arg} \,z}$. Аргумент комплексного числа ${\displaystyle z\neq 0}$ определён с точностью до слагаемого, представляющего собой целое кратное ${\displaystyle 2\pi }$: ${\displaystyle \mathrm {Arg} \,z=\arg z+2k\pi \,(k=0,\pm 1,\pm 2,...)}$, где ${\displaystyle \arg z}$ — главное значение аргумента, задаваемое следующими условиями: ${\displaystyle -\pi <\arg z\leqslant \pi }$ (или ${\displaystyle 0\leqslant \arg z<2\pi }$).

Аргумент комплексного числа ${\displaystyle z=0}$ вообще неопределён, а модуль этого числа равен нулю.

Два отличных от нуля комплексных числа ${\displaystyle z_{1}}$ и ${\displaystyle z_{2}}$ равны между собой в том и только в том случае, когда их модули равны, а их аргументы либо равны, либо отличаются на слагаемое, кратное ${\displaystyle 2\pi }$: ${\displaystyle |z_{1}|=|z_{2}|,\mathrm {Arg} \,z_{1}=\mathrm {Arg} \,z_{2}+2\pi n}$, где ${\displaystyle n}$ — целое число^[5].

Вводя сокращённое обозначение ${\displaystyle \cos \varphi +i\sin \varphi =e^{i\varphi }}$, комплексное число в показательной форме записывают в компактном виде: ${\displaystyle z=re^{i\varphi }}$.

Пользуясь полярной формой комплексного числа, операция умножения выполняется по правилу ниже.

При умножении комплексных чисел ${\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}e^{i\varphi _{1}}\cdot r_{2}e^{i\varphi _{2}}=r_{1}\cdot r_{2}e^{i(\varphi _{1}+\varphi _{2})}}$ их модули перемножаются, а аргументы складываются ${\displaystyle |z_{1}\cdot z_{2}|=|z_{1}|\cdot |z_{2}|,\arg(z_{1}z_{2})=\arg z_{1}+\arg z_{2}}$.

Аналогично выражается в полярной форме операция деления комплексных чисел.

${\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}e^{i\varphi _{1}}}{r_{2}e^{i\varphi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}e^{i(\varphi _{1}-\varphi _{2})}}$,(при ${\displaystyle r_{2}\neq 0}$), модули делятся друг на друга, а аргументы вычитаются ${\displaystyle \left\vert {\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right\vert ={\frac {|z_{1}|}{|z_{2}|}}}$, ${\displaystyle \arg {\frac {|z_{1}|}{|z_{2}|}}=\arg z_{1}-\arg z_{2}}$.

В некоторых вопросах удобно компактифицировать множество комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Это делается добавлением к нему идеального элемента, который называется бесконечной удалённой точкой ${\displaystyle z=\infty }$. В отличие от конечных точек (${\displaystyle z\neq \infty }$) бесконечная точка не участвует в алгебраических действиях. Компактифицированную (расширенную) комплексную плоскость обозначают символом ${\displaystyle {\bar {\mathbb {C} }}}$.

Компактификация становится наглядной, если вместо изображения комплексных чисел точками плоскости воспользоваться их сферическим изображением. Для этого выбирают в трёхмерном евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ прямоугольную декартову систему координат ${\displaystyle \xi ,\eta ,\zeta }$, оси ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \eta }$ которой соответственно совпадают с осями ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ (см. рисунок).

В ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ рассматривают сферу ${\displaystyle S}$: ${\displaystyle \xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=\zeta }$ диаметра ${\displaystyle 1}$, касающаяся плоскости ${\displaystyle Oxy}$ в точке ${\displaystyle (0;0;0)}$. Каждой точке ${\displaystyle z=(x,y)\in \mathbb {C} }$ ставят в соответствие точку ${\displaystyle Z(\xi ;\eta ;\zeta )}$ пересечения с ${\displaystyle S}$ луча, соединяющего «северный полюс» ${\displaystyle N(0,0,1)}$ сферы с точкой ${\displaystyle z}$. Такое соответствие ${\displaystyle z\rightarrow Z}$ называется стереографической проекцией. Эта проекция устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$ и сферой ${\displaystyle S/N}$ (точке ${\displaystyle N}$ не соответствует ни одной точки ${\displaystyle z}$). Считают, что ${\displaystyle N}$ соответствует бесконечной точке ${\displaystyle z=\infty }$, тем самым устанавливая взаимно однозначное соответствие между расширенной комплексной плоскостью ${\displaystyle {\bar {\mathbb {C} }}}$ и ${\displaystyle S}$, которую называют сферой комплексных чисел или сферой Римана^[6].

Для двух описанных выше способов геометрического изображения комплексных чисел вводят на множестве ${\displaystyle \mathbb {C} }$ две метрики.

Первая — евклидова метрика, в которой под расстоянием между двумя точками ${\displaystyle z_{1}=x_{1}+iy_{1}}$ и ${\displaystyle z_{2}=x_{2}+iy_{2}}$ из ${\displaystyle \mathbb {C} }$ понимается ${\displaystyle |z_{2}-z_{1}|={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}$.

Сфера Римана позволяет ввести на множестве ${\displaystyle \mathbb {C} }$ иную метрику, отличную от евклидовой. Эта метрика называется сферической метрикой. Под расстоянием между ${\displaystyle z_{1}}$ и ${\displaystyle z_{2}}$ понимается евклидово расстояние (в пространстве ${\displaystyle \xi ,\eta ,\zeta }$) между их сферическими изображениями ${\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})={\frac {|z_{2}-z_{1}|}{{\sqrt {1+|z_{1}|^{2}}}{\sqrt {1+|z_{2}|^{2}}}}}}$. Эта формула распространяется и на множество ${\displaystyle {\bar {\mathbb {C} }}}$: ${\displaystyle \rho (z,\infty )={\frac {1}{\sqrt {1+|z|^{2}}}}}$.

Введение каждой из этих двух метрик превращает множество ${\displaystyle \mathbb {C} }$ в метрическое пространство, при этом удовлетворяются обычные аксиомы расстояния. На ограниченных множествах ${\displaystyle M\subset \mathbb {C} }$, принадлежащих фиксированному кругу ${\displaystyle \{|z|\leqslant R\},R<\infty }$, евклидова и сферическая метрики эквивалентны. Поэтому сферическая метрика обычно применяется при рассмотрении неограниченных множеств. Как правило, рассматривают на множестве ${\displaystyle \mathbb {C} }$ евклидову метрику, а на ${\displaystyle {\bar {\mathbb {C} }}}$ — сферическую^[7].

Для введения на рассматриваемых множествах топологии, соответствующей метрикам указывается система окрестностей. Пусть ${\displaystyle \varepsilon >0}$ — произвольное число. Под ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестностью ${\displaystyle U_{z_{0}}=U(z_{0},\varepsilon )}$ точки ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ в евклидовой метрике понимают круг радиуса в с центром в этой точке, то есть совокупность точек ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$, удовлетворяющих неравенству ${\displaystyle |z-z_{0}|<\varepsilon }$.

Под ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестностью точки ${\displaystyle z_{0}\in {\bar {\mathbb {C} }}}$ понимают совокупность точек ${\displaystyle z\in {\bar {\mathbb {C} }}}$, для которых ${\displaystyle \rho (z,z_{0})<\varepsilon }$^[7].